第1章 直线与方程 综合提升讲义-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

第1章综合提升 聚焦考点 考点一　直线的方程 1.已知点A(3，0)，B(0，2)，C(2，6)，则△ABC的边BC上的中线所在直线的方程为(　　) A. 2x＋y＋6＝0 B. 2x＋y－6＝0 C. 2x－y－6＝0 D. 2x－y－1＝0 2.(多选题)下列说法正确的是(　　) A.直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点(3，2) B.直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2 C.直线x＋y＋1＝0的倾斜角为60° D.经过点(－1，2)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线的方程为2x＋y＝0 3.已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点M(1，－1)到直线l的距离为，则直线l的方程为____________________． 4.已知直线l经过点P(1，2)． (1) 若直线l在两坐标轴上的截距之和为6，求直线l的方程； (2) 若直线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A，B两点，试求△AOB 的面积的最小值及此时直线l的方程． 考点二　两直线的位置关系 5.已知直线l1：x＋ay＋7＝0和l2：(a－2)x＋3y＋1＝0互相平行，则(　　) A.a＝3 B.a＝－1 C.a＝－1或a＝3 D.a＝1或a＝－3 6.(多选题)已知直线l1：3x＋y－3＝0，直线 l2：6x＋my＋1＝0，则下列表述正确的有(　　) A.直线l2的斜率为－ B.若直线l1垂直于直线l2，则实数m＝－18 C.直线l1的倾斜角的正切值为3 D.若直线l1平行于直线l2，则实数m＝2 7.已知点A(2，4)，B(3，3)关于直线l对称，则直线l的方程为_______________． 8.已知两条直线l1：5x＋5my＋6＝0，l2：(m－2)x ＋15y＋2m＝0. (1) 当m为何值时，l1与l2垂直？ (2) 当m为何值时，l1与l2平行？ 考点三　距离公式 9.(多选题)已知两条直线的方程分别为 x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，且a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，0≤c≤，则这两条直线之间距离的(　　) A.最大值是 B.最大值是 C.最小值是 D.最小值是 10. 已知直线l：y＝2x＋3，则点M(1，0)到直线l的距离为________． 11. 已知点P(2，－1)． (1) 求经过点P且与原点距离为2的直线l的方程． (2) 求经过点P且与原点距离最大的直线l的方程，并求出最大距离． (3) 是否存在经过点P且与原点距离为6的直线？若存在，求出其方程；若不存在，请说明理由． 能力培养 一、数学抽象 12.已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都 经过点A(3，2)，则经过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线的方程是 (　　) A. 3x＋2y－1＝0 B. 2x＋3y＋1＝0 C. 3x－2y＋1＝0 D. 3x＋2y＋1＝0 13.已知直线l：y＝3x＋3，试求： (1) 点P(4，5)关于直线l的对称点的坐标； (2) 直线l关于点A(3，2)对称的直线的方程． 14.在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得： (1) 点P到点A(4，1)，B(0，4)的距离之差最大； (2) 点P到点A(4，1)，C(3，4)的距离之和最小． 二、数学推理 15.过点P(－1，0)，Q(0，2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上的截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程． 16.已知经过点A(－2，0)，B(1，3a)的直线l1与经过点P(0，－1)，Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，求实数a的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章综合提升 聚焦考点 考点一　直线的方程 1.已知点A(3，0)，B(0，2)，C(2，6)，则△ABC的边BC上的中线所在直线的方程为(　B　) A. 2x＋y＋6＝0 B. 2x＋y－6＝0 C. 2x－y－6＝0 D. 2x－y－1＝0 解析：设BC的中点D(x，y)，则x＝＝1，y＝＝4，所以D(1，4).因为kAD＝＝－2，所以边BC上的中线所在直线的方程为y－0＝－2(x－3)，即2x＋y－6＝0. 2.(多选题)下列说法正确的是(　ABD　) A.直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点(3，2) B.直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2 C.直线x＋y＋1＝0的倾斜角为60° D.