函数的奇偶性知识点及典型例题讲义-2025届高三数学一轮复习

高中数学函数的奇偶性知识点及典型例题 一．函数奇偶性的定义 奇偶性的定义 ①设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，且 ，则这个函数叫奇函数。 ②设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，若 ，则这个函数叫偶函数。 1.1已知函数，记． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； 1.2函数是 （奇/偶）函数 1.3（多选）已知奇函数与偶函数的定义域、值域均为R，则（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 二．由函数奇偶性求参数 2.1已知是其定义域上的奇函数，且 (1)求的值； (2)求a与b的值，并求出的解析式（注明定义域）； 2.2已知函数是偶函数，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 2.3已知函数是奇函数，则 . 2.4已知为奇函数，则（    ） A．1 B．2 C．0 D． 2.5若为偶函数，则（   ） A．0 B． C． D． 2.6设是定义在上的奇函数，则 三．基本初等函数的奇偶性 3.1在下列函数中，是奇函数且在上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 3.2下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3.3（多选）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3.4下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 四．构造函数 4.1已知，若，则（    ） A． B．0 C． D．2 4.2已知函数在上的值域为，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 五．由函数奇偶性求解析式 5.1定义在R上的函数是偶函数，是奇函数，且，求函数与的解析式． 5.2已知定义在上的奇函数，当时，．写出函数在上的单调区间． 5.3已知的定义域为R，且图象关于原点对称，且时，，则 ，的解析式为 ． 六．由函数奇偶性、单调性解不等式 6.1已知奇函数在其定义域上是减函数，且，则的取值范围为 . 6.2已知，则的解集为（    ） A． B． C． D． 6.3若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C．或 D．或 6.4定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 七．奇偶函数对称性的应用 7.1若函数满足，则的图象的对称轴是（    ） A．轴 B．轴 C．直线 D．不能确定 7.2（多选）奇函数在的图象如图所示，则下列结论正确的有（    ）    A．当时， B．函数在上单调递减 C． D．方程有6个根 7.3已知偶函数和奇函数的定义域都是，它们在上的图像分别是图1和图2，则关于的不等式的解集是 ． 7.4已知奇函数的定义域为，且在上的图像如图所示，则的单调递减区间为 . 7.5若奇函数在区间上是增函数，且最小值为5，则它在区间上是（    ） A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值 C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值 7.6若定义域为的函数是偶函数，且在上是严格增函数，在上是严格减函数，又，则（    ） A．在上是严格增函数且有最大值2； B．在上是严格减函数且有最大值2； C．在上是严格增函数且有最小值2； D．在上是严格减函数且有最小值2． 7.7函数的大致图像是（    ） A．   B．   C．   D．   7.8已知函数在上的最大值和最小值分别为，，则（   ） A． B．0 C．2 D．4 八．抽象函数的奇偶性 8.1定义在上的函数满足对任意的，都有证明：函数是奇函数； 九．奇偶函数的综合应用 9.1（多选）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的图象关于点对称 D．若在上单调递减，则 9.2（多选）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上为增函数 C．点是函数的一个对称中心 D．方程仅有5个实数解 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高中数学函数的奇偶性知识点及典型例题 一．函数奇偶性的定义 1.1已知函数，记． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； 【答案】(1)； (2)为奇函数，理由见解析. 【详解】（1）， 由得：， 所以函数的定义域为：. （2）由（1）知函数的定义域为：，， ，， 所以为奇函数. 1.2函数是 （奇/偶）函数 【答案】偶函数 【详解】由条件知的定义域为，关于原点对称， 当时，， 当时，，则， 所以为偶函数， 1.3（多选）已知奇函数与偶函数的定义域、值域均为R，则（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】BCD 【详解】对A，因为，所以不是奇函数，故A错误； 对B，因为，所以是奇函数，故B正确； 对C，因为，所以是奇函数，故C正确； 对D，因为，所以是偶函数，故D正确． 