2.2.1直线的点斜式方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章 直线与圆的方程 2.2 直线的方程 2.2.1 点斜式方程 (1)已知直线上的一点和和直线的倾斜角（斜率）可以确定一条直线. (2)已知两点也可以确定一条直线. 这样，在直角坐标系中， (1)给定一个点和斜率 (2)给定两点. 确定一条直线的几何要素 确定一条直线！ 也就是说，平面直角坐标系中的点 在不在这条直线上是完全确定的. l 一、回顾旧知 P1 · P2 · y x O P 解：因为直线l的斜率为k， 由斜率公式得 即 y-y0=k(x-x0) (1) 探究 思考：在直角坐标系中，给定一个点P0(x0,y0)和斜率 k ，就能确定唯一的一条直线。也就是说直线上所有点的坐标P(x, y)与P0、k 之间的关系是确定的，这一关系如何表示？ 由以上推导可知： 1、过点P0(x0,y0)，斜率为 k的直线l上的每一点的坐标都满足方程(1)。 方程y-y0=k(x-x0)由直线上一点及其斜率确定，把这个方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． x y O l P0 新知 注意： 1、直线的点斜式方程的前提条件：①斜率必须存在； ②已知一点P(x0，y0)和斜率k. 2、方程y－y0＝k(x－x0)与方程 不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x0，y0)的一条直线． 4 x y l P0(x0,y0) (1)l与x轴平行或重合时: y0 O 倾斜角为0° 斜率k=0 3.点斜式方程特殊情况: x y l P0(x0,y0) (2)l与x轴垂直时: x0 O 倾斜角为90° 斜率k 不存在! 不能用点斜式求方程! 但是直线是存在的. 4.小结:点斜式方程 x y l x y l x y l O ①倾斜角α≠90° ②倾斜角α=0° ③倾斜角α=90° y0 x0 自学检测1:(10分钟) 1.写出下列直线的点斜式方程: (1)斜率为3,经过点(5,－4); (2)斜率为－2,经过点(0,2); (3)经过点(－1,－1)且与x轴平行; (4)经过点(1,1)且与x轴垂直. 2.(1)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________. (2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l,则直线l的点斜式方程为________. (3)求过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线方程为________. x＝－5 y－4＝－(x－3) y-2＝2(x-1) y＋4＝3(x－5) y－2＝－2x y＝－1 x＝1 3.已知直线的点斜式方程是 y－2=x－1,那么此直线的斜率是_____,倾斜角是_____. 4.已知直线的点斜式方程是 y＋2= (x＋1),那么此直线的斜率是______,倾斜角是_____. 变式:已知直线kx－y＋1－2k＝0,当k变化时, 所有直线恒过定点________． (2,1) 5.直线y+1＝mx－3m(m∈R)必过定点 . (3,-1) 6.求过点(1,2)且与两坐标轴组成一等腰直角三角形的直线方程. 2.直线的斜截式方程 x y P0(0,b) 已知直线l经过点P0(0,b),其斜率为k,求直线l的方程. l 斜率 y轴上的截距 直线的斜截式方程,简称斜截式 ①y轴上的截距: (纵截距) 直线与y轴交点的纵坐标b. ②x轴上的截距: (横截距) 直线与x轴交点的橫坐标a. 思考1:直线y=x的横截距和纵截距分别是多少? 注意:截距是一个坐标,不是距离.截距可正、可负、可为零、可以不存在. 思考2:一次函数的解析式y＝kx＋b与直线的斜截式方程y＝kx＋b有什么区别? y-2=3(x-1) 自学检测2:(5分钟) 1.写出下列直线的斜截式方程: (3)倾斜角为150°,在y轴上的截距是－2; (1)斜率为2,在y轴上的截距是5; (2)斜率为－2,与y轴的交点坐标为(0,-4); (5)经过点A(-1，2),且与直线y=3x+1垂直. (4)经过点(3,4)且在两坐标轴上的截距相等. l1 x y b1 l2 b2 l1 x y l2 l1 1.当a为何值时， (1)两直线y＝ax-2与y＝(a＋2)x＋1互相垂直? (2)两直线y＝-x＋4a与y＝(a2-2)x＋4互相平行? 自学检测3:(6分钟) 两直线平行与垂直的应用 1.点斜式方程 当知道斜率和一点坐标时用点斜式 2.斜截式方程 当知道斜率k和截距b时用斜截式 3.特殊情况 ①直线和x轴平行时，倾斜角α=0° ②直线与x轴垂直时，倾斜角α=90° 斜率存在！ 