经过点(－1，2)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线的方程为2x＋y＝0 解析：对于A，y＝ax－3a＋2(a∈R)可化为y－2＝a(x－3)，则直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点(3，2)，故A正确；对于B，令x＝0，则y＝－2，即直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2，故B正确；对于C，x＋y＋1＝0可化为y＝－x－1，则该直线的斜率为－，即倾斜角为120°，故C错误；对于D，设经过点(－1，2)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线的斜率为k，直线x－2y＋3＝0的斜率为，故k· ＝－1，得k＝－2，则经过点(－1，2)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线的方程为y－2＝－2(x＋1)，即2x＋y＝0，故D正确． 3.已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点M(1，－1)到直线l的距离为，则直线l的方程为___x－y＝0或x＋y＋2＝0或x＋y－2＝0____． 解析：当直线l经过原点时，设直线l的方程为y＝kx.由题意，知＝，解得k＝1.所以直线l的方程为x－y＝0.当直线l在两坐标轴上的截距不为0时，设直线l的方程为＋ ＝1，即x＋y－a＝0.由题意，知＝，解得a＝±2.所以直线l的方程为x＋y－2＝0或x＋y＋2＝0.综上所述，直线l的方程为x－y＝0或x＋y＋2＝0或x＋y－2＝0. 4.已知直线l经过点P(1，2)． (1) 若直线l在两坐标轴上的截距之和为6，求直线l的方程； (2) 若直线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A，B两点，试求△AOB 的面积的最小值及此时直线l的方程． 解析：(1) 因为直线l经过点P(1，2)，且在两坐标轴上的截距之和为6，所以直线l的斜率存在且不为0，设为k，则直线l的方程为 y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0.因为直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为2－k，所以＋(2－k)＝6，解得k＝－1 或k＝－2.所以直线l的方程为x＋y－3＝0或 2x＋y－4＝0. (2) 因为直线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A，B两点，所以直线l的斜率存在且不为0，设为m，且m＜0，则直线l的方程为 y－2＝m(x－1)，即mx－y＋2－m＝0.所以A ，B(0，2－m)．所以△AOB的面积为··(2－m)＝＝2＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即m＝－2时，等号成立．故△AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为2x＋y－4＝0. 考点二　两直线的位置关系 5.已知直线l1：x＋ay＋7＝0和l2：(a－2)x＋3y＋1＝0互相平行，则(　C　) A.a＝3 B.a＝－1 C.a＝－1或a＝3 D.a＝1或a＝－3 解析：因为直线l1：x＋ay＋7＝0和l2：(a－2)x＋3y＋1＝0互相平行，所以解得a＝－1或3. 6.(多选题)已知直线l1：3x＋y－3＝0，直线 l2：6x＋my＋1＝0，则下列表述正确的有(　BD　) A.直线l2的斜率为－ B.若直线l1垂直于直线l2，则实数m＝－18 C.直线l1的倾斜角的正切值为3 D.若直线l1平行于直线l2，则实数m＝2 解析：直线l1：3x＋y－3＝0，直线l2：6x＋my＋1＝0，当m＝0时，直线l2的斜率不存在，故选项A错误；若直线l1垂直于直线l2，则有3×6＋1×m＝0，解得m＝－18，故选项B正确；直线l1的斜率为－3，故其倾斜角的正切值为－3，故选项C错误；若直线l1平行于直线l2，则解得m＝2，故选项D正确． 7.已知点A(2，4)，B(3，3)关于直线l对称，则直线l的方程为___x－y＋1＝0______． 解析：由题意，知直线l即为线段AB的垂直平分线，所以kl·kAB＝－1，易得kl＝1.因为线段AB的中点坐标为，所以直线l的方程为 y－＝x－，即x－y＋1＝0. 8.已知两条直线l1：5x＋5my＋6＝0，l2：(m－2)x ＋15y＋2m＝0. (1) 当m为何值时，l1与l2垂直？ (2) 当m为何值时，l1与l2平行？ 解析：(1) 由两条直线l1：5x＋5my＋6＝0，l2：(m－2)x＋15y＋2m＝0，l1与l2垂直，可得 5(m－2)＋5m×15＝0，解得m＝，所以当m＝时，l1与l2垂直． (2) 由题意，得＝≠，解得m＝5，所以当m＝5时，l1与l2平行． 考点三　距离公式 9.(多选题)已知两条直线的方程分别为 x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，且a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，0≤c≤，则这两条直线之间距离的(　AC　) A.最大值是 B.最大值是 C.最小值是 D.最小值是 解析：因为a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，所以ab＝c，a＋b＝ －1.