2022-2024年中考数学真题知识点汇编32 阅读理解型（ 湖南专版）

2022-2024年中考数学真题知识点汇编32《阅读理解型》 湖南专版解析 知识点1 新定义阅读理解题 1．（2023娄底）从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示，（，n、m为正整数）；例如：，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023岳阳）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（2024湖南） 在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（ ） A. B. 若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C. 若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D. 若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 4. （2023张家界）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，是以点B为圆心，为半径的圆弧；是以点O为圆心，为半径的圆弧，是以点C为圆心，为半径的圆弧，是以点A为圆心，为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是_______． 5．（2023湖南）我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题： (1)若关于x的二次函数与互为“美美与共”函数，求k，m，n的值； (2)对于任意非零实数r，s，点与点始终在关于x的函数的图像上运动，函数与互为“美美与共”函数． ①求函数的图像的对称轴； ②函数的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； (3)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数与它的“美美与共”函数的图像顶点分别为点A，点B，函数的图像与x轴交于不同两点C，D，函数的图像与x轴交于不同两点E，F．当时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由． 6. （2023长沙）我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题： （1）若关于x的二次函数与互为“美美与共”函数，求k，m，n的值； （2）对于任意非零实数r，s，点与点始终在关于x的函数的图像上运动，函数与互为“美美与共”函数． ①求函数的图像的对称轴； ②函数的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； （3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数与它的“美美与共”函数的图像顶点分别为点A，点B，函数的图像与x轴交于不同两点C，D，函数的图像与x轴交于不同两点E，F．当时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由． 7. （2024长沙）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切）， 可分为四种类型，我们不妨约定： 既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形； 只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形； 只有内接圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形； 既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形． 请你根据该约定，解答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”， ①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； （ ） ②内角不等于的菱形一定是“内切型单圆”四边形； （ ） ③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有．（ ） （2）如图1，已知四边形内接于，四条边长满足：． ①该四边形是“______”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）； ②若的平分线交于点E，的平分线交于点F，连接．求证：是的直径． （3）已知四边形是“完美型双圆”四边形，它的内切圆与分别相切于点E，F，G，H． ①如图2．连接交于点P．求证：． ②如图3，连接，若，，，求内切圆的半径r及的长． 知识点2 新方法型阅读理解题 1.（2022张家界） 有一组数据：，，，，．记，则__． 2. （2023常德）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．是以O为圆心，为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当，时，__________．（结果保留一位小数） 3. （2022张家界）阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB 在中， 根据上面的材料解决下列问题： （1）如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； （2）为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 4. (2022永州）已知关于的函数． （1）若，函数的图象经过点和点，求该函数的表达式和最小值； （2）若，，时，函数的图象与轴有交点，求的取值范围． （3）阅读下面材料： 设，函数图象与轴有两个不同的交点，，若，两点均在原点左侧，探究系数，，应满足的条件，根据函数图像，思考以下三个方面： ①因为函数的图象与轴有两个不同的交点，所以； ②因为，两点在原点左侧，所以对应图象上的点在轴上方，即； ③上述两个条件还不能确保，两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需． 综上所述，系数，，应满足的条件可归纳为： 请根据上面阅读材料，类比解决下面问题： 若函数的图象在直线的右侧与轴有且只有一个交点，求的取值范围． 5．（2023张家界）阅读下面材料： 将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，． 则 例如：当，时， 根据以上材料解答下列问题： (1)当，时，______，______； (2)当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； (3)当，时，令，，，…，，且，求T的值． 知识点3 新知识型阅读题 1. （2022娄底）若，则称是以10为底的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为（ ） A. 5 B. 2 C. 1 D. 0 2．（2023张家界）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（    ）    A． B． C． D． 