随机事件与概率课件-2025届高三数学一轮复习

第50讲　随机事件与概率 第十章　 计数原理、概率及其分布 1 1．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立事件的是 (　　) A．至多一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没中靶 激 活 思 维 【解析】 D 对于A，“至多一次中靶”包含一次中靶、两次都不中靶，“至少一次中靶”包含一次中靶、两次都中靶，A不满足条件； 对于B，“两次都中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，B不满足条件； 对于C，“只有一次中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，C不满足条件； 对于D，“两次都没中靶”与“至少一次中靶”对立，D满足条件． 2．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B＝“第二枚硬币反面朝上”，下列结论正确的是 (　　) A．A与B互为对立事件 B．A与B互斥 C．A与B相等 D．P(A)＝P(B) D 【解析】 抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反). 事件A包含的结果有(正，正)，(正，反)，事件B包含的结果有(正，反)，(反，反)，显然事件A，事件B都含有“(正，反)”这一结果，即事件A，事件B能同时发生，因此，事件A与事件B既不互斥也不对立，故A，B错误； 3．已知P(A)＝0.5，P(B)＝0.3. (1) 如果B⊆A，那么P(A∪B)＝_______，P(AB)＝_______； 0.5 【解析】 如果B⊆A，那么A∪B＝A，A∩B＝B，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.5，P(AB)＝P(B)＝0.3. 0.3 (2) 如果A，B互斥，那么P(A∪B)＝_______，P(AB)＝_____． 0.8 【解析】 如果A，B互斥，那么A∩B＝∅，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8，P(AB)＝0. 0 4．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段 能构成一个三角形的概率是______． 【解析】 5．从0～9这10个数中随机选择一个数，则这个数的平方的个位 数字为1的概率是______；这个数的四次方的个位数字为1的概率是______． 【解析】 从0～9这10个数中随机选择一个数，共有10种可能，其样本空间可表示为Ω＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}． 1．样本空间和随机事件 (1) 样本点和有限样本空间 ①样本点：随机试验E的每个可能的____________称为样本点，常用ω表示． 全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示． ②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间． (2) 随机事件 ①定义：将样本空间Ω的________称为随机事件，简称事件． ②表示：大写字母A，B，C，…. ③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件． 基本结果 聚 焦 知 识 子集 2．两个事件的关系和运算   含义 符号表示 包含关系 A发生导致B发生 ________ 相等关系 B⊇A且A⊇B ________ 并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B 交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝∅ 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ____________，___________ A⊆B A＝B A∩B＝∅ A∪B＝Ω 3．古典概型 (1) 有限性：样本空间的样本点只有__________； (2) 等可能性：每个样本点发生的可能性________． 4．古典概型的概率公式 有限个 相等 5．概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝______________． 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝__________. 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1. 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝______________________. P(A)＋P(B) 1－P(B) P(A)＋P(B)－P(A∩B) 口袋中装有3个红球和4个黑球，每个球编有不同的号码，现从中取出3个球，则互斥而不对立的事件是 (　　) A．“至少有1个红球”与“至少有1个黑球” B．“至少有1个红球”与“都是黑球” C．“至少有1个红球”与“至多有1个黑球” D．“恰有1个红球”与“恰有2个红球” 随机事件的关系与运算 举 题 说 法 1 【解析】 【答案】D 对于A，不互斥，如“取出2个红球和1个黑球”与“至少有1个黑球”不是互斥事件，所以A不符合题意； 对于B，“至少有1个红球”与“都是黑球”不能同时发生，且必有其中之一发生，所以为互斥事件，且为对立事件，所以B不符合题意； 对于C，不互斥，如“取出2个红球和1个黑球”与“至多有1个黑球”不是互斥事件，所以C不符合题意； 对于D，“恰有1个红球”与“恰有2个红球”不能同时发生，所以为互斥事件，但不对立，如“恰有3个红球”，所以D符合题意． 