精品解析：上海市青浦区教师进修学院附属中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题

青教院附中2022学年第二学期期中考试八年级 数学试卷 （满分100分，考试时间90分钟） 一、选择题（4×3分=12分） 1. 以下函数中，属于一次函数的是（　　） A. y＝ B. y＝ C. y＝c（c为常数） D. y＝kx+b（k、b为常数） 2. 下列方程中，有实数根的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 如果一个多边形的内角和是其外角和的两倍，那么这个多边形是（　　） A. 六边形 B. 五边形 C. 四边形 D. 三角形 4. 如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点．有下列结论：①关于x的方程的解为；②关于x的方程的解为；③当时，；④当时，．其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 二、填空题（14×2分=28分） 5. 一次函数的定义域为______． 6. 已知一次函数，那么_____． 7. 已知函数是关于的一次函数，则______． 8. 若一次函数中随的增大而减小，则的取值范围是______． 9. 已知直线在y轴上的截距为2，那么该直线与x轴的交点坐标为______． 10. 直线与两坐标轴围成三角形的面积为，则的值为______． 11. 方程的根是______． 12. 如果方程无实数解，那么的取值范围是______． 13. 用换元法解分式方程时，如果设，那么可将原方程变形后表示为关于y的一元二次方程一般形式：_____． 14. 已知关于的分式方程有增根，则______． 15. 已知一次函数的图象不经过第一象限，那么函数值y随自变量x的值增大而_____（填“增大”或“减小”）． 16. 某次列车平均提速，用相同的时间，列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，提速前列车的平均速度为多少？设提速前这次列车的平均速度为，可列方程____________________． 17. 如图，小毛从点出发沿直线前进米到达点后向左旋转的角度为，再沿直线前进米，到达点后，又向左旋转角度，照这样走下去，第二次回到出发地点时，他共走了米，则每次旋转的角度为______． 18. 请阅读：小毛在解方程时采用了课本以外方法： 由， 又有，可得，将这两式相加可得， 将两边平方可解得，经检验是原方程的解． 请你参考小毛独特方法，解决下列问题： 已知，则a的值为________． 三、解答题（19～24题，每题6分；第25、26题每题7分，共计50分） 19 解方程：． 20. 解方程： 21. 解方程组：． 22. 解关于的方程：． 23. 已知点、在直线上，和函数的图象交于点． （1）求直线的表达式． （2）若点的横坐标为1，求的面积． 24. 某商店第一次用600元购进某种型号的铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但每支的进价比第一次贵1元，所以购进数量比第一次少了30支． （1）求第一次每支铅笔的进价和购买的数量． （2）若将这两次购买铅笔按同一单价（元/支）全部销售完毕，并要求总利润不低于420元．求总利润（元）关于单价（元/支）的函数关系式及定义域． 25. 如图所示，求． 26. 甲、乙两组工人同时开始加工某种零件，乙组在工作2小时后停产1小时更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍，两组各自加工零件的数量（件）与开工后时间（小时）的函数图像如图所示： （1）甲组每小时加工零件__________件；更换设备前，乙组每小时加工零件___________件； （2）更换设备后，乙组每小时加工零件___________件；__________件； （3）更换设备后，乙组加工零件数量（件）与（小时）的函数解析式为____________（不写定义域）； （4）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，则经过____________小时恰好装满一箱． 四、综合题（本题满分10分，第一小题2分，第二小题4分，第三小题4分） 27. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线：交于点C． （1）若直线解析式为，求：点C的坐标； （2）在（1）的条件下，若P是x轴上的一个动点，直接写出当是等腰三角形时P点的坐标． （3）如图2，作的平分线，若，垂足为E，，P是线段上的动点，过点P作的垂线，垂足分别为M，N，试问的值是否变化，若不变，求出的值；若变化，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 青教院附中2022学年第二学期期中考试八年级 数学试卷 （满分100分，考试时间90分钟） 一、选择题（4×3分=12分） 1. 以下函数中，属于一次函数的是（　　） A. y＝ B. y＝ C. y＝c（c为常数） D. y＝kx+b（k、b为常数） 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的概念：形如（均是常数），对四个选项逐一进行判断即可． 【详解】A、中，，是一次函数，故该选项符合题意； B、是反比例函数，故该选项不符合题意； C、（c是常数）是常函数，故该选项不符合题意； D、当时，就不是一次函数，故该选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查一次函数的概念，熟练掌握一次函数的概念是解此题的关键． 