5.3 导数在研究函数中的应用 练习-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3导数在研究函数中的应用 练习-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册 一、选择题 1．已知直线与函数的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2． 已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（　　） A． B． C． D． 3．函数的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 4．函数的图像可能是（　　） A． B． C． D． 5．定义集合，在使得的所有中，下列成立的是(　　) A．是偶函数 B．在处取最大值 C．严格增 D．在处取到极小值 6．已知函数的图象如图所示，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 7．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A． B． C． D． 8．设函数的图像与x种相交于点P，则该曲线在点P处的切线方程为(　　) A． B． C． D． 二、多项选择题 9．已知函数，下列结论中正确的是（　　） A．函数在时，取得极小值-1 B．对于恒成立 C．若，则 D．若对于，不等式恒成立，则的最大值为的最小值为1 10．若a，b为正实数，且，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 11．已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．函数存在极小值 B． C．当时， D．若函数有且仅有两个零点，则且 三、填空题 12．函数无极值，则实数的取值范围是　 　. 13．若函数f（x）＝ex（x+1）﹣ax+2有两个极值点，则实数a的取值范围是　 　． 14．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为　 　. 四、解答题 15．已知函数． （1）当时，求曲线的单调减区间； （2）若有两个极值点，且，，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 16．设曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为． （1）当切线与直线平行时，求实数的值； （2）当时，求的最大值． 17．已知函数． （1）求的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围。 18．已知函数在处取得极值-2． （1）求a，b的值； （2）求在上的最大值； （3）若关于的方程有三个不同的实根，求的取值范围。 19．已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：当时，． 答案 1．【答案】A 2．【答案】A 【解析】【解答】解：由函数的图象可知，当时，函数单调递减，则，排除BD； 当时，从左向右，函数是增、减、增，对应导数的符号为，排除C选项. 故答案为：A. 【分析】根据函数的图象、结合函数的单调性以及导数等知识分析判断即可. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：导数，令，解得， 所以函数在区间上单调递减. 故答案为：C. 【分析】利用导数求单调性即可. 4．【答案】B 5．【答案】B 【解析】【解答】解：A、若存在 是偶函数， 取 ， 则对 ， 但 ， 与题干矛盾，故A错误； B、构造函数，满足集合， 当时，，当时，，当时，， 则该函数的最大值是，故B正确； C、假设存在，使得函数严格增，则，与题干矛盾，故C错误； D、假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，与题干矛盾，故D错误. 故答案为：B. 【分析】利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断ACD；构造函数即可判断B. 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】C 9．【答案】B,C,D 10．【答案】B,D 【解析】【解答】解：A、因为函数在上单调递减，故当时，，故A错误； B、由于函数在上单调递增，故当时，，故B正确； C、令，则，故当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以与大小不定，故C错误； D、令，则在上恒成立，故函数在上单调递增，所以，当时，，即，故D选项正确. 故答案为：BD. 【分析】各选项分别构造函数，根据幂函数与对数函数单调性分别判断AB；构造函数，进而研究其单调性判断C；构造函数，进而研究其单调性判断D. 11．【答案】A,C,D 12．【答案】 13．【答案】（﹣，0） 【解析】【解答】解：求导得f'(x)=，原函数有两个极值点，即导数f'(x)存在两个零点，即a=有两根，即函数y=a与函数g(x)=有两个交点，g'(x)==0，则x=-3，g(x)在(-∞，-3)单调递减，在(-3，+∞)单调递增，极小值g(-3)=，同时注意到x<-2时，y<0，故要使y=a与函数g(x)有两个交点，则<a<0. 故答案为：(，0). 【分析】由函数存在两个极值点，转化为y=a与g(x)有两个交点的问题，利用导数研究g(x)的单调性与极值，即可解决问题. 14．【答案】 15．【答案】（1）， 令得，，由得． 所以，的单调减区间为． （2），有两个极值点，且， 是方程的两正根，则，， 不等式恒成立，即恒成立， ， 由，，得，， 令，， 令，，在上递增， 则有即， 在上是减函数， ，故 16．【答案】（1）因为，所以． 因为切线与直线平行，所以， 得． （2）因为，所以， 所以切线方程为． 令，得；令，得． 因为，所以． 因为， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故． 17．【答案】（1）解：由 得 当时，，， 在R单调递减； 当时，由得，由得 所以，当时，在区间单调递减，在区间单调递增。 （2）解：由（1）知，当时，最多有一个零点； 当时，在时取得最小值 即 所以，当时，，故最多只有一个零点； 当时，， 因为 所以在有一个零点． 令，则， 当时，在单调递减， 当时，在单调递增．又 所以，．故当时，有． 因为时，所以，故 可知在有一个零点． 综上可知，若有两个零点，的取值范围是。 18．【答案】（1）解：因为，所以， 因为在处取得极值，所以，故 ，解得； （2）解：由（1）知，所以 令，当时，，当时，，所以在区间是增函数． 所以，在区间（0，1］上，当； （3）解：由（2）知在，在时取极小值-2， 若关于的方程有三个不同的根，则， 得，所以的取值范围是。 19．【答案】（1）解：因为，所以，所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）解：令 那么 当 所以， 当． 所以，当时，． 学科网（北京）股份有限公司 $$