1.3正方形的性质和判定 同步练习 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

1.3正方形的性质和判定 一、单选题 1．如图，如果要证明四边形为正方形，那么我们需要在四边形是平行四边形的基础上，进一步证明（    ） A．且 B．且 C．且 D．和互相垂直平分 2．如图，正方形ABCD的边长为8，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE＝EC，则线段CH的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，在正方形的外侧作等边，连接，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．如图，点E是正方形ABCD对角线BD上的一点，连接CE、AE，延长CE交AD于点F，若∠DCE＝25°，则∠AEF的度数是（    ） A．25° B．30° C．35° D．40° 5．如图，点在边长为的正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点若，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．如图，正方形中，，点E，F分别为上一点，且，连接交对角线于点G，点P，Q分别为的中点，则的长为（    ） A．6 B． C． D． 7．如图，正方形ABCD的面积为25，ABE 为等边三角形，点E在正方形ABCD内，若P是对角线AC上的一动点，则PD+PE的最小值是（  ） A． B．5 C． D． 8．如图，正方形中，，点在边上，且，将沿对折至，延长交边于点，连接、．下列结论：①；②；③；④//．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．正方形的边长与它的对角线的长度的比值为 ． 10．如图，正方形ABCD的面积是64，点F在边AD上，点E在边AB的延长线上．若CE⊥CF，且△CEF的面积是50，则DF的长度是 ． 11．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=2，EC=5，那么正方形ABCD的面积为 12．如图，四边形为正方形，点、点分别为、边上的点，，连接、交于点，若，四边形的面积为 ． 13．如图，已知正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC交BD于点E，则BE的长为 ．    14．如图，正方形和正方形的边长分别是2和3，且点A，B，E在同一直线上，M是线段的中点，连结，，则的长为 ，的长为 ．    15．如图，正方形ABCD的边长为6，E，F是对角线BD上的两个动点，且EF＝，连接CE，CF，则△CEF周长的最小值为 ． 三、解答题 16．已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且CA=CB，延长BC至点E，使CE=BC，连接DE． （1）当AC⊥BD时，求证：BE=2CD； （2）当∠ACB=90°时，求证：四边形ACED是正方形．    17．如图，在正方形外取一点E，连接，，，过点A作的垂线交于P，若 （1）求证：； （2）求证：． 18．如图，四边形是正方形，M是边上的一点，E是的中点，平分． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，求的长． 19．已知，如图所示，正方形的边长为1，为边上的一个动点（点与、不重合），以为一边向正方形外作正方形，连接交的延长线于点. （1）求证：①≌△. ②. （2）当平分时，求的长. 20．已知，正方形，点E是边上任一点（与B，C不重合），连接． (1)如图1，若，连接，交与F，连接，求； (2)如图2，点G、H分别在上，与相交于点O，，当，时，求的长． 参考答案： 1．B 2．A 3．A 4．D 5．B 6．D 7．B 8．D 9． 10．6 11．21 12．20 13． 14． 15．2+4 16．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． ∴BC=CD． 又∵CE=BC， ∴BE=2BC， ∴BE=2CD； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BE， 又∵CE=BC， ∴AD=CE，AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形． ∵∠ACB=90°， ∴平行四边形ACED是矩形， 又∵CA=CB， ∴CA=CE， ∴矩形ACED是正方形． 17．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90°， ∵AE⊥AP， ∴∠EAP=90°， ∴∠EAB=∠PAD， 在△ABE和△ADP中，， ∴△ABE≌△ADP； （2）证明：∵△ABE≌△ADP， ∴∠APD=∠AEB， 又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE， ∴∠BEP=∠PAE=90°， ∴BE⊥DE． 18．（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）证明：过E作，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：设， ∵， ∴，， 在中， ，即， 解得：， ∴； 19．（1）①∵四边形与四边形均为正方形， ∴BC=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG=900， ∴≌△ ②∵≌△, ∴∠BGC=∠DEC, ∵∠BGC+∠CBG=900， ∴∠DEC+∠CGB=900 ∴∠BHE=900 即 (2) 连接BD， ∵四边形ABCD是正方形，边长为1， ∴AB=AD=1，∠A=900，   ∴ ∵BH平分DE，BH⊥DE， ∴DH=EH,∠BHD=∠BHE, 又∵BH=BH ∴△BHD≌△BHE, ∴BE=BD=, ∴CG=CE=BE-BC=. 20．（1）解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，过点A作，交于点F，过点A作，交延长线于点M，连接， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，，即，解得， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$