2.4.1圆的标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是 2.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0的距离公式是 当A=0或B=0时,公式仍然成立. 1.两点间距离公式 复习回顾: 第二章 直线与圆的方程 2.4 圆的方程 2.4.1 圆的标准方程 事实：平面直角坐标系中，两点能确定一条直线； 思考：那么在平面直角坐标系中，确定一个圆，需几个要素呢 ？ 一点和一倾斜角也能确定一条直线。 应该怎样确定圆的方程呢？ 2.探究新知 　问题1：什么是圆？初中时我们是怎样给圆下定义的？ 平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆． 　问题2：平面直角坐标系中，如何确定一个圆？ 圆心：确定圆的位置 半径：确定圆的大小 定点 定长 确定圆的几何要素：圆心和半径 A r 圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合。 定点 定长 圆心 半径 · r C 圆心是C(a,b),半径是r,求圆的方程. 设点M (x,y)为圆C上任一点， x y O M(x,y) |MC|= r 则 P = { M | |MC| = r } 圆上所有点的集合 2.探究新知 圆的标准方程 1.括号内x,y的系数都为______ 2.括号内连接符号为____,括号外连接符号为___ 特点： 特别： 圆的标准方程 (x- ) 2 + (y- ) 2 = r2 >0 3.圆上点________;圆心________;半径______ 1 _ + 当圆心在原点(0,0)上时,圆的方程为： >0 3.概念深化 自学检测1: ⑴圆(x－1)2+(y－1)2=9 ⑵圆(x－2)2+(y+4)2=2 圆心(2,－4),半径 ⑶圆(x+1)2+(y+2)2=m2 圆心(1,1),半径3 圆心(－1,－2),半径|m| 1(口答)求圆的圆心和半径; 例△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,－3),C(2,－8) 求它的外接圆方程. 待定系数法（软求法） 解：设所求圆的方程为： 因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上 所求圆的方程为 自学检测2: 圆心：两条弦的中垂线的交点 半径：圆心到圆上一点 x y O C A(5,1) B(7,-3) C(2,-8) 法二 自学检测2: 例△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,－3),C(2,－8) 求它的外接圆方程. 圆的标准方程的两种求法 (1)几何法 它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程. (2)待定系数法 由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是: ①设——设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2; ②列——由已知条件,建立关于a,b,r的方程组; ③解——解方程组,求出a,b,r; ④代——将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程. 方法总结: x y O C A(1,1) B(2,-2) 1.己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程. 自学检测3: a–b+1=0 3.圆心在(-1,2),与y轴相切的圆的标准方程为 . (x+1)2+(y-2)2=1 x y 0 c 变式:求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程. C y x O M 知识探究2: 点与圆的位置关系 怎样判断点M(x0,y0)在圆C:(x-a)2＋(y-b)2＝r2的内部?还是外部? x y C(a,b) 探究：如何确定点P(x0,y0)与圆 的位置关系？ |PC|<r |PC|=r |PC|>r 点在圆上 点在圆外 点在圆内 位置关系 图形 几何条件 代数形式 C P C C P P 知识探究2: 点与圆的位置关系 [例1]　求圆心为A(2，－3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5，－7)，M2(－2，－1)是否在这个圆上． [解析]　圆心为A(2，－3)，半径为5的圆的标准方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25. 　1.已知圆心为C(1,1)的圆经过点A(4,5)，求圆C的标准方程，并判断点P(3,4)，Q(－3，－4)与此圆的位置关系． 自学检测4: 2.已知圆心A(2, -3),半径等于5的圆的方程,判断点M(5,-7)、N(1,0)、Q(7,1)是在圆上,在圆内,在圆外? 1.已知 和圆(x – 2)2+(y+3)2=25, 则点M在 ( ) A.圆内 B.圆上 C.圆外 D.无法确定 B 3.若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部， 则a的取值范围是(　　) A.－1<a<1　　　 B.0<a<1 C.a<－1或a>1 D.－1<a<0 A 变式:已知集合A＝{(x,y)|x＝3a＋1,y＝4a},集合B＝{(x,y)|(x－2)2＋y2＜25a2},且A∩B≠∅,求实数a的取值范围. 4.已知圆C:x2＋y2＝1,点M(3,4)是圆C外定点,求点M与圆上动点连线距离的最大值与最小值. 　 圆的直径式方程 已知圆的直径的两个端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 　3.已知点A(2，－1)，B(4,1)，求以线段AB为直径的圆的标准方程． 二、圆关于点对称 [典例2]　圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为(　　) A．(x－2)2＋y2＝5　　 B．x2＋(y－2)2＝5 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5 [解析]　由题知，所求圆的圆心与圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心(－2,0)关于原点(0,0)对称，且两圆半径相等，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5. [答案]　A 三、圆关于直线对称 [典例3]　已知圆C与圆C1：(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的标准方程为(　　) A．(x＋1)2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1 C．x2＋(y＋1)2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1 C 圆的标准方程 圆心在原点的圆的标准方程 圆心、半径 点与圆的位置关系 圆外: 圆上: 圆内: 课堂小结 通过今天的学习，你学到了哪些新知识？ 在今天的学习中，运用了什么数学方法与思想？ 类比法、坐标法、代数法、数形结合等 圆的基本要素 方法1:利用点M到圆心C的距离与半径作比较： ①若|MC|<r，则点M在圆内； ②若|MC|＝r，则点M在圆上； ③若|MC|>r，则点M在圆外． 方法2:利用圆的标准方程判断： ①若(x0－a)2＋(y0－b)2>r2，则点M在圆外； ②若(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，则点M在圆上； ③若(x0－a)2＋(y0－b)2<r2，则点M在圆内． 解:如图连接OM交圆于A、B两点,|OM|＝5, ∴dmax＝5＋1＝6 dmin＝5－1＝4. 5.如果实数x、y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6. 求:(1)eq \f(y,x)的最大值与最小值； (2)x＋y的最大值与最小值． (3)x2＋y2的最大值与最小值． 解:(1)设P(x，y)，则P点的轨迹就是已知圆 C：(x－3)2＋(y－3)2＝6. 而eq \f(y,x)的几何意义就是直线OP的斜率(O为坐标原点)， 如图(1)所示，设eq \f(y,x)＝k，则直线OP的方程为y＝kx. 由图(1)可知，当直线OP与圆相切时，斜率取最值． ∵点C到直线y＝kx的距离d＝eq \f(|3k－3|,\r(k2＋1))， ∴当eq \f(|3k－3|,\r(k2＋1))＝eq \r(6)，即k＝3±2eq \r(2)时，直线OP与圆相切． ∴eq \f(y,x)的最大值与最小值分别是3＋2eq \r(2)和3－2eq \r(2). 5.如果实数x、y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6. 求:(1)eq \f(y,x)的最大值与最小值； (2)x＋y的最大值与最小值． (3)x2＋y2的最大值与最小值． 5.如果实数x、y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6. 求:(1)eq \f(y,x)的最大值与最小值； (2)x＋y的最大值与最小值． (3)x2＋y2的最大值与最小值． (3) z＝x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2，表示圆上动点与 原点连线距离的平方，而|OC|＝3eq \r(2). ∴zmax＝(3eq \r(2)＋eq \r(6))2＝24＋12eq \r(3). zmin＝(3eq \r(2)－eq \r(6))2＝24－12eq \r(3). $$