立体几何专项训练-2025届高三数学一轮复习

立体几何专项训练-2025届高三数学一轮复习 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如图，正方体的棱长为1，点E为线段上的点，且，点F为的中点，则三棱锥的体积为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在正方体中，分别是的中点，有四个结论： ①与是异面直线； ②相交于一点； ③； ④平面. 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知分别是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C．7 D．1 4．ABCD是空间四边形，且AB和CD成角，E、F分别是BC和AD的中点，则EF和AB所成的角是（    ） A． B． C． D．或 5．如图，在直角梯形中，已知，，，，现将沿折起到的位置，使二面角的大小为45°，则此时三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在三棱锥中，，，平面，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 7．平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知表示两条不同直线，a表示平面，则下列选项正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．如图，在直三棱柱中，已知为的中点，过的截面与棱分别交于点，则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．线段长度的取值范围是 C．当点为中点时，截面的周长为 D．存在点，使得 11．如图，点是边长为2的正方体的表面上一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．当点在侧面上时，四棱锥的体积为定值 B．存在这样的点，使得 C．当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 D．当时，点的轨迹长度为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知直四棱柱的侧棱长为3，底面ABCD是边长为2的菱形，为棱上的一点，且，若以为球心的球经过点，则该球与直四棱柱的公共部分的体积为 . 13．将一个圆形纸片裁成两个扇形，再分别卷成甲､乙两个圆锥的侧面，甲､乙两个圆锥的侧面积分别为和，体积分别为和.若，则 . 14．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体的所有棱长和为 ． 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD是边长为的正方形，AC与BD交于点O，底面ABCD，侧棱与底面所成角的余弦值为． (1)求O到侧面的距离； (2)若E为BC的中点，F为PD的中点，证明：平面ABP． 16.（本小题15分） 如图，已知平面，，是等腰直角三角形，其中，且． (1)设线段中点为，证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离等于，如果存在，求的长． 17.（本小题15分） 如图，四棱台的底面为菱形，，点为中点，．    (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 18.（本小题17分） 如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，四边形为菱形，，三棱柱的体积为3．    (1)证明：平面平面； (2)若为棱的中点，求平面与平面的夹角的正切值． 19.（本小题17分） 已知一圆形纸片的圆心为，直径，圆周上有两点.如图：，，点是上的动点.沿将纸片折为直二面角，并连接，，，. (1)当平面时，求的长； (2)若，求与平面所成角的正弦值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 立体几何专项训练解析版-2025届高三数学一轮复习 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如图，正方体的棱长为1，点E为线段上的点，且，点F为的中点，则三棱锥的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】三棱锥的体积等于三棱锥的体积． 因为E，F分别为上的点， 所以在正方体中，的面积为定值， 又因为F到平面的距离为定值1， 所以． 故选：. 2．如图，在正方体中，分别是的中点，有四个结论： ①与是异面直线； ②相交于一点； ③； ④平面. 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】①，连接， 因为分别是的中点， 所以， 因为，所以， 故四点共面，故与是共面直线，①错误； ②，由①可知，与是共面直线，延长相交于一点， 故平面，平面， 所以平面与平面的交线， 即， 故交于一点，所以不相交于一点，②错误； ③，取的中点，连接，则且， 又且， 故且， 故四边形为平行四边形， 故，故不平行，③错误； ④，取的中点，连接，， 因为为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 因为，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面，④正确 故选：A 3．