2. 下列方程中，有实数根的方程是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式、解分式方程、无理方程的方法与步骤逐项判断即可． 【详解】解：A、一元二次方程的判别式，故方程无实数根，故A不符合题意； B、分式方程去分母得，解得，经检验是原方程的解，故选项B符合题意； C、要使根式有意义，则且，即，此时，故C不符合题意； D、，故无实数解，故D不符合题意； 故选B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程、分式方程、无理方程的解的情况，熟练掌握一元二次方程、分式方程与无理方程的解法是解此题的关键． 3. 如果一个多边形的内角和是其外角和的两倍，那么这个多边形是（　　） A. 六边形 B. 五边形 C. 四边形 D. 三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了已知多边形的内角和求边数，根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，然后求解即可． 【详解】解：设多边形的边数为n， ， 解得：， 故选A． 4. 如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点．有下列结论：①关于x的方程的解为；②关于x的方程的解为；③当时，；④当时，．其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式等知识点，利用图象法确定一元一次方程的解和一元一次不等式的解集是解题的关键． 利用图象法确定一元一次方程的解和一元一次不等式的解集，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点， ∴当时，，当时，， ∴关于x的方程的解为；关于x的方程的解为；故结论①、结论②正确； 由函数图象可知，当时，；当时，；故结论③正确，结论④错误； 综上，正确的结论有：， 故选：A． 二、填空题（14×2分=28分） 5. 一次函数的定义域为______． 【答案】一切实数 【解析】 【分析】本题考查函数的定义域，掌握一次函数的定义域是全体实数是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数是整式函数， ∴定义域为一切实数， 故答案为：一切实数． 6. 已知一次函数，那么_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 【详解】解：当时，， 故答案为：6． 7. 已知函数是关于的一次函数，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．根据一次函数的定义求解即可． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：． 故答案为：2． 8. 若一次函数中随的增大而减小，则的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】在中，当时y随x的增大而增大，当时y随x的增大而减小．由此列不等式可求得k的取值范围． 【详解】解：∵一次函数中y随x的增大而减小， ∴，解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数的增减性，掌握一次函数的增减性是解题的关键． 9. 已知直线在y轴上的截距为2，那么该直线与x轴的交点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质．由条件可先求得k的值，再令，可求得直线与x轴的交点坐标． 【详解】解：∵在y轴上的截距为2， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 令，可得， 解得， ∴直线与x轴的交点坐标为， 故答案为：． 10. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．本题需注意在计算平面直角坐标系中的三角形面积时，用不确定的未知字母来表示线段长时，应该使用该字母的绝对值表示．直线与轴的交点为，与轴的交点是，由题意得，求解即可． 【详解】∵直线与轴的交点为，与轴的交点是，直线与两坐标轴围成的三角形的面积是， ∴， 解得：． 故答案为：． 11. 方程的根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据方程特点可以利用直接开平方法求解．利用直接开平方法可得方程的解． 【详解】解：原方程两边直接开平方可得： ， 原方程两边直接开平方可得： 或者， ∴， 故答案为：． 12. 如果方程无实数解，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解无理方程和解一元一次不等式，能根据算术平方根的非负性得出是解此题的关键．移项后得出，根据算术平方根的非负性得出，求出此时，再求出的取值范围即可． 【详解】解：， ， ， 若方程无实数解，必须， ， 故答案为：． 13. 用换元法解分式方程时，如果设，那么可将原方程变形后表示为关于y的一元二次方程一般形式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了换元法解方程，根据题意将直接换掉即可得到答案 【详解】解：设，则可将原方程变形, 化为一般形式为 故答案为 14. 