正态分布 课件-2025届高三数学一轮复习

第54讲　正态分布 第十章　 计数原理、概率及其分布 1 1．设随机变量X～N(0，1)，则X的密度函数为______________，P(X≤0)＝_______，P(|X|≤1)≈___________，P(X＞1)≈___________.(精确到0.000 1) 激 活 思 维 【解析】 0.5 0.682 7 0.158 7 2．设随机变量X～N(0，22)，随机变量Y～N(0，32)，则P(|X|≤ 1)与P(|Y|≤1)之间的大小关系是______________________． P(|X|≤1)＞P(|Y|≤1) 【解析】 如图，X～N(0，22)，Y～N(0，32)的正态密度曲线都关于y轴对称，P(|X|≤1)＝P(－1≤X≤1)，P(|Y|≤1)＝P(－1≤Y≤1).因为σ越大，曲线越扁平，所以P(|X|≤1)＞P(|Y|≤1). 3．某市高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(170，52)，现随机选择一名本市高二年级的男生，则P(165≤X≤175)＝_________. 0.682 7 【解析】 由题可得，身高X作为变量符合均值为μ＝170，σ＝5的正态分布，P(165≤ X≤175)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7. 4．若X～N(μ，σ2)，则X位于区域[μ，μ＋σ]内的概率是____________． 0.341 35 【解析】 5．袋装食盐标准质量为400 g，规定误差的绝对值不超过4 g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4，可估计这批袋装食盐的合格率为___________． 95.45% 【解析】 设误差为X，则X～N(0，4)，所以P(|X|≤4)＝P(－4≤X≤4)＝P(μ－2σ≤X≤ μ＋2σ)≈0.954 5，故合格率约为95.45%. 聚 焦 知 识 X～N(μ，σ2) x＝μ x＝μ 3．3σ原则：假设X～N(μ，σ2)，则 (1) P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； (2) P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； (3) P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 4．正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝_____，D(X)＝______． μ σ2 (多选)若X～N(μ，σ2)，则下列说法正确的是 (　　) A．P(X＜μ＋σ)＝P(X＞μ－σ) B．P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)＜P(μ－σ＜X＜μ＋2σ) C．P(X＜μ＋σ)不随μ，σ的变化而变化 D．P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)随μ，σ的变化而变化 正态分布的性质 举 题 说 法 1 AC 【解析】 由题意知P(X＜μ＋σ)＝P(X＞μ－σ)，故A正确；P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)＝P(μ－σ＜X＜μ＋2σ)，故B错误；P(X＜μ＋σ)为定值，不随μ，σ的变化而变化，故C正确；P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)为定值，也不随μ，σ的变化而变化，故D错误． A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C．函数F(t)＝P(X＞t)在R上单调递增 D．P(μ1－2σ1≤X≤μ1＋2σ1)＝P(μ2－2σ2≤Y≤μ2＋2σ2) 【解析】 【答案】D 由正态密度曲线的性质得X，Y的正态密度曲线分别关于直线x＝μ1，x＝μ2对称． 对于A，由图象得μ1＜μ2，所以P(Y≥μ2)＜P(Y≥μ1)，故A不正确； 对于B，由图象得X的正态密度曲线较Y的正态密度曲线“瘦高”，所以σ1＜σ2，所以P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)，故B不正确； 对于C，由正态密度曲线的性质知，函数F(t)＝P(X＞t)在R上单调递减，故C不正确； 对于D，根据3σ原则，无论σ 取何值时，都有P(μ1－2σ1≤X≤μ1＋2σ1)＝P(μ2－2σ2≤Y≤μ2＋2σ2)≈0.954 5，故D正确． 某种食盐的袋装质量X服从正态分布N(400，16)，随机抽取 10 000 袋，则袋装质量在区间(396，408)的约有_________袋(质量单位：g)． 附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997 3. 正态分布下的概率计算 2 8 186 【解析】 1．某工厂生产的一批电子元件质量指标X服从正态分布N(4，σ2)，且P(2≤X≤4)＝0.4，若从这批电子原件中随机选取一件产品，则其质量指标小于2的概率为_______． 0.1 【解析】 由题知μ＝4，故P(X≤4)＝0.5，所以P(X＜2)＝P(X≤4)－P(2≤X≤4)＝0.1. 2．