故选：BCD． 二．由函数奇偶性求参数 2.1已知是其定义域上的奇函数，且 (1)求的值； (2)求a与b的值，并求出的解析式（注明定义域）； 【答案】(1)3 (2)； 【详解】（1）因为是其定义域上的奇函数，所以； （2）因为是其定义域上的奇函数，所以， 又由，有，解得，经验证是奇函数，则，定义域为； 2.2已知函数是偶函数，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：定义域为， ∵是偶函数， ∴， 即， ∴，即， 即， ∵，∴，得． 故选：C 2.3已知函数是奇函数，则 . 【答案】1 【详解】由，得， 所以函数的定义域为， 因为为奇函数， 所以，解得， 故答案为：1 2.4已知为奇函数，则（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】A 【详解】因为为奇函数，所以， 所以，而，得到， 解得，经验证符合题意， 所以，故A正确. 故选：A 2.5若为偶函数，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得或，所以定义域为， 令， 因为， 所以为奇函数， 因为为偶函数， 所以奇函数，所以， 因为，所以. 故选：B. 2.6设是定义在上的奇函数，则 【答案】 【详解】是定义在的奇函数， ， 即， ，且， 解得，或 当时，定义域为，不合题意，舍去； 当时，定义域为，合题意， ， . 故答案为：. 三．基本初等函数的奇偶性 3.1在下列函数中，是奇函数且在上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据幂函数性质知道， 定义域为，上单调递增，非奇非偶函数，故A错误； 奇函数且在单调递增，故B正确； 为偶函数，且在单调递增，故C错误； 为奇函数，且在单调递减，故D错误. 故选：B． 3.2下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数定义域与奇函数定义判断可得. 【详解】A项，函数定义域为， 不关于原点对称，非奇非偶函数，A错误； B项，函数，由， 则，故不是奇函数，B错误； C项，函数，由， 则，故不是奇函数，C错误； D项，函数，， ，，故是奇函数，D正确. 故选：D. 3.3（多选）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】逐项判断函数的奇偶性、单调性可得答案. 【详解】对于A，，定义域关于原点对称，，所以是偶函数， 设，则， 所以在上单调递增，故A正确； 对于B，，定义域关于原点对称，，所以是偶函数， 当时，是单调递增函数，故B正确； 对于C，，定义域关于原点对称，，所以是偶函数， 当时，是单调递增函数，故C正确；     对于D，，定义域关于原点对称，，所以是奇函数，故D错误. 故选：ABC. 3.4下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性的定义判断可得； 【详解】A选项，的定义域为，定义域不关于原点对称，故不是偶函数，故A错误； B选项，的定义域为，且，故为奇函数，故B错误； C选项，设，因为， 所以在上不单调递增，故C错误； D选项，的定义域为，且，故为偶函数， 又当时，，在上单调递增，故满足要求，故D正确． 故选：D． 四．构造函数 4.1已知，若，则（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【详解】令，，则， 所以为奇函数， 又，，所以， 则， 所以. 故选：A 4.2已知函数在上的值域为，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数在上的值域为， 令，所以在上的取值范围为， 又是奇函数，所以在上的值域为， 所以在上的值域为． 故选:B． 五．由函数奇偶性求解析式 5.1定义在R上的函数是偶函数，是奇函数，且，求函数与的解析式． 【答案】， 【详解】根据题意，由，① 得， 又由是偶函数，是奇函数， 则有，② 联立①②可得：，． 5.2已知定义在上的奇函数，当时，．写出函数在上的单调区间． 【答案】，是的严格减区间；是的严格增区间． 【详解】当时，，对称轴为，根据奇函数关于原点对称，画出函数的图象， 由图象可知，，是的严格减区间； 是的严格增区间． 5.3已知的定义域为R，且图象关于原点对称，且时，，则 ，的解析式为 ． 【答案】 【详解】因为的定义域为R，图象关于原点对称， 所以为R上的奇函数， 所以，得， 所以当时，， 设，则，所以， 因为为奇函数，所以， 所以，得， 所以. 故答案为：， 六．由函数奇偶性、单调性解不等式 6.1已知奇函数在其定义域上是减函数，且，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为是奇函数，所以等价于， 又函数在定义域上是减函数， 需满足，解得， 即的取值范围为. 故答案为： 6.2已知，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数定义域为，又， 所以为奇函数， 又，，均在定义域上单调递减， 所以在上单调递减， 所以， 所以，解得或， 所以的解集为. 故选：B 6.3若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】由题设，偶函数在上单调递减，在上单调递增，且， 所以，故或，解集为或. 