2.4.2圆的一般方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章 直线与圆的方程 2.4 圆的方程 2.4.2 圆的一般方程 1、圆心C(a,b),半径r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2 2、点和圆的位置关系;若点到圆心的距离为d， (x0-a)2+(y0-b)2>r2时，点在圆外； (x0-a)2+(y0-b)2=r2时，点在圆上； (x0-a)2+(y0-b)2<r2时，点在圆内; 3、圆的标准方程的两种求法： 复习 待定系数法和几何性质法 我们知道方程(x-1)2+(y+2)2=4表示以(1，-2)为圆心，半径为2的圆，可以将此方程变形为x2+y2-2x+4y+1=0 一般的，圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2可变形为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (2) 的形式，反过来，形如(2) 的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗? 探究 解：将变形x2+y2+Dx+Ey+F=0得x2+Dx+y2+Ey+F=0 配方可得： 探究 解：将变形x2+y2+Dx+Ey+F=0得x2+Dx+y2+Ey+F=0 配方可得： 当D2+E2-4F>0时，表示以 为圆心，以 为半径的圆 当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解 ，表示一个点 当D2+E2-4F＜0时，方程（1）无实数解，所以不表示任何图形 所以形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2+E2-4F>0)可表示圆的方程 圆的一般方程: 注意：(1) x2与y2系数相同并且不等于0 (2) 没有xy这样的二次项 (3) 与圆的标准方程的关系： 新知 考点一：圆的一般式方程的概念 2、判断下列方程是否表示圆，若是，写出圆心和半径． (1)3x2＋y2＋2x＋1＝0； (2)x2＋y2＋xy＋1＝0； (3)x2＋y2＋x＋2y＋1＝0； (4)x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0. 不是 不是 是 1．已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆． (1)求实数m的取值范围； (2)求该圆半径的取值范围． 1.标准方程:明确地指出了圆心和半径; 2.一般方程:突出了代数方程的形式结构. (1)x2和y2系数相同,都不等于0. (2)没有xy这样的二次项. 思考:圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点? 名称 标准方程 一般方程 方程形式 圆心 半径 点A(x0,y0)在圆上 点A(x0,y0)在圆外 点A(x0,y0)在圆内                 (a,b) r     r>0   C 变式:已知定点A(a,2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部,求a的取值范围. 1.求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求出这个圆的圆心坐标和半径. 应用1:求圆的一般式方程 解： 设圆的方程为 把点 的坐标代入得方程组 解得: 故所求圆的方程为 因此所求圆的圆心为 半径长为 2．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为 ，求圆的一般方程． 用待定系数法求圆的方程的大致步骤 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程． (2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组． (3)解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程． 考点二　轨迹方程 (1)点M的轨迹方程是指 满足的关系式写出方程，并标明定义域． (2)轨迹是指点在运动变化过程中形成的 ．在解析几何中，我们常常把图形看作 ． (3)求符合某种条件的动点M的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过 将其转化为关于变量x，y之间的方程． 点M的坐标(x，y) 图形 点的轨迹(集合) “坐标化” 变式：已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆 (x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程． 法二：同法一得x≠3且x≠－1. 由勾股定理得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2， 即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16， 化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)． 拓展：阿波罗尼斯圆及应用 思考：在平面上给定相异两点A、B,设点P在同一平面上且满足 时，点P的轨迹是个圆，为什么？ 99366 (9) - 解　点C在直线l：y＝2x－4上，故设C的坐标为(a，2a－4). 因为半径r1＝1，所以圆C的方程是(x－a)2＋[y－(2a－4)]2＝1. 设点M(x，y)，则由|MA|＝2|MO|可得点M的轨迹正是阿波罗尼斯圆D， (2)在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上.若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围. 化简整理得x2＋(y＋1)2＝4. 所以点M(x，y)在以D(0，－1)为圆心，r2＝2为半径的圆上. 又点M(x，y)在圆C上，所以两圆有公共点的条件是|r1－r2|≤|DC|≤|r1＋r2|， D 4 5 1 　相关点法(代入法)求轨迹方程的一般步骤 (1)轨迹上的动点P坐标设为(x，y)，与其相关的动 点Q坐标设为(x0，y0)． (2)找出P(x，y)和Q(x0，y0)之间的关系 (3)将Q(x0，y0)，即Q(f(x，y)，g(x，y))代入已知曲 线方程F(x，y)＝0化简即可． 解：设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)． 由于点B的坐标是(4,3)，且M是线段AB的中点， 所以x＝，y＝. 于是有x0＝2x－4，y0＝2y－3.① 因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，所以点A的 坐标满足圆的方程，即(x0＋1)2＋y＝4.② $$