数列专项训练-2025届高三数学一轮复习

数列专项训练-2025届高三数学一轮复习 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知等差数列中，，，则（    ） A．600 B．608 C．612 D．620 2．设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数b的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 3．在数列中，若对任意的都满足（其中为常数），则称数列为等差比数列. 已知等差比数列中，，则等于（    ） A．5 B．9 C．15 D．105 4．数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 5．一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 6．已知是等差数列，，在数列中，若是等比数列，则的值为（    ） A．6072 B． C． D． 7．已知数列满足，，则下列是等比数列的是（   ） A． B． C． D． 8．已知数列的前n项和为，若，，且，都有，则（    ） A．是等比数列 B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知等比数列的公比为，前项和为，则（    ） A． B．对任意成等比数列 C．对任意，都存在，使得成等差数列 D．若，则数列递增的充要条件是 10．已知数列的通项为，前项和为，则下列选项中正确的有（    ） A．如果，则，，使得 B．如果，则，，使得 C．如果，则，，使得 D．如果，，使得，则，，便得 11．已知数列的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C．的前10项和为 D．的前10项和为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知等差数列和等比数列满足，，，.数列和中的所有项分别构成集合、，将集合中的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，数列的前项和为，则 . 13．已知数列的通项公式为: ，其前项和为 ，若成等比数列， 则 k= 14．数列称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家莱昂纳多･斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，满足，则数55是该数列的第 项；是斐波那契数列的第 项. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 16.（本小题15分） 已知正项数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围. 17.（本小题15分） 已知是等差数列，其前项和为是等比数列，已知，是和的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记，求证：. 18.（本小题17分） 已知数列的各项均为正数，其前项和为是等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 19.（本小题17分） 已知是等差数列，公差，，且是与的等比中项. (1)求的通项公式 (2)数列满足，且. （ⅰ）求的前n项和. （ⅱ）是否存在正整数m，n（），使得，，成等差数列，若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数列专项训练解析版-2025届高三数学一轮复习 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知等差数列中，，，则（    ） A．600 B．608 C．612 D．620 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得， 因此，， 显然构成等差数列， 所以. 故选：B 2．设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数b的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得恒成立，即， 即，又，，故. 故选：A. 3．在数列中，若对任意的都满足（其中为常数），则称数列为等差比数列. 已知等差比数列中，，则等于（    ） A．5 B．9 C．15 D．105 【答案】D 【详解】因为为等差比数列，所以， 所以，解得，由，解得： 故选：D 4．数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，时，， 两式相减得，，即，， 因为，即， 所以数列是以1为首项，以为公比的等比数列， 则． 故选：B． 5．一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】依题意，（），， 当时， ，又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 故选：A. 6．已知是等差数列，，在数列中，若是等比数列，则的值为（    ） A．6072 B． C． D． 【答案】C 【详解】设的公差为的公比为， 则由题意可得，，即，解得， 所以 根据已知又有：， 则，得， 所以，进而， 故. 故选：C. 7．已知数列满足，，则下列是等比数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，， 可得，即，解得， 又，即，解得， 由，，，，故A错误； 由，，，，故B错误； 由，，，，故C错误； 由，可得， 即为，又，可得是首项为3，公比为的等比数列，故D正确． 故选：D. 8．已知数列的前n项和为，若，，且，都有，则（    ） A．