已知关于的分式方程有增根，则______． 【答案】-1 【解析】 【分析】先把分式方程化为整式方程得到，然后把代入得，再解关于的方程即可． 【详解】解：去分母得， 整理得， 把代入得，解得； 所以当时，原方程有增根． 故答案为． 【点睛】本题考查了分式方程的增根：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． 15. 已知一次函数的图象不经过第一象限，那么函数值y随自变量x的值增大而_____（填“增大”或“减小”）． 【答案】减小 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，先根据图象经过的象限确定，然后根据性质得到增减性即可解题． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第一象限， ∴，， ∴函数值y随自变量x的值增大而减小， 故答案为：减小． 16. 某次列车平均提速，用相同的时间，列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，提速前列车的平均速度为多少？设提速前这次列车的平均速度为，可列方程____________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“提速前路程提速前速度提速后路程提速后速度”列出方程即可． 【详解】解：设提速前这次列车的平均速度为，可列方程， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系． 17. 如图，小毛从点出发沿直线前进米到达点后向左旋转的角度为，再沿直线前进米，到达点后，又向左旋转角度，照这样走下去，第二次回到出发地点时，他共走了米，则每次旋转的角度为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了多边形的计算，正确理解多边形的外角和是是关键．根据共走了米，每前进米左转一次可求得左转的次数，则已知多边形的边数，再根据外角和计算左转的角度． 【详解】解：向左转次数（次）， 则左转的角度是． 故答案是：． 18. 请阅读：小毛在解方程时采用了课本以外的方法： 由， 又有，可得，将这两式相加可得， 将两边平方可解得，经检验是原方程的解． 请你参考小毛独特的方法，解决下列问题： 已知，则a的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查无理方程的解法，利用题干中的方法求解即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 将得，， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题（19～24题，每题6分；第25、26题每题7分，共计50分） 19 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程，再用因式分解法求解，最后进行检验即可． 【详解】解：， ， ， ， ，， 检验：当时，；当时，； ∴是原分式方程的解． 【点睛】本题主要考查了解分式方程和解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程和解一元二次方程的方法和步骤． 20. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】根据解无理方程的方法解答即可． 【详解】解：方程两边同时平方，得， 整理，得，即， 解得：， 经检验：是原方程的解． ∴原方程的解是：． 【点睛】本题考查了无理方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解无理方程的方法是关键． 21. 解方程组：． 【答案】或 【解析】 【分析】由方程②在左边因式分解，化成两个一次方程，再分别与方程①组成新方程组求解即可． 详解】解：， 由②得：， ∴x－2y＝0或x＋y＝0， 当时，，当时，， ∴方程组的解为，． 【点睛】本题考查角二元二次方程组.将二元二次方程转化成两个一次方程，从而组成的二元一次方程组是解题的关键． 22. 解关于的方程：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查解一元二次方程，先将方程化为一般形式，再利用直接开平方法求出方程的根． 【详解】解：移项整理得：， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴原方程的解是：． 23. 已知点、在直线上，和函数的图象交于点． （1）求直线的表达式． （2）若点的横坐标为1，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由于点A，C在直线上，可用待定系数法确定直线l的表达式； （2）先求出点B的坐标，然后求出a的值，再求函数与x轴的交点D的坐标，最后分别求出△BCD和△ACD的面积即可求出△BAD的面积． 【小问1详解】 ∵，在直线上， ∴代入得：， 解得：， ∴直线． 【小问2详解】 ∵在直线上，且点的横坐标为1， ∴， ∴， ∵点在上， ∴代入得：， 解得：， ∴， ∵与轴交于点， ∴， 解得， 即点， 连接AD，如图， ∴ ． 【点睛】本题考查了待定系数法确定函数解析式、三角形的面积、直线与方程组的关系等知识点．把△BAD的面积转化为△BCD与△ACD的面积的差是解第（2）题的关键． 24. 