第51讲事件的相互独立性、条件概率与全概率公式课件-2025届高三数学一轮复习

第51讲　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 第十章　 计数原理、概率及其分布 1 1．掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系为 (　　) A．互斥 B．互为对立事件 C．相互独立 D．相等 激 活 思 维 【解析】 C 掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚出现偶数点”，事件A与B能同时发生，故事件A与B既不是互斥事件，也不是对立事件，故A，B错误； 事件A与B不相等，故D错误． 2．假设P(A)＝0.7，P(B)＝0.8，且A，B相互独立，则P(AB)＝________；P(A∪B)＝________． 0.56 【解析】 因为P(A)＝0.7，P(B)＝0.8，且A与B相互独立，所以P(AB)＝P(A)×P(B)＝0.7×0.8＝0.56，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.7＋0.8－0.56＝0.94. 0.94 3．设A⊆B，且P(A)＝0.3，P(B)＝0.6，则P(B|A)＝_____，P(A|B) ＝______． 1 【解析】 4．甲、乙两人同时向一目标射击，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5.已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为________． 0.75 【解析】 5．甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱中随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱中随机摸出1个球. 则摸到红球的概率是______． 【解析】 聚 焦 知 识 P(A)P(B) B (2) 两个公式 ②概率的乘法公式：P(AB)＝_________________． 3．全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任 意的事件B⊆Ω，有________________________，我们称上面的公式为全概率公式． P(A)·P(B|A) 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．事件甲＝“第一次取出的球的数字是1”，事件乙＝“第二次取出的球的数字是2”，事件丙＝“两次取出的球的数字之和是8”，事件丁＝“两次取出的球的数字之和是7”，则 (　　) A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 相互独立事件的判断 举 题 说 法 1 【解析】 【答案】B 事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误． 变式　(多选)某不透明的袋子中装有5个质地、大小均相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，事件A＝“第一次取出的球的数字是1”，事件B＝“第二次取出的球的数字是2”，事件C＝“两次取出的球的数字之和是7”，事件D＝“两次取出的球的数字之和是6”，则(　　) A．A与C相互独立 B．B与D相互独立 C．A与D相互独立 D．B与C相互独立 【解析】 【答案】BC (多选)有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，现任取一个零件，记事件Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，事件B＝“任取一零件为次品”，则 (　　) 条件概率 2 【解析】 【答案】ACD 根据题意知P(B)＝6%×25%＋5%×30%＋5%×45%＝0.052 5，故C正确； P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3, 故A正确； 变式　某地暴发疾病，全省支援，需要从我市某医院某科室的5名男医生(含一名主任医师)、4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为 (　　) A 【解析】 某批麦种中，一等麦种占90%，二等麦种占10%，一、二等麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为________． 全概率公式 3 【解析】 分别记取到一等麦种和二等麦种分别为事件A1，A2，所结麦穗含有50粒以上麦粒为事件B.由已知可得P(A1)＝0.9，P(A2)＝0.1，P(B|A1)＝0.6，P(B|A2)＝0.2，由全概率公式可得P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.9×0.6＋0.1×0.2＝0.56. 0.56 变式　某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对该题目的概率为 (　　) A．0.625 B．0.75 C．0.5 D．0 A 【解析】 学校给每位教师随机发了一箱苹果，李老师将其分为两份，第1份占总数的40%，次品率为5%，第2份占总数的60%，次品率为4%.若李老师分 份之前随机拿了一个发现是次品后放回，则该苹果被分到第1份中的概率为______. 贝叶斯公式 新视角 4 【解析】 变式　小张从家到公司上班总共有三条路可以走(如图)，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率分别为P(L1)＝0.5，P(L2) 【解答】 由题意知，不迟到就意味着不拥堵，设事件C表示到公司不迟到，则P(C)＝P(L1)×P(C|L1)＋P(L2)×P(C|L2)＋P(L3)×P(C|L3)＝P(L1)×P(C1)＋P(L2)×P(C2)＋P(L3)×P(C3)＝0.5×0.2＋0.3×0.4＋0.2×0.7＝0.36. =0.3，P(L3)＝0.2，每天上述三条路不拥堵的概率分别为P(C1)＝0.2，P(C2)＝0.4，P(C3)＝0.7.假设遇到拥堵会迟到，那么： (1) 小张从家到公司不迟到的概率是多少？ 变式　小张从家到公司上班总共有三条路可以走(如图)，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率分别为P(L1)＝0.5，P(L2) 【解答】 =0.3，P(L3)＝0.2，每天上述三条路不拥堵的概率分别为P(C1)＝0.2，P(C2)＝0.4，P(C3)＝0.7.假设遇到拥堵会迟到，那么： (2) 已知到达公司未迟到，那么选择道路L1的概率是多少？ 随 堂 练习 1．一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为(　　) A．1 B．0.629 C．0 D．0.74或0.85 B 【解析】 由题意知甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，所以甲、乙两根保险丝都熔断的概率为0.85×0.74＝0.629. 【解析】 A 3．“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多．现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖这6个景点中随机选择1个景点游玩，记事件A＝“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B＝“两位游客选择的景点不同”，则P(B|A)＝(　　) D 【解析】 【解析】 A 5．