变式　在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是 (　　) A．A∪B与C是互斥事件，也是对立事件 B．B∪C与D是互斥事件，也是对立事件 C．A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件 D．A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件 【解析】 【答案】D A中，A∪B与C是互斥事件，但不对立，因为P(A∪B)＋P(C)＝0.7≠1，故A错误； B中，B∪C与D是互斥事件，但不对立，因为P(B∪C)＋P(D)＝0.8≠1，故B错误； C中，A∪B与C∪D是互斥事件，也是对立事件，因为P(A∪B)＋P(C∪D)＝1，故C错误； D中，A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件，因为P(A)＋P(B∪C∪D)＝1，故D正确． (1)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为(　　) 古典概型 2 A 【解析】 (2)从1至6这6个整数中随机取3个不同的整数，其中恰有两个是偶数的概率为(　　) C 2 【解析】 变式　回文数是指从左往右读与从右往左读都是一样的正整数，如323，5 445等．在所有小于200的三位回文数中任取两个数，则这两个回文数的三位数字之和均大于5的概率为 (　　) B 【解析】 某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示． 概率的基本性质 3 【解答】 设事件A＝“不派出医生”，事件B＝“派出1名医生”，事件C＝“派出2名医生”，事件D＝“派出3名医生”，事件E＝“派出4名医生”，事件F＝“派出5名或5名以上医生”，且事件A，B，C，D，E，F彼此互斥， P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.“派出医生至多2个”的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. 人数 0 1 2 3 4 大于等于5 概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04 (1) 求派出医生至多2个的概率； 某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示． 3 【解答】 方法一：“派出医生至少2个”的概率为P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74. 方法二：“派出医生至少2个”的概率为1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74. 人数 0 1 2 3 4 大于等于5 概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04 (2) 求派出医生至少2个的概率． 变式　五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为宫、商、角、徵、羽，如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这个音序中宫和羽至少有一个的概率为 (　　) B 【解析】 随 堂 练习 【解析】 【答案】C A 【解析】 3．袋中装有大小相同的2个白球和5个红球，从中任取2个球，则取到的2个球颜色相同的概率是 (　　) D 【解析】 4．某铅笔工厂有甲、乙两条生产线，甲生产线的产品次品率为10%，乙生产线的产品次品率为5%.现在某客户在该厂定制生产同一种铅笔产品，由甲、乙两条生产线同时生产，且甲生产线的产量是乙生产线产量的1.5倍．现在从这种铅笔产品中任取一件，则取到合格产品的概率为 (　　) A．0.92 B．0.08 C．0.54 D．0.38 A 【解析】 从这种铅笔产品中任取一件抽到甲生产线的产品的概率为0.6，抽到乙生产线的产品的概率是0.4，抽到甲生产线的产品中合格产品的概率P1＝0.6×(1－0.1)＝0.54，抽到乙生产线的产品中合格产品的概率P2＝0.4×(1－0.05)＝0.38，任取一件抽到合格产品的概率P＝P1＋P2＝0.54＋0.38＝0.92. 配套精练 26 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．四位爸爸A，B，C，D相约各带一名自己的小孩进行交际能力训练，其中每位爸爸都与一个别人家的小孩进行交谈，则A的小孩与D交谈的概率是 (　　) 【解析】 设A，B，C，D四位爸爸的小孩分别是a，b，c，d，则交谈组合有9种情况，分别为(Ab，Ba，Cd，Dc)，(Ab，Bd，Ca，Dc)，(Ab，Bc，Cd，Da)，(Ac，Ba，Cd，Db)，(Ac，Bd，Ca，Db)，(Ac，Bd，Cb，Da)，(Ad，Ba，Cb，Dc)，(Ad，Bc，Ca，Db)，(Ad，Bc，Cb，Da)， 【答案】A 2．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(　　) D 【解析】 3．从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是直角三角形的概率为 (　　) C 【解析】 4．