7.2 离散型随机变量及其分布列 练习-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.2离散型随机变量及其分布列 练习-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册 一、选择题 1． 小王每次通过英语听力测试的概率是，且每次通过英语听力测试相互独立，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是（　　） A． B． C． D． 2．已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足，则（　　） A． B． C． D． 3．已知离散型随机变量X的分布列如下表，其中满足，则的最大值为（　　） X 0 1 2 P a b c A． B． C．1 D． 4．设随机变量的分布列如下： -1 0 1 则（　　） A． B． C． D．1 5．设随机变量的分布列为，则的值为（　　） A． B． C． D． 6． 设为正实数，若随机变量的分布列为，则（　　） A．3 B．1 C． D． 7． 已知随机变量X的分布列如下： 0 1 2 则随机变量X的期望（　　） A． B． C． D．2 8．下列说法正确的有（　　） A．设随机变量X服从二项分布，则 B．若X是随机变量，则E（2X＋1）＝2E（X）＋1，D（2X＋1）＝4D（X）＋1 C．已知随机变量ξ~N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，则P（ξ＞－1）＝1－2p D．设随机变量ξ表示发生概率为p的事件在一次随机试验中发生的次数， 二、多项选择题 9．下列说法中正确的是(　　) 附：独立性检验中几个常用的概率值与相应的临界值 A．已知离散型随机变量，则 B．一组数据，，，，，，，，，的第百分位数为 C．若，则事件与相互独立 D．根据分类变量与的观测数据，计算得到，依据的独立性检验可得：变量与独立，这个结论错误的概率不超过 10．已知X的分布列如图所示，则下列说法正确的有（　　） X 0 1 2 P a A． B． C． D． 11．袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为 ，则（　　） A． B． C．X的期望 D．X的方差 三、填空题 12．已知病毒A在某溶液中的存活个数（k）的概率满足（k＝0，1，2，⋯），已知只要该溶液中存在一个A病毒，就可以导致生物C死亡，则该溶液能够导致生物C死亡的概率为 　 　． 13．已知离散型随机变量X服从两点分布，且，则随机变量X的方差为　 　． 14．分别在即，5位同学各自写了一封祝福信，并把写好的5封信一起放在心愿盒中，然后每人在心愿盒中各取一封，不放回．设为恰好取到自己祝福信的人数，则　 　． 四、解答题 15．某地五一假期举办大型促销活动，汇聚了各大品牌新产品的展销．现随机抽取7个品牌产品，得到其促销活动经费（单位：万元）与销售额（单位：万元）的数据如下： 品牌代号 1 2 3 4 5 6 7 促销活动经费 1 2 4 6 10 13 20 销售额 12 20 44 40 56 60 82 若将销售额与促销活动经费的比值称为促销效率值，当时，称为“有效促销”，当时，称为“过度促销”． （1）从这7个品牌中随机抽取4个品牌，求取出的4个品牌中“有效促销”的个数比“过度促销”的个数多的概率； （2）从这7个品牌中随机抽取3个，记这3个品牌中“有效促销”的个数为，求的分布列与期望． 16．袋子中有大小相同的2个白球､3个黑球，每次从袋子中随机摸出一个球. （1）若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率； （2）若对摸出球看完颜色后就放回，这样连续摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次数的分布列和均值. 17．某学校开展社会实践进社区活动，高二某班有六名男生和四名女生报名参加活动，从中随机一次性抽取5人参加社区活动，其余5人参加社区活动. （1）求参加社区活动的同学中包含且不包含的概率； （2）用表示参加社区活动的女生人数，求的分布列和数学期望. 18．在某次人工智能知识问答中，考生甲需要依次回答道试题.若甲答对某道试题，则下一道试题也答对的概率为，若甲答错某道试题，则下一道试题答对的概率为. （1）若，考生甲第1道试题答对与答错的概率相等，记考生甲答对试题的道数为，求的分布列与期望； （2）若，且考生甲答对第1道试题，求他第10道试题也答对的概率. 19．为应对新一代小型无人机武器，某研发部门开发了甲、乙两种不同的防御武器，现对两种武器的防御效果进行测试.每次测试都是由一种武器向目标无人机发动三次攻击，每次攻击击中目标与否相互独立，每次测试都会使用性能一样的全新无人机.对于甲种武器，每次攻击击中目标无人机的概率均为，且击中一次目标无人机坠毁的概率为，击中两次目标无人机必坠毁；对于乙种武器，每次攻击击中目标无人机的概率均为，且击中一次目标无人机坠毁的概率为，击中两次目标无人机坠毁的概率为，击中三次目标无人机必坠毁. （1）若，分别使用甲、乙两种武器进行一次测试. ①求甲种武器使目标无人机坠毁的概率； ②记甲、乙两种武器使目标无人机坠毁的数量为，求的分布列与数学期望. （2）若，且，试判断在一次测试中选用甲种武器还是乙种武器使得目标无人机坠毁的概率更大？并说明理由. 参考答案 1．【答案】A 【解析】【解答】解：由已知可得， 恰有1次通过的概率是， 故答案为：A 【分析】利用相互独立事件恰好发生次概率公式求解即可. 