6.4.2 探索三角形相似的条件——两角分别相等的两个三角形相似同步练习2023-2024学年苏科版九年级数学下册

6.4.2 探索三角形相似的条件——两角分别相等的两个三角形相似 一．单选题 1．下列四组图形中不一定相似的是（　　） A．有一个角等于40°的两个等腰三角形 B．有一个角为50°的两个直角三角形 C．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 D．有一个角是60°的两个等腰三角形 2．在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD恰好平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长是（　　） A． B．3 C．2 D．6 4．如图，正方形ABCD中，E是CD的中点，AE、BC的延长线交于点F，AE的垂直平分线分别交AE、BC于点H、G，连接EG，则与△FEC相似的三角形个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题 5．如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE＝　　． 6．如图，已知∠1＝∠2，请添加一个条件后，能够判定△ABC∽△ADE，这个条件可以是　　．（写出一个条件即可） 7．如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有　　条． 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，若P、Q同时出发，点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动，在　　s时，△ABC与△PQC相似． 9．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB＝15，BM＝8，则DE的长为　　． 10．如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC＝1，则AE•BE＝　　． 三．解答题 11．如图矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F． （1）求证：△ABE∽△DFA； （2）若AB＝6，AD＝12，BE＝8，求DF的长． 12．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一点，过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E，求证：△ABD∽△DCE． 13．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA＝x． （1）求证：△PFA∽△ABE； （2）若以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似，试求x的值． 14．如图，AD是⊙O的直径，BA＝BC，BD交AC于点E，点F在DB的延长线上，且∠BAF＝∠C． （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）若BC＝2，BE＝4，求⊙O半径r． 15．如图，△ABC是边长为6cm等边三角形，动点P、Q同时从A、B出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点停止运动，在运动过程中作QR∥BA交AC于点R，连接PR，设运动的时间为t（s），求当t等于多少s时△APR∽△PRQ． 16．如图，在△ABC纸板中，AC＝8，BC＝4，AB＝10，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，求AP长的取值范围． 17．我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”． （1）等边三角形“内似线”的条数为　　； （2）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且AD＝BD＝BC，求证：BD是△ABC的“内似线”； （3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，E、F分别在边AC、BC上，且EF是△ABC的“内似线”，求EF的长． 18．【初步尝试】 （1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为　　； 【思考说理】 （2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图③，在三角形纸片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折在，使点B落在边AC上的点B'处，折痕为CM． ①求线段AC的长； ②若点O是边AC的中点，点P为线段OB'上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A'PM，点A的对应点为点A'，A'M与CP交于点F，求的取值范围． 