5.2 导数的运算 练习-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.2导数的运算 练习-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册 一、选择题 1．下列导数运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．已知某商品生产成本与产量的函数关系式为，单价与产量的函数关系式为，则利润最大时，（　　） A．80 B．90 C．100 D．110 3．已知函数在区间[1，2]上单调递增，则实数a的最大值是（　　） A．1 B． C． D． 4．函数f（x）＝lnx－x＋1的图像在点（1，f（1））处的切线方程是（　　） A．y＝0 B．x＝0 C．y＝1 D．x＝1 5．已知，，，其中为自然数，则（　　） A． B． C． D． 6．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记.若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上不是凸函数的是（　　） A． B． C． D． 7． 函数存在极值点，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C．或 D．或 8． 已知定义域为的可导函数，导函数为，且满足，则（　　） A．1012 B．2024 C．3036 D．4048 二、多项选择题 9．已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．若有极小值，则 B．若在上单调递增，则 C．对任意的存在唯一零点 D．若恒成立，则 10．已知m∈R，n∈R，且mn≠0，x＝1为函数的极小值点，则下列不等式可以成立的有（　　） A． B． C． D． 11．下列运算正确的是(　　) A． B． C． D． 三、填空题 12．已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为　 　． 13．已知函数是的导函数，则　 　． 14．函数的导函数满足关系式，则　 　. 四、解答题 15．罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的.它的表达如下：如果函数满足在闭区间连续，在开区间内可导，且，那么在区间内至少存在一点m，使得. （1）运用罗尔定理证明：若函数在区间连续，在区间上可导，则存在，使得. （2）已知函数，若对于区间内任意两个不相等的实数，，都有成立，求实数b的取值范围. （3）证明：当，时，有. 16．已知函数． （1）若在上单调递增，求实数的最大值； （2）讨论的单调性； （3）若存在且，使得，证明：． 17．帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足，，，…，（注：，，，，…）.已知函数. （1）求函数在处的阶帕德近似，并求的近似数（精确到0.001）； （2）在（1）的条件下 （i）求证：； （ii）若恒成立，求的取值范围. 答案 1．【答案】D 【解析】【解答】解：对于A项，因是常数，故，即A项错误； 对于B项，利用复合函数的求导法则，，故B项错误； 对于C项，，故C项错误； 对于D项，由求导法则易得，故D项正确. 故答案为：D. 【分析】利用基本初等函数的导数公式和复合函数的求导法则依次求导即可判断. 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】C 【解析】【解答】解：由，可得，又以为，所以， 所以，，又，所以， 又因为，所以； 令，则，所以， 得到， 令，则在区间上恒成立， 所以在区间上单调递减， 又因为，当时，， 得在区间上恒成立，所以在区间上单调递减，又因为， 所以，故， 故答案为：C. 【分析】由条件得到，，从而得到，，即可得，构造函数，利用函数的单调性，即可判断，从而判断a，b，c的大小关系. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：A、函数，则，， 当时，恒有，是凸函数，故A不符合； B、，，则，当上，恒有，是凸函数， 故B不符合； C、，，则，则在上恒成立，不是凸函数，故C符合； D、，则，在上恒成立，是凸函数，故D不符合. 故答案为：C. 【分析】求每一个函数的二阶导数，判断是否在上恒成立即可. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：求导，，， 当直线与有两个不同交点时，存在极值点，而， 所以，解得. 故答案为： D. 【分析】求导，由导函数的零点确定存在极值点的条件即可. 8．【答案】C 【解析】【解答】解：由满足，则， 即， 故. 故答案为：C. 【分析】由题意，对两边求导得到，再利用并项求和法求解即可. 9．【答案】B,C,D 10．【答案】B,D 11．【答案】B,C 【解析】【解答】 解： A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C正确； D选项，，D错误； 故选：BC. 【分析】根据函数求导规则进行求导即可. 12．【答案】 13．【答案】-2 14．【答案】 15．【答案】（1）证明：令，则， 令函数，则，， 显然在上连续，且在上可导，由罗尔定理，存在，使得， 即，所以. （2）解：依题意，， 不妨令，则恒成立， 由（1）得，，于是，即， 因此，令， 求导得，函数在上单调递增，则， 而函数在上单调递增，其值域为， 则，所以实数b的取值范围是. （3）证明：令函数，，显然函数在上可导， 由（1），存在，使得， 又，则， 因此，而，，则，即， 所以. 【解析】【分析】(1)令，构造函数，求导后利用罗尔定理证明即可. (2)利用(1)的结论得，即可得，令，利用导数判断其单调性，确定其值域，再确定函数的值域，即可求解. (3)构造函数，在上求导，利用(1)的结论即可得证. 16．【答案】（1）解：因为函数在上单调递增，所以在上恒成立． 因为，所以，即对恒成立． 因为，所以，即实数的最大值是2． （2）解：． ①当时，，则在上单调递增； ②当时，，则在上单调递增； ③当时，令，得， 则在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减． （3）证明：因为，所以， 因为在上单调递增，所以． 要证，即证． 因为在上单调递增，所以只需证． 又因为，所以只需证， 即证． 记， 则， 所以在上单调递增，所以， 故成立． 17．【答案】（1）解：解：由题可知函数在处的阶帕德近似为， ，， 由，得，所以， 则， 又由，得， 所以， 由，得， 所以， 所以. （2）解：（i）证明：令，， 因为， 所以在，上单调递减. 当时，，即， 又，所以，即； 当时，，即， 又，所以，即. 所以不等式恒成立. （ii）解：由，得在上恒成立， 令，且， 所以是的极大值点. 又， 所以，则， 当时，， 所以， 当时，， 则，故在上单调递增， 所以当时，， 当时，， 令， 因为， 所以在上单调递减， 所以， 又因为在上，， 所以当时，. 综上，当时，恒成立. 学科网（北京）股份有限公司 $$