精品解析：2024年浙江省杭州市中考数学模拟冲刺试题

2024年浙江省杭州市中考数学模拟冲刺练习卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，则它的左视图是（　　） A. B. C. D. 3. 神舟十五号的飞行任务是中国载人航天工程空间站建造阶段的最后一次飞行任务，自此我国将完成空间站建造，神舟十五号距地面高度约为345000米．数据345000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如图，则在这组数据中，这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是( ) A. 8，9 B. 8，8.5 C. 16，8.5 D. 16，14 6. 在物理并联电路里，支路电阻、与总电阻之间的关系式为，若，用、表示正确的是 A. B. C. D. 7. 《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有升，薄酒有升，根据题意列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为( ) A. B. C. D. 9. 已知线段，按如下步骤作图： ①取线段中点C； ②过点C作直线l，使； ③以点C为圆心，长为半径作弧，交l于点D； ④作的平分线，交l于点E．则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，E为中点，连接，延长至点F，使得，以为边作正方形，《几何原本》中按此方法找到线段的黄金分割点H．现连结并延长，分别交于点P，Q，若的面积与的面积之差为，则线段的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 若，且m﹣n＝﹣3，则m+n＝_____． 12. 一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为，那么黑球的个数是______． 13. 不等式组的解集为_____________． 14. 往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽，则水的最大深度为________． 15. 如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是__________． 16. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____． 三、解答题（本题有8小题，第17-19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分） 17. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中x是满足条件的合适的非负整数． 18. 宪法是国家根本法，是治国安邦的总章程．学法辨是非、知法明荣辱、守法正社风、用法止纷争，弘扬并践行宪法精神是当代青少年的义务与担当．某校举行以“学宪法，讲宪法”为主题的宣传教育活动，并举办了宪法知识竞赛．据统计：所有学生的成绩均及格，竞赛成绩x分（满分100分）分为4个等级：A等级，B等级，C等级，D等级．为了解学生的成绩分布情况，教务处随机抽取了部分学生的成绩，并绘制成如图两幅不完整的统计图： （1）本次抽取的学生共有 ___________人，他们成绩的中位数落在 ___________等级； （2）补全频数分布直方图，扇形统计图中D等级所对应的圆心角的度数为 ___________； （3）若竞赛成绩为优秀，估计全校1000名学生中成绩达到优秀人数； （4）九（1）班满分的学生为两名男生和两名女生，班主任将从中随机抽取两名学生向全校宣传宪法．请用列表或画树状图的方法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 19. 如图，在菱形中，于点，于点，连接 （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 已知：一次函数与反比例函数． （1）若一次函数的图象经过点， ①求函数的表达式，并求出两个函数图象的交点坐标； ②当时，写出x取值范围． （2）试证明：当k取任何不为0的值时，两个函数的图象总有交点． 21. 2022年7月19日亚奥理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元． （1）若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格； （2）在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？ 22. 随着自动化设备的普及，公园中引入了自动喷灌系统．图1是某公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，图2是该喷灌器喷水时的截面示意图． （1）喷水口A离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界B处． ①以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图所示，求出抛物线的解析式； ②求喷灌器底端O到点B的距离； （2）现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形（如图3），其中高为．宽为．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口A向上升高，使水柱落在花坛的上方边上，求h的取值范围． 23. 综合探究 在和中，，，且，点E在的内部，连接，和，设． （1）当时，如图1，请求出k值，并给予证明； （2）当时： ①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出k值并说明理由； ②如图3，当D，E，C三点共线，且E为中点时，请求出的值． 24. 如图1，为的对角线，的外接圆交于点． （1）求证：； （2）如图2，当时，连接、，求证； （3）如图3，在（2）条件下，记、的交点为点，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年浙江省杭州市中考数学模拟冲刺练习卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可． 【详解】解：有理数2024的相反数是， 故选：B． 2. 运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，则它的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：由左视图的定义知该领奖台的左视图如下： 故选D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到的线用虚线表示． 3. 神舟十五号的飞行任务是中国载人航天工程空间站建造阶段的最后一次飞行任务，自此我国将完成空间站建造，神舟十五号距地面高度约为345000米．