已知分别是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C．7 D．1 【答案】C 【详解】因为，又，所以， 所以，解得， 故选：. 4．ABCD是空间四边形，且AB和CD成角，E、F分别是BC和AD的中点，则EF和AB所成的角是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】 取中点，连结， ∵在空间四边形中，，，且异面直线与所成的角为， 分别为边和的中点， 且 且， 是异面直线AB与CD所成的角（或所成角的补角）， ∵异面直线与所成的角为， ∴或， ∵，得是异面直线和所成的角， 当时， ， 当时，， ∴异面直线和所成的角为或. 故选：D. 5．如图，在直角梯形中，已知，，，，现将沿折起到的位置，使二面角的大小为45°，则此时三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图： 取中点，中点，连接，，由题意可知： ，，所以为二面角的平面角，. 由题意可得为等腰直角三角形，所以为的外心， 过作直线平面，则三棱锥外接球的球心必在直线上. 因为平面，平面，所以，所以在平面中. 又为的外心，连接，则平面. 所以. 由于，，则， 为等腰直角三角形，故， 在中， ，，，所以. 所以三棱锥外接球的半径：， 所以三棱锥外接球的表面积为：. 故选：D 6．如图，在三棱锥中，，，平面，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点为，连接，易证平面，即为直线与平面所成角. 【详解】取的中点为，连接，可得， ∵平面，平面，∴， ∴又，，平面，    ∴平面，又，∴平面， ∴为直线与平面所成角，设，， ∴， 则， ∴直线CO与平面PAC所成角的余弦值为. 故选：B. 7．平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为平面平面，且平面平面， 而平面 ，得平面，而平面， 得，而，平面， 得平面， 而平面，得 由题意，四面体顶点在同一个球面上，和都是直角三角形， 所以的中点就是球心，又，球的半径为：， 所以球的表面积为：. 故选：B. 8．如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图正八面体，连接和交于点， 因为，， 所以，，又和为平面内相交直线， 所以平面，所以为正八面体的中心， 设正八面体的外接球的半径为，因为正八面体的表面积为，所以正八面体的棱长为， 所以， 则． 故选：B． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知表示两条不同直线，a表示平面，则下列选项正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BD 【详解】对于A，若，，则或者异面，或者相交，故A错误， 对于B，若，，则，故B正确， 对于C，若，，则或者，故C错误， 对于D，若，，则，D正确， 故选：BD 10．如图，在直三棱柱中，已知为的中点，过的截面与棱分别交于点，则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．线段长度的取值范围是 C．当点为中点时，截面的周长为 D．存在点，使得 【答案】AC 【详解】 连接，则的面积为定值， 平面，平面，且， 平面，而， 到平面的距离为定值， 则三棱锥的体积为定值，故正确； 延长交的延长线于点，连接交于点， 则，即， 得， 又，则， ， ，， ，，， ，故错误； 当点为棱中点时， ，， ， ，， 故截面的周长为，故正确； 假设， 取上靠近点的四等分点， 则平面，平面， 所以，又， 因为平面，， 所以平面，平面， 则， 所以∽，得，则，矛盾 所以不存在点，使得，故错误； 故选：. 11．如图，点是边长为2的正方体的表面上一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．当点在侧面上时，四棱锥的体积为定值 B．存在这样的点，使得 C．当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 D．当时，点的轨迹长度为 【答案】ACD 【详解】对于选项A，点到侧面的距离即为2，， 故四棱锥的体积， 所以四棱锥的体积为定值，故A选项正确； 对于选项B，因为， 而，因此点是的中点， 所以这样的点不在正方体的表面上，故B选项错误； 对于选项C，①当点在侧面，侧面上时（不包括正方形 的边界），过点作平面的垂线，垂足为，连，在 中，由，可得；②当点在上底面 上时，过点作平面的垂线， 垂足为，若，必有，又由，有 ，此时点的轨迹是以为圆心，2为半径的四分之一圆， 点的轨迹长度为；③当点在侧面上时， 点在线段上符合题意， 此时点的轨迹长为；由上知点的轨迹长度为，故C选项正确； 对于选项D，①当在底面上时，点的轨迹为以为圆心， 为半径的圆与底面的交线，记圆与相交于点，与交于点， 有，可得， 则点的轨迹与底面的交线长为； ②当点在侧面上时，， 可得点的轨迹与侧面的交线为以点为圆心， 为半径的四分之一圆，交线长为． 由对称性可知，点的轨迹长度为，故D选项正确． 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知直四棱柱的侧棱长为3，底面ABCD是边长为2的菱形，为棱上的一点，且，若以为球心的球经过点，则该球与直四棱柱的公共部分的体积为 . 【答案】/ 【详解】由题意知，底面ABCD是边长为2的菱形，且， 因为以为球心的球经过点，所以球的半径为1，又，所以， 所以该球与直四棱柱的公共部分的体积为. 