四、课堂小结 方程名称 已知条件 直线方程 应用范围 点斜式 斜截式 K存在 K存在 复习:(1分钟) 1.已知直线l过A(3,-5)和B(-2,5),则直线l的方程为 . y－(－5)=－2(x－3) 经过两个定点的直线的方程能否用“公式”直接写出来呢? 两点确定一条直线！ 第二章 直线与圆的方程 2.2 直线的方程 2.2.2 两点式方程 化成比例式: 思考1:设直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),(其中x1≠x2,y1≠y2),你能写出直线l的点斜式方程吗? 思考:两点式的适用范围是 . 直线与两坐标轴不垂直 直线的两点式方程 经过直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)的直线方程叫做直线的两点式方程,简称两点式. 当x1=x2时,直线l的方程是 ; 当y1=y2时,直线l的方程是 . x=x1 y=y1 与x轴垂直 与y轴垂直 练习1.求经过下列两点的直线方程: 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 x y O B . A . . C 解:过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为： 这就是BC边所在直线的方程. . M 练：1. 三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2), 求BC边所在直线的方程,以及该边上中线所在直线的方程. 中点坐标公式 x y O B . A . . C . M 变式:已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,3),B(－2,－3),C(4,0). (1)求AB所在直线的方程; (2)求BC边上的高所在的直线方程. x l B(0,b) A(a,0) O y 将A(a,0),B(0,b)代入两点式得: 思考2:已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b)其中a≠0,b≠0,求直线l的方程. 直线的截距式方程 在y轴上的截距 在x轴上的截距 横、纵截距都存在且都不为0的直线. 直线方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫做直线方程的截距式方程. 思考:截距式的适用范围是 . ①不与坐标轴垂直; ②不过原点; 练习1.求下列直线的方程: (1)在x轴上的截距是2,在y轴上的截距是3; (2)在x轴上的截距是-5,在y轴上的截距是6; 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 3.根据下列条件,求直线的方程: (1)过点(0,5),且在两坐标轴上的截距之和为2; (2)过点(5,0),且在两坐标轴上的截距之差为2. 4.直线 经过一、二、四象限, 则a 0,b 0. 5.求经过点P(-5,4),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. o x y ②截距不为0,设截距式求解. 注意分类讨论！ ①截距均为0时,设方程为y=kx, 解:(1)当截距均为0时,设方程为y=kx, 把P(-5,4)代入上式得 即直线方程为 (2)当截距均不为0时,设直线方程为 把P(-5,4)代入上式得 直线方程为 即 综上直线方程为 或 求经过点A(－3,4)，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程． 思考1:直线方程有几种形式?指明它们的条件及应用范围. 1.点斜式 y－y0=k(x－x0) 2.斜截式 y=kx+b 3.两点式 4.截距式 知识探究: 适用范围 斜率存在 斜率存在 直线不与坐标轴垂直 ②直线不过原点 ①直线不与坐标轴垂直 1.问题情境一 数学家笛卡儿在平面直角坐标系中研究两直线间的位置关系时,碰到了这样一个问题:平面直角坐标系中的任何一条直线l能不能用一种自然优美的“万能”形式的方程来表示? 思考2:上述四种直线方程,能否写成如下统一形式? ? x+ ? y+ ? =0 上述四式都可以写成直线方程的一般形式: Ax+By+C=0,A、B不同时为0. 2.问题情境二 数学家笛卡儿接着思考: 每一个关于x , y的二元一次方程都表示直线吗? ①当B≠0时 ②当B=0时 l x y O 方程可化为 这是直线的斜截式方程，它表示斜率是 在y轴上的截距是 的直线。 表示垂直于x轴的一条直线 方程可化为 思考::所有的直线都可以用二元一次方程表示？ 定义:我们把关于x,y的二元一次方程 叫做直线的一般式方程,简称一般式. 直线方程的一般式 Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0) 一般式可以表示任何类型的直线而不受条件限制. 