答案 一．单选题 1． 【详解】解：A中可能一个是底角为40°，另一个是顶角为40°，A不一定相似； B中相当于两个角对应相等，B一定相似； C中直角三角形，且有一锐角相等，C一定相似； D中60°的等腰三角形即为等边三角形，D一定相似． 故本题选：A． 2． 【详解】解：当∠A＝∠BCD，∠ACD＝∠B时，△ACD∽△CBD， ∵∠ACB＝90°， 即∠A+∠B＝90°， ∴∠ACD+∠A＝90°， ∴∠ADC＝90°， ∴CD⊥AB． 故本题选：C． 3． 【详解】解：∵BC的垂直平分线MN交AB于点D， ∴CD＝BD＝3， ∴∠B＝∠DCB，AB＝AD+BD＝5， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠DCB＝∠B， ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴，即， 解得，AC＝． 故本题选：A． 4． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴EC∥AB，∠D＝∠DCB＝∠ECF＝90°， ∴△FEC∽△FAB， ∵∠AED＝∠FEC，DE＝CE，∠D＝∠ECF， ∴△ECF≌EDA（ASA）， ∴△ECF∽EDA， ∵GH⊥AF， ∴∠FCE＝∠FHG， ∵∠F＝∠F， ∴△FCE∽△FHG． 故本题选：C． 二．填空题 5． 【详解】解：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB， ∴， ∴，解得：AE＝3． 故本题答案为：3． 6． 【详解】解：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴添加的条件为∠B＝∠D或∠C＝∠AED或． 故本题答案为：∠B＝∠D或∠C＝∠AED或． 7． 【详解】解：∵△ABC是直角三角形，过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角， ∴只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似， ∵如图，过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线， ∴共3条直线． 故本题答案为：3． 8． 【详解】解：设x秒后△PCQ与△ABC相似， 当△PCQ∽△ACB时，，即，解得：x＝， 当△PCQ∽△BCA时，，即，解得：y＝， 即秒或秒后△PCQ与△ABC相似． 故本题答案为：或． 9． 【详解】解：如图， ∵四边形ABCD是正方形，AB＝15，BM＝8， ∴MC＝15﹣8＝7， ∵ME⊥AM， ∴∠AME＝90°， ∴∠AMB+∠CMG＝90°． ∵∠AMB+∠BAM＝90°， ∴∠BAM＝∠CMG， ∵∠B＝∠C＝90°， ∴△ABM∽△MCG， ∴， ∴，解得：CG＝， ∴DG＝15﹣＝， ∵AE∥BC， ∴∠E＝CMG，∠C＝∠EDG， ∴△MCG∽△EDG， ∴， ∴， ∴DE＝． 故本题答案为：． 10． 【详解】解：如图，连接OE， ∵半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C， ∴OE⊥AB，AD⊥CD，BC⊥CD，∠OAD＝∠OAE，∠OBC＝∠OBE， ∴AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC＝180°， ∴∠OAB+∠OBA＝90°，即∠AOB＝90°， ∵∠OAE+∠AOE＝90°，∠AOE+∠BOE＝90°， ∴∠OAE＝∠BOE， ∵∠AEO＝∠OEB＝90°， ∴△AEO∽△OEB， ∴， ∴AE•BE＝OE2＝1． 故本题答案为1． 三．解答题 11．（1）证明：∵DF⊥AE， ∴∠AFD＝90°＝∠B， 又∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠DAF， ∴△ABE∽△DFA； （2）解：∵AB＝6，BE＝8，∠B＝90°， ∴AE＝10． ∵△ABE∽△DFA， ∴，即， ∴DF＝7.2． 12．证明：如图， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠B＝∠C＝45°， ∴∠1+∠2＝180°﹣∠B＝135°， ∵∠ADE＝45°， ∴∠2+∠3＝135°， ∴∠1＝∠3， ∵∠B＝∠C， ∴△ABD∽△DCE． 13．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠PAF＝∠AEB， 又∵PF⊥AE， ∴∠PFA＝90°＝∠B， ∴△PFA∽△ABE； （2）解：情况1，当△EFP∽△ABE，且∠PEF＝∠EAB时，PE∥AB， ∴四边形ABEP为矩形， ∴PA＝EB＝2，即x＝2； 情况2，当△PFE∽△ABE，且∠PEF＝∠AEB时， ∵∠PAF＝∠AEB， ∴∠PEF＝∠PAF， ∴PE＝PA， ∵PF⊥AE， ∴点F为AE的中点． ∵， ∴． ∵，即， ∴PE＝5，即x＝5． 