故答案为：. 13．将一个圆形纸片裁成两个扇形，再分别卷成甲､乙两个圆锥的侧面，甲､乙两个圆锥的侧面积分别为和，体积分别为和.若，则 . 【答案】/ 【详解】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为， 则，所以， 又，则，所以， 所以甲圆锥的高， 乙圆锥的高， 所以. 故答案为：. 14．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体的所有棱长和为 ． 【答案】/ 【详解】取半正多面体的截面正八边形ABCDEFGH，由正方体的棱长为1，可知，易知， 设半正多面体的棱长为x，过B，C分别作于M，于N， 则，，解得， 故该半正多面体的所有棱长和为． 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD是边长为的正方形，AC与BD交于点O，底面ABCD，侧棱与底面所成角的余弦值为． (1)求O到侧面的距离； (2)若E为BC的中点，F为PD的中点，证明：平面ABP． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）由为正方形的中心，底面，得， 即四棱锥是正四棱锥，由正方形的边长为，得， 侧棱与底面所成角的余弦值为，则在中，， 于是，，显然到各侧面的距离相等，设到平面的距离为， 由，得， 即，解得， 所以到侧面的距离为. （2）取中点，连接，由F为PD的中点，得， 又E为BC的中点，则，因此， 即四边形是平行四边形，则，而平面ABP，平面ABP， 所以平面ABP． 16.（本小题15分） 如图，已知平面，，是等腰直角三角形，其中，且． (1)设线段中点为，证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离等于，如果存在，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，的长为 【详解】（1）取的中点，的中点，连结、、 则有，， 因为，，所以且， 所以四边形是平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面. （2）存在.设，在中，. 因为面，所以. 因为面，面，面 所以,， 则均为直角三角形. 在中， 同理，. 取的中点，因为，所以， 而. 故. 因为点到面的距离等于， 所以. 而，所以，解得. 所以在线段上只存在唯一一点，当且仅当时，点到面的距离等于. 17.（本小题15分） 如图，四棱台的底面为菱形，，点为中点，．    (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接、， 因为四边形为菱形， 所以是边长为的正三角形， 因为为中点，所以，， 又因为，平面，所以平面， 又平面， 所以， 又，，， 所以，所以， 又因为平面， 所以平面.    （2）因为直线两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 所以 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，所以， 由题意知，是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18.（本小题17分） 如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，四边形为菱形，，三棱柱的体积为3．    (1)证明：平面平面； (2)若为棱的中点，求平面与平面的夹角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 因为， 所以为等边三角形， 因为为中点，所以，， 因为三棱柱的体积为3，设到平面的距离为， 所以，所以，则平面， 又平面，所以平面平面． （2）连接，由（1）知平面，又平面，所以， 因为为的中点，，所以，且， 所以两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴， 轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示）， 则，， 因为， 所以，因为为的中点，所以， 则， 设平面的一个法向量，则，即， 令，解得，故， 设平面的一个法向量，则，即， 令，解得，故， 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以，所以．    19.（本小题17分） 已知一圆形纸片的圆心为，直径，圆周上有两点.如图：，，点是上的动点.沿将纸片折为直二面角，并连接，，，. (1)当平面时，求的长； (2)若，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）平面，平面，平面平面， 则有.所以， 又，则. （2）方法一：因为平面平面，平面平面， 平面，，所以平面. 又，平面，则，， 又，由，可得. 设到平面的距离为d，因为，所以， 所以，所以， 设与平面所成的角为，则. 故与平面所成角的正弦值为. 方法二：，，. 如图，过点作平面的垂线， 以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，. ，. 易知是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，则， 即，令，得，， 则， 设与平面所成角的为， 则. 故与平面所成角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$