自学检测1:(12分钟) 4x＋3y－12＝0 2.已知直线经过点A(2,-1),斜率为-3,求直线的点斜式和一般式方程. 对于直线方程的一般式,一般作如下约定： x的系数为正，x,y的系数及常数项一般不出现分数,一般按含x项、含y项、常数项顺序排列、 3.把直线l的方程x–2y+6=0化成斜截式,求出 直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距,并画图. x y O B A . . C 2.若直线l的一般式方程为2x－y＋1＝0,则直线l不经过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 D 3.在方程Ax+By+C=0中,A，B，C为何值时,方程表示的直线: (1)平行于x轴; (2)平行于y轴; (3)与x轴重合; (4)与y轴重合; (5)过原点; (6)与x轴和y轴相交; x y 0 (1)A=0,B≠0,C≠0; x y 0 (2)B=0,A≠0,C≠0; (3)A=0,B≠0,C=0; x y 0 3.在方程Ax+By+C=0中,A，B，C为何值时,方程表示的直线: (3)与x轴重合; (4)与y轴重合; x y 0 (4)B=0,A≠0,C=0; (5)C=0,A、B不同时为0; x y 0 3.在方程Ax+By+C=0中,A，B，C为何值时,方程表示的直线: (5)过原点; (6)与x轴和y轴相交; (6)A≠0,B≠0; x y 0 4.已知直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5, 且A－2B＋3C＝0,求直线的方程. 方法:只要给出两个条件,就可以求出直线方程. 知识点2:定点问题 直线y－y0＝k(x－x0)恒过定点_________. 直线y＝k(x－x0)恒过定点_________. 直线y＝kx恒过定点_________. 恒过定点: (0, 0) (x0, 0) (x0, y0) 无论参数k取什么值，直线都经过过定点。 直线y＝k(x－2)恒过定点_________. (2, 0) 知识点3:定点问题 分离参数法 数形结合 知识点4:对称问题 点关于点对称： A (x0,y0) P (x1,y1) Q (x2,y2) 点关于直线对称： M P (x0,y0) P’ (x,y) Ax+By+C=0 C 小结: 点斜式 斜率和一点坐标 斜截式 斜率k和截距b 两点坐标 两点式 点斜式 两个截距 截距式 化成一般式 Ax+By+C=0 例2:已知直线l1:y＝k1x＋b1，l2:y＝k2x＋b2， 试讨论:(1)l1∥l2的条件是什么? (2)l1⊥l2的条件是什么? 解:(1)设两直线的斜率分别为k1、k2， 则k1＝a，k2＝a＋2. ∵两直线互相垂直， ∴k1·k2＝a(a＋2)＝－1. 解得a＝－1. ∴当a＝－1时,两条直线互相垂直． (2)设两直线的斜率分别为k3，k4， 则k3＝－1,k4＝a2－2. ∵两条直线互相平行， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－2＝－1，,4a≠4，))解得a＝－1. ∴当a＝－1时,两直线互相平行. 知识探究:直线的两点式方程 解:(1)由两点式写出AB的直线方程： eq \f(y＋3,3＋3)＝eq \f(x＋2,1＋2)，即y＝2x＋1. (2)kBC＝eq \f(－3－0,－2－4)＝eq \f(1,2)， ∴BC的高所在直线的斜率为－2. ∴BC的高所在直线方程为y－3＝－2(x－1)． 即y＝－2x＋5. 2.直线eq \f(x,4)－eq \f(y,5)＝1在两坐标轴上的截距之和为________． 1.直线eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1化成一般式方程为 . 变式:根据下列条件求直线的一般式方程. (1)直线的斜率为2,且经过点A(1,3); (2)斜率为eq \r(3),且在y轴上的截距为4; (3)经过两点A(2,－3)，B(－1,－5); (4)在x，y轴上的截距分别为2,－4. 1.直线eq \r(3)x＋y－1＝0的倾斜角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 解:∵直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5， ∴B≠0，且－eq \f(A,B)＝5，即A＝－5B.① 又∵A－2B＋3C＝0，② 由①②得:－5B－2B＋3C＝0，∴C＝eq \f(7,3)B.③ 把①③代入直线方程，得－5Bx＋By＋eq \f(7,3)B＝0. 又∵B≠0，∴－5x＋y＋eq \f(7,3)＝0. 故所求直线方程为15x－3y－7＝0. $$