数据345000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】 故选：C． 【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得， 不等式组的解集为． 故选：B． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 5. 为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如图，则在这组数据中，这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是( ) A. 8，9 B. 8，8.5 C. 16，8.5 D. 16，14 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数的定义（众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据）和中位数的定义（将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数）分别求出众数和中位数即可得． 【详解】解：∵睡眠8小时出现的次数最多，为16次， ∴众数是8， ∵被调查的学生人数为3+16+14+7=40（人）， ∴总共有40个数据， 将这些数据按从小到大进行排序后， 第20个数和第21个数据分别为9，9， 则中位数是9， 故选：A． 【点睛】本题考查了众数和中位数，熟记定义是解题关键． 6. 在物理并联电路里，支路电阻、与总电阻之间的关系式为，若，用、表示正确的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：， 得R2═． 故选B． 7. 《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有升，薄酒有升，根据题意列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，列出二元一次方程组．根据好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，列出方程组即可． 【详解】解：根据好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，列出方程组得： 故选：A． 8. 如图，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接CD，由直径所对的圆周角是直角，可得CD是直径；由同弧所对的圆周角相等可得∠OBC=∠ODC，在Rt△OCD中，由OC和CD的长可求出sin∠ODC． 【详解】设⊙A交x轴于另一点D，连接CD， ∵∠COD=90°， ∴CD为直径， ∵直径为10， ∴CD=10， ∵点C（0，5）和点O（0，0）， ∴OC=5， ∴sin∠ODC= = ， ∴∠ODC=30°， ∴∠OBC=∠ODC=30°， ∴cos∠OBC=cos30°= ． 故选C． 【点睛】此题考查了圆周角定理、锐角三角函数的知识．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 9. 已知线段，按如下步骤作图： ①取线段中点C； ②过点C作直线l，使； ③以点C为圆心，长为半径作弧，交l于点D； ④作的平分线，交l于点E．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，角平分线的性质，勾股定理等等，先利用勾股定理求出，由角平分线的性质和定义得到， ．再利用等面积法求出即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点E作于F， 由题意得，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，在正方形中，E为中点，连接，延长至点F，使得，以为边作正方形，《几何原本》中按此方法找到线段的黄金分割点H．现连结并延长，分别交于点P，Q，若的面积与的面积之差为，则线段的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，黄金分割，三角形的面积．连接，设，根据线段的中点定义可得，再根据正方形的性质可得，，从而在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，然后利用线段的和差关系求出的长，再利用正方形的性质可得，，从而可得，进而可得是等腰直角三角形，最后利用等腰直角三角形的性质可得，再根据已知的面积−的面积=，可得的面积−的面积=，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【详解】解：连接， 设， ∵E为中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形正方形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵的面积−的面积， ∴(的面积+的面积）−(的面积+的面积）， ∴的面积−的面积， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故选：C． 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 若，且m﹣n＝﹣3，则m+n＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据平方差公式即可求出答案． 【详解】解：∵，m﹣n＝﹣3， ∴﹣3（m+n）＝﹣6， ∴m+n＝2， 故答案为：2 【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型． 12. 一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为，那么黑球的个数是______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据概率公式建立分式方程求解即可 【详解】∵袋子中装有2个白球和n个黑球，摸出白球的概率为， ∴=， 解得n=6， 经检验n=6是原方程的根， 故答案为：6 【点睛】本题考查了概率公式，根据概率，运用公式建立起分式方程是解题的关键． 13. 不等式组的解集为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】解第一个不等式得，解第二个不等式得，然后求出它们的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 所以，不等式组的解集为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：先分别求出各个不等式的解集，则它们的公共部分即为不等式组的解集；按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的为空集”得到公共部分． 14. 往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽，则水的最大深度为________． 