某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路. 有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25.若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为(　　) A．0.34 B．0.37 C．0.42 D．0.43 C 【解析】 二、 多项选择题 5．有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件E为“只订甲报纸”，事件F为“至少订一种报纸”，事件G为“至多订一种报纸”，事件H为“不订甲报纸”，事件I为“一种报纸也不订”．下列说法正确的是(　　) A．E与G是互斥事件 B．F与I是互斥事件，且是对立事件 C．F与G不是互斥事件 D．G与I是互斥事件 【解析】 【答案】BC 对于A，E与G有可能同时发生，不是互斥事件，故A错误； 对于B，F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且是对立事件，故B正确； 对于C，F与G可以同时发生，不是互斥事件，故C正确； 对于D，G与I也可以同时发生，不是互斥事件，故D错误． 6．某中学为了能充分调动学生对学术科技的积极性，鼓励更多的学生参与到学术科技之中，提升学生的创新意识，该学校决定邀请知名教授于9月2日和9月9日到学校做两场专题讲座．学校有东、西两个礼堂，第一次讲座地点的安排不影响下一次讲座的安排，假设选择东、西两个礼堂作为讲座地点是等可能的，则下列叙述正确的是 (　　) 【解析】 【答案】ABC 三、 填空题 7．社区从甲、乙等5名同学中随机选3名参加服务工作，则甲、乙 都入选的概率为______． 【解析】 设这5名同学分别为甲，乙，1，2，3，从5名同学中随机选3名，样本空间Ω＝{(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)}，共10个样本点. 【解析】 5 9．某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品．从这批雪车中随机抽取一件雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93，抽到一等品或三等品的概率为0.85，则抽到一等品的概率为________． 0.78 【解析】 四、 解答题 10．4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作．某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1 000名中学生进行调查，统计他们每日课外阅读的时间，如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图． (1) 求频率分布直方图中a的值，并估计1 000名学生每日的平均阅读时间(同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据的平均值)； 【解答】 由(0.002 5＋0.010 0＋a＋0.015 0＋0.010 0)×20＝1，可得a＝0.012 5，这 1 000名学生每日的平均阅读时间为10×0.05＋30×0.2＋50×0.25＋70×0.3＋90×0.2＝58(min). 10．4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作．某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1 000名中学生进行调查，统计他们每日课外阅读的时间，如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图． (2) 若采用分层随机抽样的方法从样本在[60，80)，[80，100]内的学生中共抽取5人来进一步了解阅读情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求抽取的这2名学生来自不同组的概率． 【解答】 11．某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队． (1) 求A中学至少有1名学生入选代表队的概率； 【解答】 11．某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队. (2) 某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生不少于2人的概率． 【解答】 【解析】 又函数f(x)在R上有两个零点，所以当x≥0时，方程e－x＋m＝0有一个根，所以方程e－x＝－m在[0，＋∞)上有一个根，即函数y＝e－x的图象与直线y＝－m在x∈[0，＋∞)上有且只有一个交点． 作出函数y＝e－x的图象如图所示，观察图象可得0＜－m≤1， 所以－1≤m＜0，所以m的取值范围是[－1，0). 【答案】D (1) 求证：平面MAD⊥平面ABCD； 【解答】 如图，取AD的中点为O，连接OM，OB. 因为AD∩BO＝O，AD⊂平面ABCD，BO⊂平面ABCD，所以MO⊥平面ABCD.又因为MO⊂平面MAD，所以平面MAD⊥平面ABCD. 【解答】 谢谢观赏 A的小孩与D交谈包含的不同组合有3种，分别为(Ab，Bc，Cd，Da)，(Ac，Bd，Cb，Da)，(Ad，Bc，Cb，Da)，所以A的小孩与D交谈的概率是P＝＝. 13．如图，在底面为菱形的四棱锥 M-ABCD中，AD＝BD＝MB＝2，MA＝MD＝. 13．如图，在底面为菱形的四棱锥 M-ABCD中，AD＝BD＝MB＝2，MA＝MD＝. $$