3．（2023娄底）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的的面积为．的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023娄底）若干个同学参加课后社团——舞蹈活动，一次排练中，先到的n个同学均匀排成一个以O点为圆心，r为半径的圆圈（每个同学对应圆周上一个点），又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移a米，再左右调整位置，使这个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．这个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须往后移 米（请用关于a的代数式表示），才能使得这个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离相等．    5. （2023株洲）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则______度． 2022-2024年中考数学真题知识点汇编32《阅读理解型》 湖南专版解析 知识点1 新定义阅读理解题 1．（2023娄底）从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示，（，n、m为正整数）；例如：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据新定义分别进行计算比较即可得解． 【详解】解：∵， ∴， A选项，， B选项，， C选项，， D选项，， 故选C． 【点睛】本题考查了新定义运算以及求代数式的值．正确理解新定义是解题的关键． 2．（2023岳阳）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“倍值点”的定义得到方程，则方程的，可得，利用对于任意的实数总成立，可得不等式的判别式小于0，解不等式可得出的取值范围． 【详解】解：由“倍值点”的定义可得：， 整理得， ∵关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点， ∴ ∵对于任意实数总成立， ∴ 整理得， ∴ ∴， ∴，或 当时，解得， 当时，此不等式组无解， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式以及二次函数与不等式的关系，理解新定义并能熟练运用是解答本题的关键． 3.（2024湖南） 在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（ ） A. B. 若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C. 若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D. 若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出a的取值范围，即可判断选项A，利用“整点”定义即可判断选项B，利用“超整点”定义即可判断选项C，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴，故选项A错误； ∵点为“整点”， ， ∴整数a为，，0，1， ∴点P的个数为4个，故选项B错误； ∴“整点”P为，，，， ∵，，， ∴“超整点”P为，故选项C正确； ∵点为“超整点”， ∴点P坐标为， ∴点P到两坐标轴的距离之和，故选项D错误， 故选：C． 4. （2023张家界）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，是以点B为圆心，为半径的圆弧；是以点O为圆心，为半径的圆弧，是以点C为圆心，为半径的圆弧，是以点A为圆心，为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】将四分之一圆孤对应的A点坐标看作顺时针旋转，再根据A、、、、的坐标找到规律即可． 【详解】解：∵，且为A点绕B点顺时针旋转所得， ∴， 又∵为点绕O点顺时针旋转所得， ∴， 又∵为点绕C点顺时针旋转所得， ∴， 由此可得出规律：为绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转，且半径为1、2、3、、n，每次增加1， 又∵， 故为以点C为圆心，半径为2022的 顺时针旋转所得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点坐标规律探索问题，通过点的变化，结合画弧的方法以及部分点的坐标探索出坐标变化的规律是解题的关键． 5．（2023湖南）我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题： (1)若关于x的二次函数与互为“美美与共”函数，求k，m，n的值； (2)对于任意非零实数r，s，点与点始终在关于x的函数的图像上运动，函数与互为“美美与共”函数． ①求函数的图像的对称轴； ②函数的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； (3)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数与它的“美美与共”函数的图像顶点分别为点A，点B，函数的图像与x轴交于不同两点C，D，函数的图像与x轴交于不同两点E，F．当时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由． 【答案】(1)k的值为，m的值为3，n的值为2 (2)①函数y2的图像的对称轴为；②函数的图像过两个定点，，理由见解析 (3)能构成正方形，此时 【分析】（1）根据题意得到即可解答； （2）①求出的对称轴，得到，表示出的解析式即可求解；②，令求解即可； （3）由题意可知，得到A、B的坐标，表示出，根据且，得到，分和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：， ∴． 答：k的值为，m的值为3，n的值为2． （2）解：①∵点与点始终在关于x的函数的图像上运动， ∴对称轴为， ∴， ∴， ∴对称轴为． 答：函数的图像的对称轴为． ②，令，解得， ∴过定点，． 答：函数y2的图像过定点，． （3）解：由题意可知，， ∴， ∴， ， ∵且， ∴； ①若，则， 要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形， 则为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；    ②若，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形， 综上，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用、正方形的性质等知识点，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题． 