【答案】16 【解析】 【分析】作点O作交AB于点D，交圆O于点C，连接OA，利用垂径定理得出，然后利用勾股定理求出OD的长度，最后利用即可求解． 【详解】如图，作点O作交AB于点D，交圆O于点C，连接OA， ∵，， ∴， ∵直径为52cm， ∴， ， ， 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 15. 如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形的边长为m，根据，，得到，根据矩形对边相等得到，推出，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到，得到，推出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 设正方形的边长为m， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设反比例函数的表达式为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，反比例函数性质，k的几何意义． 16. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果． 【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2， EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9， 由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF， ∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°， ∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°， ∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173， ∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125， ∴2x2﹣20x+173＝125， 解得，x＝4或6， 当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去， ∴CE＝C′E＝4， ∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2， ∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8， ∴tan∠B'AC′＝=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键． 三、解答题（本题有8小题，第17-19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分） 17. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中x是满足条件的合适的非负整数． 【答案】（1）4；（2）； 【解析】 【分析】（1）分别进行化简绝对值、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、零指数幂等运算，然后按照实数的运算法则计算即可； （2）先根据分式的混合运算法则进行化简， 再根据分式分母不为零，确定在范围内合适的非负整数，最后再代入化简后的式子即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： x是满足条件的非负整数，且 原式 【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，绝对值的意义，二次根式的化简以及零指数幂的运算，分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则，注意分式分母不为零． 18. 宪法是国家的根本法，是治国安邦的总章程．学法辨是非、知法明荣辱、守法正社风、用法止纷争，弘扬并践行宪法精神是当代青少年的义务与担当．某校举行以“学宪法，讲宪法”为主题的宣传教育活动，并举办了宪法知识竞赛．据统计：所有学生的成绩均及格，竞赛成绩x分（满分100分）分为4个等级：A等级，B等级，C等级，D等级．为了解学生的成绩分布情况，教务处随机抽取了部分学生的成绩，并绘制成如图两幅不完整的统计图： （1）本次抽取的学生共有 ___________人，他们成绩的中位数落在 ___________等级； （2）补全频数分布直方图，扇形统计图中D等级所对应的圆心角的度数为 ___________； （3）若竞赛成绩为优秀，估计全校1000名学生中成绩达到优秀的人数； （4）九（1）班满分的学生为两名男生和两名女生，班主任将从中随机抽取两名学生向全校宣传宪法．请用列表或画树状图的方法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）50，B （2）见解析，36° （3）320 （4） 【解析】 【分析】（1）由C等级人数及其所占百分比可得总人数，再求出B等级人数，依据中位数的定义可得答案； （2）根据（1）中所求结果即可补全图形，用360°乘以D等级人数所占比例即可得出答案； （3）用总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可； （4）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 本次抽取的学生人数为（人）， 则B等级人数为（人），A等级人数为（人）， 成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而这两个数据落在B等级，所以他们成绩的中位数落在B等级， 故答案为：50、B； 【小问2详解】 补全直方图如下： 扇形统计图中D等级所对应的圆心角的度数为， 故答案为：； 【小问3详解】 （人）， 答：估计全校1000名学生中成绩达到优秀的人数为320人； 小问4详解】 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 【点睛】本题考查了统计图，样本估计总体，中位数，列表法与树状图法求概率：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果是解题的关键，总体结果数为n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 19. 如图，在菱形中，于点，于点，连接 （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质的三角形全等即可证明． （2）根据菱形的性质和已知条件可推出度数，再根据第一问的三角形全等和直角三角形的性质可求出和度数，从而求出度数，证明了等边三角形，即可求出的度数． 【小问1详解】 证明：菱形， ， 又， ． 在和中， ， ． ． 【小问2详解】 解：菱形， ， ， ． 又， ． 由（1）知， ． ． ， 等边三角形． ． 【点睛】本题考查了三角形全等、菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握全等的方法和菱形的性质． 