某地区有20 000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布N(72，82)，则数学成绩位于[80，88]的人数约为(　　) 参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)≈0.997 3. A．455 B．2 718 C．6 346 D．9 545 B 【解析】 3．新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点，近年来备受青睐．某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量(单位： kW·h/100 km)情况，随机调查得到了1 200个样本，根据统计该型号新能源汽车的耗电量ξ～N(13，σ2)，若P(12＜ξ＜14)＝0.7，则样本中耗电量不小于14 kW·h/100 km的汽车大约有(　　) A．180辆 B．360辆 C．600辆 D．840辆 A 【解析】 3D打印技术在精密仪器制作中应用越来越多，某企业向一家科技公司租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．已知这台3D打印设备打印出的零件内径X(单位：μm)服从正态分布N(105，36). (1) 若该台3D打印设备打印了100件这种零件，记X表示这100件零件中内径指标值位于区间(111，117)的产品件数，求E(X). 正态分布的应用 3 【解答】 由题意知，μ＝105，σ＝6，则111＝μ＋σ，117＝μ＋2σ.一件产品的质量指标值位于区间(111，117)的概率即为P(μ＋σ＜X＜μ＋2σ). (2) 该科技公司到企业安装调试这台3D打印设备后，试打了5个零件，度量其内径分别为(单位：μm)：86，95，103，109，118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？ 参考数据：P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997 4. 3 【解答】 随 堂 练习 1．(多选)若随机变量X～N(1，σ2)，且正态分布N(1，σ2) 的正态密度曲线如图所示，则下列选项可以表示图中阴影部分面积的是 (　　　) 【解析】 【答案】ABC 根据对称性，P(X≤0)＝P(X≥2)，故B正确； 【解析】 【答案】 ACD X的密度曲线关于直线x＝μ对称，故B错误； P(|X－μ|＞3σ)＝P(X＜μ－3σ)＋P(X＞μ＋3σ)＝2P(X＞μ＋3σ)，故C正确； 3．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2＜X≤2.5)＝0.36，则P(X＞2.5)＝________． 0.14 【解析】 因为X～N(2，σ2)，所以P(X＞2)＝0.5，所以P(X＞2.5)＝P(X＞2)－P(2＜X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14. 4．已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，若P(0≤X≤1)＝P(5≤X≤6)，则μ＝_____． 3 【解析】 由于P(0≤X≤1)＝P(5≤X≤6)，可知正态分布曲线关于直线x＝3对称，故μ＝3. 5．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高(单位：cm)服从正态分布N(100，102)，若测量10 000株水稻，株高在(80，90)的约有_________株.(若X～N(μ，σ2)，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈ 0.954 5) 1 359 【解析】 配套精练 26 【解析】 D 2．设随机变量ξ服从正态分布，ξ的分布密度曲线如图所示，若P(ξ＜0)＝p，则P(0＜ξ＜1)与D(ξ)分别为 (　　) C 【解析】 3．已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，有下列四个命题： 甲：P(X＞m＋1)＞P(X＜m－2)；乙：P(X＞m)＝0.5； 丙：P(X≤m)＝0.5；丁：P(m－1＜X＜m)＜P(m＋1＜X＜m＋2). 如果只有一个假命题，则该命题为 (　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 D 【解析】 因为只有一个假命题，且乙、丙只要有一个假，另一个一定假，不合题意，所以乙、丙一定都正确，则μ＝m.P(X＞m＋1)＝P(X＜m－1)＞P(X＜m－2)，故甲为真．根据正态分布密度曲线的对称性可得P(m－1＜X＜m)＝P(m＜X＜m＋1)＞P(m＋1＜X＜m＋2)，故丁为假． 4．据统计，在某次联考中，考生数学单科分数X服从正态分布N(90，202)，考生共50 000人，估计数学单科分数在130～150分的学生人数约为(　　) (附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3) A．1 070 B．2 140 C．4 280 D．6 795 A 【解析】 【解析】 根据正态分布的曲线可知x轴是渐近线，且曲线y＝f(x)与x轴之间的面积等于1，故C正确，D错误． ABC 6．已知随机变量X服从正态分布N(1，4)，则下列说法正确的有(　　) 【解析】 【答案】AB 三、 填空题 7．