是等比数列 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以， 由，即， 由，即， 由，即， 由，即， 由. 因为，所以不是等比数列，故A错误； 因为，故B正确； 因为，故C错误； 因为，故D错误. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知等比数列的公比为，前项和为，则（    ） A． B．对任意成等比数列 C．对任意，都存在，使得成等差数列 D．若，则数列递增的充要条件是 【答案】ACD 【详解】对于A：当时，，，故成立， 当时，，，所以成立，故A正确； 对于B：当时，，所以不成等比数列，故B错误； 对于C：当时，，故不成等差数列， 当时，若存在，使成等差数列， 则，则， 整理得，所以，所以， 所以对任意，都存在，使得成等差数列，故C正确； 对于D：，若是递增数列， 则可得，因为，所以，可解得， 所以若，则数列递增的充要条件是，故D正确. 故选：ACD. 10．已知数列的通项为，前项和为，则下列选项中正确的有（    ） A．如果，则，，使得 B．如果，则，，使得 C．如果，则，，使得 D．如果，，使得，则，，便得 【答案】ABD 【详解】A选项，可以得到， 故或0，故令，则有，，使得，A正确； B选项，， 故， 则，取，，使得，B正确； C选项，下证，， 令，，则在上单调递减， 因为，， 故存在，使得， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，故在恒成立， 即，， ，则有， 又B选项可知，当，则，，使得， 同理当，则，，使得， 故当，则，，使得，C错误； D选项，如果，，使得， 则， 故对于，，便得，D正确. 故选：ABD 11．已知数列的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C．的前10项和为 D．的前10项和为 【答案】ABD 的问题，再依据裂项法，可解决选项C的问题. 【详解】，所以是首项，公差的等差数列， ，故选项A正确. 令，则， ， 又，， ，故选项C错误. 又，， 又，，， 是首项为，公比的等比数列， ，故选项B正确. 又， 是首项为，公比为的等比数列， ，故选项D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知等差数列和等比数列满足，，，.数列和中的所有项分别构成集合、，将集合中的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，数列的前项和为，则 . 【答案】557 【详解】设等差数列的公差为和等比数列的公比为， 由，，，，可得，， 解得，， 则，， 由， 由和中无公共项，可得的前20项中，有5项为的前5项，15项为的前15项， 则． 故答案为：557． 13．已知数列的通项公式为: ，其前项和为 ，若成等比数列， 则 k= 【答案】6 【详解】因为成等比数列，所以 ， 由于数列的通项公式为: ， 故是首项为1，公差为2的等差数列，且前项和为， 所以 ，所以 (舍去负值)， 所以 (舍去负值)， 故答案为：6 14．数列称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家莱昂纳多･斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，满足，则数55是该数列的第 项；是斐波那契数列的第 项. 【答案】 10 2025 【详解】显然，故数55是该数列的第10项； 由，相加得 ， 则，是第2025项. 故答案为：10，2025 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）当时，. 当时，，，两式相减得： . 所以是以为首项，以为公比的等比数列. 所以. （2）由（1）知： 所以. 当时，， 当时，，故， 所以. 16.（本小题15分） 已知正项数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）①，且， 当时，代入①得； 当时，.② ①-②得，整理得， 因为，所以，所以数列为等差数列，公差为1，所以. （2），，③ ，④ ③-④得， 所以，所以，且，化简得， 令，所以， 所以的最大值为，所以. 所以的取值范围为. 17.（本小题15分） 已知是等差数列，其前项和为是等比数列，已知，是和的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题意， ， 又是和的等比中项，得， 又，解得， ； （2）， 设， 则， 将以上两式相减得 ， ； （3） ， ， . 结论得证. 18.（本小题17分） 已知数列的各项均为正数，其前项和为是等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 由是等比数列，设公比为，则由得，所以， 所以，所以，故由得， 所以，所以，所以； （2）由（1）可得，当时，. 当时，.经检验不适合， 所以，所以， 则数列的前项和， ， 两式相减可得， 所以. 19.（本小题17分） 已知是等差数列，公差，，且是与的等比中项. (1)求的通项公式 (2)数列满足，且. （ⅰ）求的前n项和. （ⅱ）是否存在正整数m，n（），使得，，成等差数列，若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）存在，，． 【详解】（1）因为为等差数列，且，所以． 又是与的等比中项，所以，即． 化简得，解得或（舍）， 所以． （2）（i）由，得，所以（），又， 当时， ， 又也适合上式，所以， 则， 所以． （ⅱ）假设存在正整数m，n，使得，，成等差数列， 则，即，整理得， 显然是25的正约数，又，则或， 当，即时，与矛盾； 当，即时，，符合题意， 所以存在正整数使得，，成等差数列，此时，． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$