20. 已知：一次函数与反比例函数． （1）若一次函数的图象经过点， ①求函数的表达式，并求出两个函数图象的交点坐标； ②当时，写出x的取值范围． （2）试证明：当k取任何不为0的值时，两个函数的图象总有交点． 【答案】（1）①一次函数解析式为：；反比例函数解析式为：；两函数的交点坐标为，；②或 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的综合运用： （1）利用待定系数法求出解析式，即可求解； （2）联立两函数解析式，可得，再利用根的判别式，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为：；反比例函数解析式为：； 联立方程组，解得，或， ∴两函数的交点坐标为，． ②画出两个函数图象如图所示： 当时，写出x的取值范围为或； 【小问2详解】 解：一次函数与反比例函数联立消去y得： 整理得：， ∵， ∴当k取任何不为0的值时，两个函数的图象总有交点． 21. 2022年7月19日亚奥理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元． （1）若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格； （2）在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？ 【答案】（1）甲规格吉祥物每套价格为70元，乙规格每套为90元 （2）乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少 【解析】 【分析】（1）根据等量关系：700元购买甲规格数量900元购买乙规格的数量，列出方程求解即可； （2）设乙规格购买套，根据题意列出总费用与所满足的关系式为一次函数，再求出的取值范围，用一次函数的增减性可求解． 【小问1详解】 解：设甲规格吉祥物每套价格元，则乙规格每套价格为元， 根据题意，得， 解得． 经检验，是所列方程的根，且符合实际意义． ． 答：甲规格吉祥物每套价格70元，乙规格每套为90元． 【小问2详解】 解：设乙规格购买套，甲规格购买套，总费用为元 根据题意，得 ， 解得， ， ， 随的增大而增大． 当时，最小值． 故乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式及一次函数的应用，根据实际意义找出所含的等量关系，并正确列出分式方程及一次函数是解题的关键． 22. 随着自动化设备的普及，公园中引入了自动喷灌系统．图1是某公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，图2是该喷灌器喷水时的截面示意图． （1）喷水口A离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界B处． ①以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图所示，求出抛物线的解析式； ②求喷灌器底端O到点B的距离； （2）现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形（如图3），其中高为．宽为．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口A向上升高，使水柱落在花坛的上方边上，求h的取值范围． 【答案】（1）①图见解析，；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，结合实际理清题中的数量关系是解题的关键． （1）①建立平面直角坐标系，用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式； ②令，求得方程的解，舍去不符合实际情况的值即可； （2）由题意可得，，分别代入，求出的最小值和最大值，再令，求得的最小值和最大值，即可得出答案． 【小问1详解】 ①以点O为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示： 设抛物线解析式为 把代入得 解得： 抛物线的表达式为； ②令，得， 解得：，（舍去） 喷灌器底端O到点B的距离； 【小问2详解】 如图所示： ， ， 设 把代入得 解得： 当时， 设， 把代入得 解得： 当时， 使水柱落在花坛的上方边上，的取值范围为． 23. 综合探究 在和中，，，且，点E在的内部，连接，和，设． （1）当时，如图1，请求出k值，并给予证明； （2）当时： ①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出k值并说明理由； ②如图3，当D，E，C三点共线，且E为中点时，请求出的值． 【答案】（1），理由见解析； （2）①k值发生变化，，理由见解析；②． 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据题意得到和都是等边三角形，证明，根据全等三角形的性质解答； （2）①根据等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质计算； ②作于F，设，则，证明，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据正切的定义计算即可． 【小问1详解】 解：， 理由如下：如图1，∵，，， ∴和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，即； 【小问2详解】 解：①k值发生变化，， ∵，，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴； ②作于F， 设，则， ∵点E为中点， ∴， 由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 则． 24. 如图1，为的对角线，的外接圆交于点． （1）求证：； （2）如图2，当时，连接、，求证； （3）如图3，在（2）的条件下，记、的交点为点，当时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质以及圆周角定理即可证明； （2）由垂径定理证明，再推出，即可证明结论； （3）设，得到,，，由角平分线的性质求得，证明，求得，由角平分线的性质推出，在和中，求得，然后推出，即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：，经过圆心， ， ， ， ， ， 又， ； 【小问3详解】 延长交于点， ， ， ， 设，则，， 由（2）可知，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即是的平分线， 点到两边距离相等，   ， ， ， ， ，即， ， 由（2）可知：是的平分线，同理，，即， ， 设的半径为， ， ， 解得，即，    设， 在和中，， 即， 整理得，即， ，， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是明确题意，综合运用这些知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$