综上，满足条件的x的值为2或5． 14．（1）证明：∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∴∠BAD+∠D＝90°， ∵∠BAF＝∠C，∠C＝∠D， ∴∠BAF＝∠D， ∴∠BAD+∠BAF＝90°，即∠FAD＝90°， ∴AF⊥AD， ∵AD是⊙O的直径， ∴AF是⊙O的切线； （2）解：∵BA＝BC， ∴弧BA＝弧BC， ∴∠BAC＝∠C， ∵∠C＝∠D， ∴∠BAC＝∠D，即∠BAE＝∠D， 又∵∠ABE＝∠DBA， ∴△ABE∽△DBA； ∴， ∵AB＝BC＝2，BE＝4， ∴BD＝＝6， ∴AD＝＝＝2， ∴⊙O半径r＝． 15． 解：∵△ABC是边长为6cm等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∵QR∥BA， ∴∠CRQ＝∠A＝60°， ∴△CRQ为等边三角形， ∵点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/sv ∴AP＝t，PB＝6﹣t，BQ＝2t，CQ＝CR＝RQ＝6﹣2t，AR＝2t， ∵QR∥BA， ∴∠QRP＝∠APR， 若要△APR∽△PRQ，则需满足∠RPQ＝60°， ∴∠ARP+∠APR＝120°，∠BPQ+∠APR＝120°， ∴∠ARP＝∠BPQ， 又∵∠A＝∠B， ∴△APR∽△BQP， ∴， ∴，解得：t＝1.2． 故本题答案为1.2． 16.解：①如图，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB， 此时0＜AP＜8； ②如图，过P作∠APF＝∠B交AB于F，则△APF∽△ABC， 此时0＜AP≤8； ③如图，过P作∠CPG＝∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA， 当点G与点B重合时，CG×CB＝CP×CA，CB2＝CP×CA，即42＝CP×8， ∴CP＝2，AP＝6， ∴此时，6≤AP＜8； 综上，要有4种不同的剪法，使得过点P沿直线剪下一个与△ABC相似，则AP长的取值范围是6≤AP＜8． 故本题答案为：6≤AP＜8． 17.解：（1）等边三角形“内似线”的条数为3条，理由如下： 如图1，过等边三角形的内心分别作三边的平行线， 则△AMN∽△ABC，△CEF∽△CBA，△BGH∽△BAC， ∴MN、EF、GH是等边三角形ABC的内似线”， 故本题答案为：3； （2）证明：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD， ∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD， ∴△BCD∽△ABC， ∴∠CBD＝∠A， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴BD平分∠ABC，即BD过△ABC的内心， ∴BD是△ABC的“内似线”； （3）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，由勾股定理可得AB＝13， 设D是△ABC的内心，连接CD， 则CD平分∠ACB， ∵EF是△ABC的“内似线”， ∴△CEF与△ABC相似； 分两种情况：①当时，EF∥AB， 如图2，过点D作DN⊥BC于点N， ∴DN∥AC，且DN是Rt△ABC的内切圆半径， ∴DN＝（AC+BC﹣AB）＝2， ∵CD平分∠ACB， ∴， ∵DN∥AC， ∴，即，解得：CE＝， ∵EF∥AB， ∴△CEF∽△CAB， ∴，即，解得：EF＝； ②当时，同理可得：，解得：EF＝； 综上，EF＝． 18.解：（1）如图①中， ∵△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN， ∴MN垂直平分线段BC， ∴CN＝BN，∠MNB＝90°＝∠ACB， ∴MN∥AC， ∵CN＝BN， ∴AM＝BM， 故本题答案为：AM＝BM； （2）如图②中， ∵CA＝CB＝6， ∴∠A＝∠B， 根据题意，MN垂直平分线段BC， ∴BM＝CM， ∴∠B＝∠BCM， ∴∠BCM＝∠A， ∵∠B＝∠B， ∴△BCM∽△BAC， ∴， ∴， ∴BM＝， ∴AM＝AB﹣BM＝10﹣＝， ∴； （3）①如图③中， 由折叠的性质可知，CB＝CB′＝6，∠BCM＝∠B′CM， ∵∠ACB＝2∠A， ∴∠BCM＝∠B′CM＝∠A， ∴AM＝CM， ∵∠B＝∠B， ∴△BCM∽△BAC， ∴， ∴， ∴BM＝4， ∴AM＝5＝CM， ∴， ∴AC＝； ②如图③﹣1中， ∵∠A＝∠A′＝∠MCF，∠PFA′＝∠MFC， ∴△PFA′∽△MFC， ∴， ∵CM＝5， ∴， ∵点P在线段OB上运动，OA＝OC＝，AB′＝﹣6＝，PA＝PA′， ∴≤PA′≤， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$