在A，B，C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数之比为5∶6∶9，现从这三个地区中任意选取一人，则此人是流感患者的概率为 (　　) A．0.032 B．0.048 C．0.05 D．0.15 B 【解析】 由全概率公式得P(D)＝P(A1)P(D|A1)＋P(A2)P(D|A2)＋P(A3)·P(D|A3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.04＝0.048. 配套精练 28 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．篮球队的5名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他4人的概率相等，由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的概率为 (　　) D 【解析】 【解析】 C 3．有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部．若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为(　　) A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1 A 【解析】 4．某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%.若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为(　　) A．0.2 B．0.47 C．0.53 D．0.77 【解析】 【答案】D 由图可知医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩的占比分别为70%，20%，10%. 记事件A1，A2，A3分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，所以P(A1)＝0.7，P(A2)＝0.2，P(A3)＝0.1. 又三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%，记事件B＝“选到绑带式口罩”，则P(B|A1)＝0.9，P(B|A2)＝0.5，P(B|A3)＝0.4，所以由全概率公式可得P(B)＝0.7×0.9＋0.2×0.5＋0.1×0.4＝0.77. 二、 多项选择题 5．A，B两组各有2名男生、2名女生，从A，B两组中各随机选出1名同学参加演讲比赛．甲表示事件“从A组　中选出的是男生小明”，乙表示事件“从B组　中选出的是1名男生”，丙表示事件“从A，B两组中选出的是2名男生”，丁表示事件“从A，B两组中选出的是1名男生和1名女生”，则(　　) A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．甲与乙相互独立 D．乙与丁相互独立 【解析】 记“从A组中选出的是男生小明”为事件M，“从B组中选出的是1名男生”为事件N，“从A，B两组中选出的是2名男生”为事件S，“从A，B两组中选出的是1名男生和1名女生”为事件T， 【答案】BCD 【解析】 ABD 三、 填空题 7．甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5∶4∶6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%，25%，50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为________；将三个盒子混合后任取一个球是白球的概率为_______． 【解析】 【答案】0.05 0.6 设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5n，4n，6n，所以总数为15n，所以甲盒中黑球个数为40%×5n＝2n，白球个数为3n； 乙盒中黑球个数为25%×4n＝n，白球个数为3n；丙盒中黑球个数为50%×6n＝3n，白球个数为3n. 记事件A＝“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”，则P(A)＝0.4×0.25×0.5＝0.05. 8．现有四家工厂生产同一产品，已知它们生产该产品的日产量分别占日产量总和的15%，20%，30%和35%，且产品的不合格率分别为0.05，0.04，0.03和0.02.现从四家工厂一天生产的所有产品中任取一件，则抽到不合格品的概率是___________． 【解析】 因为生产该产品的日产量分别占日产量总和的15%，20%，30%和35%，且产品的不合格率分别为0.05，0.04，0.03和0.02，所以抽到不合格品的概率为P＝15%×0.05＋20%×0.04＋30%×0.03＋35%×0.02＝0.031 5. 0.031 5 【解析】 方法一：设事件A＝“小明自驾去上班”，事件B＝“小明坐公交车去上班”，事件C＝“小明骑共享单车去上班”，事件D＝“小明上班迟到”， 【答案】 【解答】 比赛进行四局结束有以下两种情况：第一局甲获胜，后三局丙获胜；第一局乙获胜，后三局丙获胜． 【解答】 设“甲获胜”为事件A，“乙获胜”为事件B，“丙获胜”为事件C. 11．小明每天去学校有A，B两条路线可供选择，小明上学时随机地选择一条路线．如果小明上学时选择A路线，那么放学时选择A路线的概率为0.6；如果小明上学时选择B路线，那么放学时选择A路线的概率为0.8. (1) 求小明放学时选择A路线的概率； 【解答】 设A1＝“上学时选择A路线”，B1＝“上学时选择B路线”，A2＝“放学时选择A路线”，则Ω＝A1∪B1，且A1与B1互斥，根据题意得P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.6，P(A2|B1)＝0.8. 由全概率公式，得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7.所以小明放学时选择A路线的概率为0.7. 11．小明每天去学校有A，B两条路线可供选择，小明上学时随机地选择一条路线．如果小明上学时选择A路线，那么放学时选择A路线的概率为0.6；如果小明上学时选择B路线，那么放学时选择A路线的概率为0.8. (2) 已知小明放学时选择A路线，求小明上学时选择B路线的概率． 【解答】 【解析】 【答案】BCD 对于A，|－5|＞|2|＋1，而－5＜2＋1，故A错误； 对于B，因为|a|＞|b|＋1，所以|a|2＞(|b|＋1)2，即a2＞b2＋2|b|＋1＞b2＋1，所以a2＞b2＋1＞0，又函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以ln a2＞ln (b2＋1)，故B正确； 对于C，由B中分析得a2＞b2＋2|b|＋1，所以a2－4b＞b2＋2|b|＋1－4b，因为|b|≥b，所以a2－4b＞b2＋2|b|＋1－4b≥b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，所以a2＞4b，故C正确； 13．已知点P是直线l1：mx－ny－5m＋n＝0和l2：nx＋my－5m－n＝0(m，n∈R，m2＋n2≠0)的交点，点Q是圆C：(x＋1)2＋y2＝1上的动点，则|PQ|的最大值是(　　) 【解析】 【答案】B 谢谢观赏 记事件B＝“将三个盒子混合后取出一个球是白球”，黑球总共有2n＋n＋3n＝6n个，白球总共有9n个，所以P(B)＝＝0.6. 10．某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三人通过初赛进入决赛．决赛比赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人累计获胜三局，则此人获得比赛胜利，比赛结束．假设每局比赛双方获胜的概率均为，且每局比赛相互独立． (2) 求甲获得比赛胜利的概率． $$