某商店第一次用600元购进某种型号的铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但每支的进价比第一次贵1元，所以购进数量比第一次少了30支． （1）求第一次每支铅笔的进价和购买的数量． （2）若将这两次购买的铅笔按同一单价（元/支）全部销售完毕，并要求总利润不低于420元．求总利润（元）关于单价（元/支）的函数关系式及定义域． 【答案】（1）第一次每支铅笔的进价是4元，购进150支；（2）y＝270x−1200，定义域为x≥6 【解析】 【分析】（1）利用第二次购进数量比第一次少了30支，进而得出关系式进而得出答案； （2）利用（1）中所求，得出y＝（x−4）×150＋（x−5）×120从而列出不等式，求出x的范围即可． 【详解】解：（1）设第一次每支铅笔的进价为a元/支， 则据题意得： ， ∴a1＝4，a2＝−5（舍）， 经检验：a=4是方程的解，且符合题意， 600÷4＝150， 答：第一次每支铅笔的进价是4元，购进150支； （2）由题意得：y＝（x−4）×150＋（x−5）×120＝270x−1200， ∵y≥420， ∴270x−1200≥420，解得：x≥6， 即获利y（元）关于单价x（元/支）的函数关系为：y＝270x−1200，定义域为x≥6． 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用以及分式方程的应用，利用第二次购进数量比第一次少了30支列出分式方程是解题关键． 25. 如图所示，求． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查三角形外角的性质，多边形内角和，设与、的交点为、，根据三角形外角的性质得到,，即可求出答案，正确理解三角形外角性质将角度进行转化是解题的关键 【详解】解：设与、的交点为、， ∵, ∴ ∴ 26. 甲、乙两组工人同时开始加工某种零件，乙组在工作2小时后停产1小时更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍，两组各自加工零件的数量（件）与开工后时间（小时）的函数图像如图所示： （1）甲组每小时加工零件__________件；更换设备前，乙组每小时加工零件___________件； （2）更换设备后，乙组每小时加工零件___________件；__________件； （3）更换设备后，乙组加工零件数量（件）与（小时）的函数解析式为____________（不写定义域）； （4）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，则经过____________小时恰好装满一箱． 【答案】（1）40，30；（2）60，180；（3）y＝60x−120；（4）4.2 【解析】 【分析】（1）根据图象可得甲6小时加工了360个，乙2小时加工60个，据此即可求解； （2）求得乙组每小时加工60个，a＝60＋2×60＝180； （3）利用待定系数法即可解决问题； （4）根据图象可知更换设备后：根据y甲＋y乙＝300，列出方程即可解决问题； 【详解】解：（1）根据图象信息，可知甲组每小时加工零件240÷6＝40件，更换设备前，乙组每小时加工零件60÷2＝30件． 故答案为40，30； （2）更换设备后，乙组每小时加工的个数是60件． 则a＝60＋（5−3）×60＝180． 故答案为60，180； （3）设更换设备后，乙组加工零件数量y（件）与x（小时）的函数解析式为y＝kx＋b， 把（3，60），（5，180）代入可得，解得， ∴y＝60x−120； （4）因为y甲＝40x， 由题意40x＋60x−120＝300， 解得x＝4.2， 故答案是：4.2． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，理解图象，通过图象求得甲组和乙组的工作效率是关键． 四、综合题（本题满分10分，第一小题2分，第二小题4分，第三小题4分） 27. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线：交于点C． （1）若直线解析式为，求：点C的坐标； （2）在（1）的条件下，若P是x轴上的一个动点，直接写出当是等腰三角形时P点的坐标． （3）如图2，作的平分线，若，垂足为E，，P是线段上的动点，过点P作的垂线，垂足分别为M，N，试问的值是否变化，若不变，求出的值；若变化，请说明理由． 【答案】（1） （2）或或或 （3） 【解析】 【分析】（1）把两个解析式联立成方程组，解方程组即可； （2）设点P的坐标为根据，分类讨论，根据腰相等，利用勾股定理列方程即可求解； （3）证明，连接，作于H，利用等积法证明即可． 【小问1详解】 解：根据题意，把、解析式联立得， ， 解得，， 点C的坐标为． 【小问2详解】 解：设点P的坐标为根据， 因为点C的坐标为， 所以，，，， 当时，，解得，，点P的坐标为或； 当时，，解得，，点P的坐标为； 当时，，解得，或（舍去），点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或或或． 【小问3详解】 解：的值不变化； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接，作于H， ，，， ∵， ∴， ∴， 设点C的坐标为， 则， 解得，，（舍去）， 即． 【点睛】本题考查了一次函数的性质和勾股定理、等腰三角形的性质与判定，解题关键是根据一次函数的有关性质，求函数图像交点，利用点的坐标列出相关方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$