已知某班高三模拟测试数学成绩X～N(109.5，14.52)，若P(X≥ 124)＝0.16，则P(95≤X≤109.5)＝________． 0.34 【解析】 因为P(X≥124)＝0.16，所以P(95≤X≤109.5)＝P(109.5≤X≤124)＝0.5－P(X≥124)＝0.34. 【解析】 【解析】 5 1 四、 解答题 10．盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良．现对一批某品种种子的密度(单位：g/cm3)进行测定，认为密度不小于1.2的种子为优种，小于1.2的为良种．自然情况下，优种和良种的萌发率分别为0.8和0.6. 【解答】 种子密度的平均值为(0.7×0.5＋0.9×0.6＋1.1×0.9＋1.3×1.4＋1.5×1.1＋1.7×0.5)×0.2＝1.24(g/cm3). (1) 若将这批种子的密度测定结果整理成频率分布直方图，如图所示，据图估计这批种子密度的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； 10．盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良．现对一批某品种种子的密度(单位：g/cm3)进行测定，认为密度不小于1.2的种子为优种，小于1.2的为良种．自然情况下，优种和良种的萌发率分别为0.8和0.6. (2) 在(1)的条件下，用频率估计概率，从这批种子(总数远大于2)中选取2粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为X，求随机变量X的分布列和数学期望(各种子的萌发互相独立)； 【解答】 由频率分布直方图知优种占比为(1.4＋1.1＋0.5)×0.2＝0.6. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 0.078 4 0.403 2 0.518 4 故E(X)＝2×0.72＝1.44. 10．盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良．现对一批某品种种子的密度(单位：g/cm3)进行测定，认为密度不小于1.2的种子为优种，小于1.2的为良种．自然情况下，优种和良种的萌发率分别为0.8和0.6. (3) 若该品种种子的密度ρ～N(1.3，0.01)，任取该品种种子20 000粒，估计其中优种的数目． 附：假设随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5. 【解答】 11．世界卫生组织建议成人每周进行2.5至5小时的中等强度运动．已知A社区有56%的居民每周运动总时间超过5小时，B社区有65%的居民每周运动总时间超过5小时，C社区有70%的居民每周运动总时间超过5小时，且A，B，C三个社区的居民人数之比为5∶6∶9. (1) 从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率． 【解答】 因为A，B，C三个社区的居民人数之比为5∶6∶9，设A，B，C三个社区的居民人数为5a，6a，9a，所以A社区每周运动总时间超过5小时的人数为5a·56%＝2.8a，B社区每周运动总时间超过5小时的人数为6a·65%＝3.9a，C社区每周运动总时间超过5小时的人数为9a·70%＝6.3a. 11．世界卫生组织建议成人每周进行2.5至5小时的中等强度运动．已知A社区有56%的居民每周运动总时间超过5小时，B社区有65%的居民每周运动总时间超过5小时，C社区有70%的居民每周运动总时间超过5小时，且A，B，C三个社区的居民人数之比为5∶6∶9. (2) 假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量X(单位：小时)，且X～N(5.5，σ2). 现从这三个社区中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率． 【解答】 因为这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量X(单位：小时)，且X～N(5.5，σ2)，所以P(X＞5.5)＝0.5. B组　滚动小练 12．设O为坐标原点，A为圆C：x2＋y2－4x＋2＝0上一个动点，则∠AOC的最大值为 (　　) C 【解析】 13．某学生欲将一个底面半径为20cm，高为40cm的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内． (1) 求圆柱的侧面积的最大值； 【解答】 13．某学生欲将一个底面半径为20cm，高为40cm的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内． (2) 求圆柱的体积的最大值． 【解答】 谢谢观赏 f(x)＝e－ 二、 多项选择题 5．已知随机变量X～N(μ，σ2)，函数f(x)＝e－(x∈R)，则(　　 ) A．当x＝μ时，f(x)取得最大值 B．曲线y＝f(x)关于直线x＝μ对称 C．x轴是曲线y＝f(x)的渐近线 D．曲线y＝f(x)与x轴之间的面积小于1 因为h＝40－2r＞0，所以0＜r＜20.因为S＝2πrh＝2πr(40－2r)＝4πr(20－r)≤4π＝400π，当且仅当r＝10时等号成立，所以该圆柱的侧面积的最大值是400π(cm2). $$