故选：B 6.4定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为定义域为的奇函数在内单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由，可得：，或，或， 解得或， 所以满足的x的取值范围是， 故选：C. 七．奇偶函数对称性的应用 7.1若函数满足，则的图象的对称轴是（    ） A．轴 B．轴 C．直线 D．不能确定 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以为偶函数， 所以的图象的对称轴为轴． 故选：B 7.2（多选）奇函数在的图象如图所示，则下列结论正确的有（    ）    A．当时， B．函数在上单调递减 C． D．方程有6个根 【答案】AB 【详解】根据图象可知，当时，，在上递减，在上递增， 所以根据奇函数性质可，当时，，故A正确； 当时，在上递减，在上递增，故B正确； 由于在上递增，所以，故C错误； 当时，由图象可知有两个根， 所以在上，也有两个根，又， 所以方程在上有5个根，根据对称性可知，只能有奇数个根，故D错误. 故选：AB. 7.3已知偶函数和奇函数的定义域都是，它们在上的图像分别是图1和图2，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】由偶函数的性质可知，， 或， 由奇函数的性质可知，，， 当，得， 当，得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 7.4已知奇函数的定义域为，且在上的图像如图所示，则的单调递减区间为 . 【答案】， 【详解】根据图像可得在上的单调增区间为，单调减区间为， 又函数为奇函数， 由奇函数在对称的区间上单调性相同得： 在上的单调增区间为，单调减区间为. 故答案为：， 7.5若奇函数在区间上是增函数，且最小值为5，则它在区间上是（    ） A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值 C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值 【答案】A 【详解】因为函数在区间上是增函数，且有最小值5， 所以， 又为奇函数， 所以函数在区间上是增函数，且有最大值. 故选：A 7.6若定义域为的函数是偶函数，且在上是严格增函数，在上是严格减函数，又，则（    ） A．在上是严格增函数且有最大值2； B．在上是严格减函数且有最大值2； C．在上是严格增函数且有最小值2； D．在上是严格减函数且有最小值2． 【答案】B 【详解】因为函数是实数集上偶函数，且在上是增函数，在上是减函数， 所以函数在上是减函数，在上是增函数， 则， 又因为上是增函数，所以有； 在上是减函数，所以有； 因此当时，有最大值，最大值为， 而函数是实数集上偶函数， 因此函数在实数集上有最大值2 故选：B 7.7函数的大致图像是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数奇偶性以及指数函数性质，利用排除法即可得出结论. 【详解】易知函数定义域为， 且满足，可得其为偶函数，图像关于轴对称； 又当时，，因此排除A， 又， 利用指数函数图象性质可知其在上单调递增，且增长速度越来越快，即排除CD， 故选：B 7.8已知函数在上的最大值和最小值分别为，，则（   ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】A 【分析】构造函数，证明为奇函数，从而得到，即可求出的值. 【详解】令，定义域为， 因为在上的最大值和最小值分别为，， 所以在上的最大值和最小值分别为，， 因为， 所以为奇函数，的图象关于原点对称， 所以的最大值和最小值互为相反数，即， 所以， 故选：A. 八．抽象函数的奇偶性 8.1定义在上的函数满足对任意的，都有证明：函数是奇函数； 【详解】令，得，， ， 令，，， 所以函数是奇函数； 九．奇偶函数的综合应用 9.1（多选）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的图象关于点对称 D．若在上单调递减，则 【答案】ABC 【详解】由得，所以的定义域为，A正确； 由及， 可得的值域为，B正确； 的图象可由奇函数的图象向右平移4个单位， 再向上平移个单位得到，所以的图象关于点对称，C正确； 在上单调递减，则或，即或 ，D错误． 故选：ABC． 9.2（多选）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上为增函数 C．点是函数的一个对称中心 D．方程仅有5个实数解 【答案】BC 【详解】函数的定义域为，由为奇函数，得，即， 由为偶函数，得，即，则， 即，于是，函数是周期为的周期函数， 对于A，当时，，，A错误； 对于B，在上单调递增，由，知图象关于点对称， 则在上单调递增，即函数在上单调递增，因此在上单调递增，B正确； 对于C，由及，得，即， 因此函数图象关于点对称，C正确； 对于D，当时，，由函数图象关于点对称， 知当时，，则当时，， 由，知函数图象关于直线对称，则当时，， 于是当时，，而函数的周期是，因此函数在R上的值域为， 方程，即，因此的根即为函数与图象交点的横坐标， 在同一坐标系内作出函数与的部分图象，如图，    观图知，与图象在上有且只有3个公共点，而当时，，即函数与图象在无公共点，所以方程仅有3个实数解，D错误. 故选：BC 学科网（北京）股份有限公司 $$