4.3 等比数列 练习-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3等比数列 练习-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册 一、选择题 1． 已知等比数列满足：，且是与的等差中项，则（　　） A．32 B．2 C．1 D． 2． 若数列满足，则称为“梦想数列”，已知数列为“梦想数列”，且，则（　　） A．18 B．16 C．32 D．36 3．在各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，若，则（　　） A．14 B．28 C．42 D．56 4． 某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为，从第二题开始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为；若前一题答对，则此题答对的概率为.记甲同学回答第题时答错的概率为，当时，恒成立，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．已知等比数列的公比为，若，且成等差数列，则（　　） A． B． C． D． 6．已知数列的前n项和为，若，则（　　） A．-8 B．8 C．-64 D．64 7． 设S 为等比数列{a} 的前n项和，已知S3=a4-2，S2=-2， 则公比q=（　　） A．2 B．-2 C． D． 8．已知等比数列中，，公比，则（　　） A． B． C．1 D．2 二、多项选择题 9．已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是(　　) A．数列是等比数列 B．若，，则 C．若，则数列是递增数列 D．若数列的前n和，则r=-1 10．已知数列的前n项和为，，则下列选项中正确的是（　　） A． B． C．数列是等比数列 D．数列的前n项和为 11．已知等比数列中，满足，，则（　　） A．数列是等比数列 B．数列是递增数列 C．数列是等差数列 D．数列中，，-，-仍成等比数列 三、填空题 12．数列满足且，则数列的通项公式是　 　． 13．在等比数列中，，则　 　． 14．已知数列的前项和为，，，则　 　. 四、解答题 15．已知是各项均为正数的等比数列，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16．已知数列的前n项和为，且是首项为4，公比为2的等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若对任意，，求m的取值范围. 17． 正项数列的前项和为，等比数列的前项和为，， （1）求数列的通项公式； （2）已知数列满足，求数列的前项和． 18．已知等比数列的前n项和. （1）求数列的通项公式，并求的值； （2）令，设为数列的前n项和，求. 答案 1．【答案】D 【解析】【解答】解：由等比数列得，，， 因为，所以，即，化简得， 因为是与的等差中项，所以，即， 化简得，解得，则， 所以， 故答案为：D． 【分析】根据，利用等比数列的通项公式可求出，再根据是与的等差中项，利用等差中项的定义可求出，再利用等比数列通项公式进行计算可求出答案． 2．【答案】A 【解析】【解答】解：因为梦想数列满足，所以，即， 即数列是以为公比的等比数列， 若数列为“梦想数列”，则，即，即数列是公比为3的等比数列， 当时，. 故答案为：A. 【分析】根据“梦想数列”的定义，求得数列是以为公比的等比数列，得到数列为公比为3的等比数列，结合等比数列的性质求解即可. 3．【答案】B 【解析】【解答】设的公比为q，a2=a1q，a3=a1q2，由，， 可得6a1-a3=a2，即有6a1-a1q2=a1q，得q2+q-6=0解得q=2或-3(舍去)，故an=2n-2，可得a4=4，a5=8，a6=16，故28， 故答案为：B. 【分析】设公比为q， ，，，成等差数列，可得关于q的一元二次方程，求出公比q即可得数列通项，分别求出a4=4，a5=8，a6=16即可得结果. 4．【答案】D 【解析】【解答】解：因为甲同学回答第题时有答对、答错两种情况， 则回答第题时答错的概率， 所以， 由题意知，则， 所以数列是为首项、为公比的等比数列，所以， 即，显然数列单调递减，所以当时，，所以的最小值为. 故答案为：D. 【分析】写出甲同学回答第题时答错的概率，构造数列是等比数列，利用等比数列通项得到数列递减，由函数单调性求解即可. 5．【答案】C 【解析】【解答】解： 因为成等差数列，所以，又， 所以，整理可得：， ，解得：q=0(舍)或q=3. 故答案为：C. 【分析】根据等差数列的中项性质和等比数列通项公式得，与联立方程组，解方程组即可求解. 6．