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】D 【解析】【解答】解：依题意，随机变量的分布列为， 则， 所以. 故答案为：D 【分析】利用随机变量的分布列的性质，列式计算即得求得的值. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：因为随机变量的分布列为，所以，解得：a=3. 所以 故答案为：C. 【分析】由概率和为1可求出a，再求即可. 7．【答案】B 【解析】【解答】解：由，解得，则. 故答案为：B． 【分析】根据分布列中概率的性质求出，再根据离散型随机变量的数学期望公式计算即可． 8．【答案】D 【解析】【解答】解：A：，，A错误； B：若是随机变量，则，B错误； C：因为随机变量服从正态分布，故，则，C错误； D：随机变量的可能取值为、，故， ，当且仅当取等号，D正确. 故答案为：D 【分析】利用二项分布的概率计算公式求出概率可判断A选项；利用离散型随机变量的期望、方差的性质公式进行计算可判断B选项；利用正态分布的对称性求出概率，可判断C选项；先根据两点分布求出概率：，，再利用期望计算公式求出期望，进而求出方差，利用基本不等式求出方差的最值，可判断D选项. 9．【答案】B,C 10．【答案】A,B,D 【解析】【解答】解：对于A：根据表格可得：，且，解得：，故A选项正确； 对于B选项：故B选项正确； 对于C选项：故C选项错误； 对于D选项：因为：，所以，故D选项正确. 故答案为：ABD. 【分析】本题主要考查离散型随机变量的分布列的性质，根据①；②然后逐项进行判定即可求解. 11．【答案】A,C,D 【解析】【解答】从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响， 并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球记1分， 取4次球的总分数，即为取到黑球的个数， 所以随机变量 服从二项分布 ，A符合题意； ，记其概率为 ，B不符合题意； 因为 ，所以 的期望 ，C符合题意； 因为 ，所以 的方差 ，D符合题意． 故答案为：ACD． 【分析】 利用二项分布列的概率计算公式、数学期望及其方差即可得出． 12．【答案】1﹣． 13．【答案】 【解析】【解答】由题意可得：，解得， 所以随机变量X的方差为. 故答案为：. 【分析】根据题意列式求解，再代入两点分布的方差公式运算求解. 14．【答案】1 【解析】【解答】由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，5 对应概率依次为：， ， ， ， ， 则. 故答案为：1. 【分析】利用已知条件得出随机变量X的可能的取值，再结合古典概型求概率公式和对立事件求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式得出随机变量X的数学期望。 15．【答案】（1）由题知7个品牌中“有效促销”有3个，“过度促销”有2个． 设取出的4个品牌中“有效促销”的个数比“过度促销”的个数多为事件， 则． （2）由题知，7个品牌中有3个品牌是“有效促销”，的可能取值是0，1，2，3， ； ． 的分布列为 0 1 2 3 所以． 16．【答案】（1）解：角度一：第一次摸到白球，第二次摸球时袋子中有1个白球，3个黑球，所求概率. 角度二：设"第一次摸到白球"，"第二次摸到白球"， 则， 所求概率； （2）解：的所有可能取值为0，1，2，3． 的分布列为： 0 1 2 3 均值 17．【答案】（1）解：表示社区活动的同学中包含且不包含， （2）解：随机变量的可能取值为：0，1，2，3，4， 用表格表示的分布列，如下表所示： 0 1 2 3 4 18．【答案】（1）解：由题可知，的所有可能取值为，且， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 则. （2）解：设“考生甲答对第道试题”， 则， ， 则. 因为，所以是以为首项，为公比的等比数列， 则，即， 则，即他第10道试题也答对的概率为. 【解析】【分析】（1）由题意可得的所有可能取值为，求相应的概率，得分布列，再求数学期望即可； （2）设“考生甲答对第道试题”，则，由全概率公式可得，计算可求得代入即可求解. 19．【答案】（1）解： 因为每次测试都是由一种武器向目标无人机发动三次攻击，每次攻击击中目标无人机与否相互独立， 在一次测试中，用、分别表示甲、乙两种武器命中目标无人机的次数，则，， 记事件为“在一次测试中，使用甲种武器使目标无人机坠毁”， ， 所有可能的取值为， 记事件为“在一次测试中，使用乙种武器使目标无人机坠毁”， ， ， ， ， 所以的分布列如下： 故 （2）解： 记事件为“使用甲种武器使得目标无人机坠毁”， 事件为“使用乙种武器使得目标无人机坠毁”， 则 ， ， 因为，所以， 则 ， 令，则， 令，即，则，得， 又，所以恒成立， 所以在上单调递增， 又，则， 故，即 所以使用乙种武器使得目标无人机坠毁的概率更大 【解析】【分析】（1）根据题意确定，，①再根据题意和甲种武器击中目标的次数可得：，利用二项分布的概率计算公式进行计算可求出 甲种武器使目标无人机坠毁的概率 ； ②先找出变量的取值，再求出乙两种武器使目标无人机坠毁的概率，利用相互独立事件的概率计算公式可求出对应变量的概率，据此可列出分布列，利用数学期望计算公式可求出期望； （2）记事件为“使用甲种武器使得目标无人机坠毁”，事件为“使用乙种武器使得目标无人机坠毁”，分别用概率表示甲和乙使无人机坠毁的概率，两个概率相减再进行化简可得：概率差 ，令，求出导函数，令和，可求出的单调区间，进而求出最值，利用最值可证明，据此可作出判断. 学科网（北京）股份有限公司 $$