又直线x＋y＋a＝0与直线x＋y＋b＝0之间的距离d＝，所以 d2＝＝＝＝－2c.因为0≤c≤，所以－2× ≤ －2c≤ －2×0，即≤ －2c≤ .所以≤d≤ . 10. 已知直线l：y＝2x＋3，则点M(1，0)到直线l的距离为______． 解析：点M(1，0)到直线l的距离为＝＝. 11. 已知点P(2，－1)． (1) 求经过点P且与原点距离为2的直线l的方程． (2) 求经过点P且与原点距离最大的直线l的方程，并求出最大距离． (3) 是否存在经过点P且与原点距离为6的直线？若存在，求出其方程；若不存在，请说明理由． 解析：(1) 设直线l的方程为a(x－2)＋b(y＋1)＝0，则＝2.化简，得b＝0或b＝－a，故直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0. (2) 经过点P且与原点O距离最大的直线是经过点P且与直线OP垂直的直线，由l⊥OP，得kl·kOP＝－1，所以kl＝－＝2.由直线的点斜式方程，得直线l的方程为y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，即直线2x－y－5＝0是经过点P且与原点O距离最大的直线，最大距离为＝. (3) 不存在．理由：由(2)知，不存在经过点P且到原点距离超过的直线，所以不存在经过点P且与原点距离为6的直线． 能力培养 一、数学抽象 12.已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都 经过点A(3，2)，则经过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线的方程是 (　D　) A. 3x＋2y－1＝0 B. 2x＋3y＋1＝0 C. 3x－2y＋1＝0 D. 3x＋2y＋1＝0 解析：因为直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都经过点A(3，2)，所以3a1＋2b1＋1＝0，3a2＋2b2＋1＝0.所以经过点P1(a11，b1)和点P2(a2，b2)的直线的方程是3x＋2y＋1＝0. 13.已知直线l：y＝3x＋3，试求： (1) 点P(4，5)关于直线l的对称点的坐标； (2) 直线l关于点A(3，2)对称的直线的方程． 解析：(1) 设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，所以解得所以点P′的坐标为(－2，7)． (2) 设直线l关于点A(3，2)对称的直线为l3，则直线l上任意一点P(x1，y1)关于点A的对称点P3(x3，y3)一定在直线l3上，反之也成立．所以解得代入直线l的方程，得3x3－y3－17＝0.所以直线l3的方程为3x－y－17＝0. 14.在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得： (1) 点P到点A(4，1)，B(0，4)的距离之差最大； (2) 点P到点A(4，1)，C(3，4)的距离之和最小． 解析：(1) 如图①，设点B关于l的对称点为B′(a，b)，则 kl·kBB′＝－1，即3·＝－1，所以a＋3b－12＝0①.因为BB′的中点在直线l上，所以3·－－1＝0，即3a－b－6＝0②.联立①②，解得a＝3，b＝3，所以点B′的坐标为(3，3)．所以直线AB′的方程为＝，即2x＋y－9＝0.联立解得即直线l与AB′的交点坐标为(2，5)，所以P(2，5)． (2) 如图②，设点C关于l的对称点为C′(c，d)，则kl·kCC′＝－1，即3·＝－1，即c＋3d－15＝0③.因为C′C的中点在直线l上，所以3·－－1＝0，即3c－d＋3＝0④.联立③④，求出点C′的坐标为，所以AC′所在直线的方程为19x＋17y－93＝0.联立直线AC′与l的方程，即解得故点P的坐标为. 二、数学推理 15.过点P(－1，0)，Q(0，2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上的截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程． 解析：当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上的截距之差的绝对值为1，符合题意．当直线的斜率存在时，设其斜率为k，由题意，知k≠0，则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，y－2＝kx.令y＝0，得x＝－1与x＝－.由题意，得＝1，解得k＝1.所以两条直线的方程分别为y＝x＋1，y＝x＋2，即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.综上所述，所求两直线的方程分别为x＝－1，x＝0或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0. 16.已知经过点A(－2，0)，B(1，3a)的直线l1与经过点P(0，－1)，Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，求实数a的值． 解析：由题意，得l1的斜率k1＝＝a，当a≠0时，l2的斜率k2＝＝.因为l1⊥l2，所以k1·k2＝－1，即a·＝－1，解得a＝1.当a＝0时，点P(0，－1)，Q(0，0)，这时直线l2为y轴，点A(－2，0)，B(1，0)，这时直线l1为x轴，显然l1⊥l2.综上所述，实数a的值为1或0. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$