6. （2023长沙）我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题： （1）若关于x的二次函数与互为“美美与共”函数，求k，m，n的值； （2）对于任意非零实数r，s，点与点始终在关于x的函数的图像上运动，函数与互为“美美与共”函数． ①求函数的图像的对称轴； ②函数的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； （3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数与它的“美美与共”函数的图像顶点分别为点A，点B，函数的图像与x轴交于不同两点C，D，函数的图像与x轴交于不同两点E，F．当时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由． 【答案】（1）k的值为，m的值为3，n的值为2； （2）①函数y2的图像的对称轴为；②函数的图像过两个定点，，理由见解析； （3）能构成正方形，此时． 【解析】 【分析】（1）根据题意得到即可解答； （2）①求出的对称轴，得到，表示出的解析式即可求解；②，令求解即可； （3）由题意可知，得到A、B的坐标，表示出，根据且，得到，分和两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知：， ∴． 答：k的值为，m的值为3，n的值为2． 【小问2详解】 解：①∵点与点始终在关于x函数的图像上运动， ∴对称轴为， ∴， ∴， ∴对称轴为． 答：函数的图像的对称轴为． ②，令，解得， ∴过定点，． 答：函数y2的图像过定点，． 【小问3详解】 解：由题意可知，， ∴， ∴， ， ∵且， ∴； ①若，则， 要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形， 则为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②若，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形， 综上，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用、正方形的性质等知识点，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题． 7. （2024长沙）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切）， 可分为四种类型，我们不妨约定： 既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形； 只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形； 只有内接圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形； 既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形． 请你根据该约定，解答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”， ①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； （ ） ②内角不等于的菱形一定是“内切型单圆”四边形； （ ） ③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有．（ ） （2）如图1，已知四边形内接于，四条边长满足：． ①该四边形是“______”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）； ②若的平分线交于点E，的平分线交于点F，连接．求证：是的直径． （3）已知四边形是“完美型双圆”四边形，它的内切圆与分别相切于点E，F，G，H． ①如图2．连接交于点P．求证：． ②如图3，连接，若，，，求内切圆的半径r及的长． 【答案】（1）①×；②√；③√ （2）①外接型单圆；②见解析 （3），， 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形和切线长定理可得：有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形的对边之和相等，结合题中定义，根据对角不互补，对边之和也不相等的平行四边形无外接圆，也无内切圆，进而可判断①；根据菱形的性质可判断②；根据正方形的性质可判断③； （2）①根据已知结合题中定义可得结论； ②根据角平分线的定义和圆周角定理证明即可证得结论； （3）①连接、、、、，根据四边形是“完美型双圆”四边形，结合四边形的内角和定理可推导出，，，进而可得，，然后利用圆周角定理可推导出，即可证得结论； ②连接、、、，根据已知条件证明，进而证明得到，再利用勾股定理求得，，同理可证求解即可． 【小问1详解】 解：由题干条件可得：有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形的对边之和相等，所以 ①当平行四边形的对角不互补，对边之和也不相等时，该平行四边形无外接圆，也无内切圆， ∴该平行四边形是 “平凡型无圆”四边形，故①错误； ②∵内角不等于的菱形的对角不互补， ∴该菱形无外接圆， ∵菱形的四条边都相等， ∴该菱形的对边之和相等， ∴该菱形有内切圆， ∴内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形，故②正确； ③由题意，外接圆圆心与内切圆圆心重合的“完美型双圆”四边形是正方形，如图， 则，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴，即； 故③正确， 故答案为：①×；②√；③√； 【小问2详解】 解：①∵四边形中，， ∴四边形无内切圆，又该四边形有外接圆， ∴该四边形是“外接型单圆”四边形， 故答案为：外接型单圆； ②∵的平分线交于点E，的平分线交于点F， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即和均为半圆， ∴是的直径． 【小问3详解】 ①证明：如图，连接、、、、， ∵是四边形的内切圆， ∴，，，， ∴， 在四边形中，， 同理可证，， ∵四边形是“完美型双圆”四边形， ∴该四边形有外接圆，则， ∴，则， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图，连接、、、， ∵四边形 是“完美型双圆”四边形，它的内切圆与分别相切于点E，F，G，H， ∴∴，，，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∵，， ∴，则， 在中，由得， 解得； 在中，， ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行四边形性质、正方形的性质、菱形的性质、圆周角定理、内切圆的定义与性质、外接圆的定义与性质、相似三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、勾股定理、角平分线的判定等知识，理解题中定义，熟练掌握这些知识和灵活运用性质和判定是解题的关键．另外还要求学生具备扎实的数学基础和逻辑思维能力，备考时，重视四边形知识的学习，提高解题技巧和速度，以应对中考挑战． 知识点2 新方法型阅读理解题 1.（2022张家界） 有一组数据：，，，，．记，则__． 【答案】 【解析】 【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算． 【详解】解：； ； ； ， ， 当时， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键． 