【答案】C 7．【答案】A 8．【答案】B 9．【答案】A,C 【解析】【解答】解：由数列是等比数列，假设公比为（） 对于A：因为公比为q，即， 则 所以，数列是等比数列，A选项正确； 对于B：由数列是等比数列， 由，，根据等比数列的中项性质得： ，所以， 又因为，而， 所以，负的舍去 则，B选项错误； 对于C：由数列是等比数列，公比为（）， 则， 因为， 所以，即， 即，解不等式得：， 又因为，但， 所以首项， 所以数列的每一项都是负值， 由，（负数变号）， 数列为递增数列；C选项正确； 对于D选项，， ， ， 由于数列是等比数列，则， 即，解得，D选项错误. 故答案为：AC. 【分析】利用等比数列的定义可判断A选项的正误；利用等比中项的性质可判断B选项的正误；对于C：利用通项，化简得分得的取值，不等式可判断C选项的正误；求得、、，由求得的值，可判断D选项的正误. 10．【答案】A,C,D 【解析】【解答】解：A和C.，① ，② 两式作差得：，， ，，即， ，. 数列是以为首项，公比为的等比数列， 则，. 由上述内容可知，A，C正确. B.当时，，B错误. C.，，， 数列是首项为的等比数列. 则数列的前项和为，D正确. 故选：ACD. 【分析】本题考查数列通项与前n项和的关系，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式.根据题意先写出，利用数列通项与前n项和的关系可推出，据此可判断C选项；令，可求出，据此判断A选项；再利用等比数列的通项公式可先求出，j进而求出，通过计算可判断B选项；通过计算可得数列是首项为的等比数列，利用等比数列的前n项和公式可求出数列的前项和，判断D选项. 11．【答案】A,C,D 【解析】【解答】解：为等比数列，且，，，， 对于A，，，是等比数列，故A正确； 对于B，，，，且， 是递减数列，故B错误； 对于C，设，则， 是等差数列，故C正确； 对于D，根据等比数列的性质：，，成等比数列，所以D选项正确. 故答案为：ACD. 【分析】先求出等比数列的和，根据等比数列的定义判断A；根据数列单调性的定义判断B；根据等差数列的定义判断C；根据等比数列的性质判断D. 12．【答案】 13．【答案】27 【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，因为，所以， 则. 故答案为：27 【分析】设等比数列的公比为，由求得公比，再根据等比数列的通项求即可. 14．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：根据，可得：所以 故答案为：. 【分析】本题主要考查数列的递推公式，数列求和，根据题意可令，再根据等比数列的求和公式进行求解即可. 15．【答案】（1）设等比数列的公比为，由，得， 即， 解得（舍）或． ． （2）， ． ， 相减得： ， 所以 【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式，错位相减法求数列的和. （1）设等比数列的公比为，利用等比数列的通项公式可列出方程，解方程可求出，再利用等比数列的通项公式可求出的通项公式； （2）根据（1）可求出，再利用错位相减法可求出 . 16．【答案】（1）因为是首项为4，公比为2的等比数列， 所以，所以， 当时，，所以， 又符合上式，所以； （2）由(1)得， 所以 ， 因为，，所以，所以， 由题意可得，即m的取值范围是. 【解析】【分析】本题主要考查数列的递推式及裂式相消法求和. （1）利用等比数列的通项公式求得：，然后再根据进行求解即可； （2）由(1)得，然后利用列式相消法进行求和即可. 17．【答案】（1）解：时，，即，， 所以，同理． 当时，，化简得： ，因为，所以， 即，故，又，所以． 同理，或， 因为是等比数列，所以，即，所以． （2）解：由（1）知， 所以当为奇数时， ， ， 同理当为偶数时，． 所以. 【解析】【分析】本题考查通项与前n项和的关系，等差数列的定义，等比数列的定义，等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，数列的求和公式. （1）当时，先求出，，利用与的关系化简可得：，利用等差数列的定义可证明数列为等差数列，利用等差数列的通项公式可求出数列通项公式，利用等比数列的定义可证明数列为等比数列，利用等比数列的通项公式可求出数列通项公式； （2）先求出，分n为奇数或偶数，对数列进行裂项，再利用裂项相消可求出. 18．【答案】（1）解：等比数列的前n项和①， 当n＝1时，解得， 当n≥2时，②， ①﹣②得：， 又是等比数列，n＝1时也符合， 当n＝1时，，故m＝. （2）解：由（1）得：， 所以. 【解析】【分析】（1）利用和的关系求m的值即可； （2）利用（1）的结论，利用分组求和法求数列的和即可. 学科网（北京）股份有限公司 $$