2. （2023常德）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．是以O为圆心，为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当，时，__________．（结果保留一位小数） 【答案】0.1 【解析】 【分析】由已知求得与的值，代入得弧长的近似值，利用弧长公式可求弧长的值，进而即可得解． 【详解】∵， ∴， ∵C是弦的中点，D在上，， ∴延长可得O在上， ∴， ∴， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形的弧长，掌握垂径定理。弧长公式是关键． 3. （2022张家界）阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB 在中， 根据上面的材料解决下列问题： （1）如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； （2）为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解； （2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图2，过点作于点， 在中，， 在中，， ， ； 【小问2详解】 解：如图3，过点作于点， ，， ， 在中， 又， 即， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． 4. (2022永州）已知关于的函数． （1）若，函数的图象经过点和点，求该函数的表达式和最小值； （2）若，，时，函数的图象与轴有交点，求的取值范围． （3）阅读下面材料： 设，函数图象与轴有两个不同的交点，，若，两点均在原点左侧，探究系数，，应满足的条件，根据函数图像，思考以下三个方面： ①因为函数的图象与轴有两个不同的交点，所以； ②因为，两点在原点左侧，所以对应图象上的点在轴上方，即； ③上述两个条件还不能确保，两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需． 综上所述，系数，，应满足的条件可归纳为： 请根据上面阅读材料，类比解决下面问题： 若函数的图象在直线的右侧与轴有且只有一个交点，求的取值范围． 【答案】（1）或，0 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，然后化顶点式即可求得最小值； （2）利用函数的图象与轴有交点△≥0，即可得出结论； （3）根据a＞0、a=0、a＜0，分别讨论，再利用△，x=1处函数值的正负、函数对称轴画出草图，结合图象分析即可． 【小问1详解】 根据题意，得 解之，得，所以 函数的表达式或，当时，的最小值是-8． 【小问2详解】 根据题意，得而函数的图象与轴有交点，所以所以． 【小问3详解】 函数的图象 图1： 即， 所以，的值不存在． 图2： 即值. 图3： 即 所以的值不存在 图4：即 所以的值不存在． 图5： 即 所以的值为 图6：函数与轴的交点为 所以的值为0成立． 综上所述，的取值范围是或． 【点睛】本题考查二次函数的应用．（1）中掌握待定系数法是解题关键；（2）中掌握二次函数与x轴交点个数与△的关系是解题关键；（3）中需注意分类讨论，结合图象分析更加直观． 5．（2023张家界）阅读下面材料： 将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，． 则 例如：当，时， 根据以上材料解答下列问题： (1)当，时，______，______； (2)当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； (3)当，时，令，，，…，，且，求T的值． 【答案】(1)， (2)猜想结论：，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可； （2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可； （3）结合题意利用（2）中结论求解即可． 【详解】（1）解： 当，时， 原式； 当，时， 原式； （2）猜想结论： 证明： ； （3） ． 【点睛】题目主要考查利用完全平方公式进行计算，理解题意，得出相应规律是解题关键． 知识点3 新知识型阅读题 1. （2022娄底）若，则称是以10为底的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为（ ） A. 5 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】通过阅读自定义运算规则：，再得到 再通过提取公因式后逐步进行运算即可得到答案． 【详解】解： ， 故选C 【点睛】本题考查的是自定义运算，理解题意，弄懂自定义的运算法则是解本题的关键． 2．（2023张家界）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质及弧长公式求解即可． 【详解】解：∵等边三角形的边长为3，， ∴， ∴该“莱洛三角形”的周长， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，熟练掌握等边三角形的性质和弧长公式是解题的关键． 3．（2023娄底）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的的面积为．的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用三角函数间的关系和面积相等进行变形解题即可． 【详解】解：∵，， ∴ 即， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查等式利用等式的性质解题化简，熟悉是解题的关键． 4．（2023娄底）若干个同学参加课后社团——舞蹈活动，一次排练中，先到的n个同学均匀排成一个以O点为圆心，r为半径的圆圈（每个同学对应圆周上一个点），又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移a米，再左右调整位置，使这个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．这个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须往后移 米（请用关于a的代数式表示），才能使得这个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离相等．    【答案】 【分析】由第一次操作可得：，则，设第二次操作时每位同学向后移动了x米，可得，解得，再代入化简即可． 【详解】解：由第一次操作可得：， ∴， 设第二次操作时每位同学向后移动了x米，则 ， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，分式的化简，准确的理解题意确定相等关系是解本题的关键． 5. （2023株洲）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则______度． 【答案】####． 【解析】 【分析】根据矩、宣、欘的概念计算即可． 详解】解：由题意可知， 矩， 欘宣矩， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新概念的理解，直角三角形锐角互余，角度的计算；解题的关键是新概念的理解，并正确计算． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$