6.1.2 向量的加法课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

第六章　平面向量初步 6.1.2　向量的加法 人教B版 数学 必修第二册 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.理解并掌握向量加法的概念,了解向量加法的几何意义及其运算律. 2.掌握向量加法运算法则,能熟练地进行加法运算. 3.了解有关向量模的不等式. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　向量加法的定义及求和法则 1.定义:一般地,平面上任意给定两个向量a,b,在该平面内任取一点A,作 =a, =b,作出向量 ,则向量 称为向量　　　　　　　　(也称 为向量a与b的和向量).向量a与b的和向量记作　　　　.  特别地,对于零向量与任意向量a,规定0+a=a+0=a. a与b的和 a+b 2.向量求和的法则 名师点睛 1.对向量加法的两种法则的理解 (1)当两个向量不共线时,三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的,三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.但当两个向量共线时,平行四边形法则便不再适用. (2)向量加法的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义. (3)向量a,b的模与a+b的模之间满足不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|. 2.解决向量模的问题的两种方法 (1)依据图形特点,适当运用三角形法则或平行四边形法则进行转化,要注意相关知识间的联系. (2)利用向量形式的不等式“||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|”求解时,一定要注意等号成立的条件. 过关自诊 1.[2023福建高一阶段练习]a,b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则(　　) A.a∥b,且a与b方向相同 B.a,b是共线向量且方向相反 C.a=b D.a,b无论什么关系均可 A 解析 当两个非零向量a,b不共线时,a+b的方向与a,b的方向都不相同,且|a+b|<|a|+|b|;当两个非零向量a,b同向时,a+b的方向与a,b的方向都相同,且|a+b|=|a|+|b|;当两个非零向量a,b反向且|a|<|b|时,a+b的方向与b的方向相同,且|a+b|=|b|-|a|,所以对于非零向量a,b,且|a+b|=|a|+|b|,有a∥b,且a与b方向相同.故选A. 0 3.如图,在平行四边形ABCD中, =　　　　　.  知识点2　向量加法的运算律 1.交换律:a+b=　　　　　.  2.结合律:(a+b)+c=　　　　　　.  名师点睛 对向量加法的运算律的理解 (1)向量的加法与实数加法类似,都满足交换律和结合律,当向量a,b中至少有一个为零向量时,交换律和结合律依然成立. (2)由于向量的加法满足交换律与结合律,因此多个向量的加法运算就可按照任意的次序与任意组合来进行.例如:(a+b)+(c+d)=(b+d)+(a+c), a+b+c+d+e=[d+(a+c)]+(b+e). b+a a+(b+c) 过关自诊 下列各式不一定成立的是(　　) A.a+b=b+a B.0+a=a D.|a+b|=|a|+|b| D 知识点3　多个向量相加 已知n个向量,依次把这n个向量首尾相接,以第一个向量的始点为始点,第n个向量的终点为终点的向量称为这n个向量的和. 名师点睛 对多个向量相加的理解 (1)多个向量相加是向量加法的三角形法则的推广,是由求两个向量的和推广到求多个向量的和,强调的也是“首尾相连”. (2)当首尾依次相接的向量构成封闭的向量链时, 各向量的和为0. 过关自诊 [人教A版教材习题]如图,四边形ABCD是平行四边形,点P在CD上,判断下列各式是否正确(正确的在括号内打“√”,错误的打“×”). × √ × 重难探究·能力素养全提升 探究点一　向量加法运算法则的应用 【例1】 (1)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,那么(在横线上只填上一个向量): 解析 如题图,由已知得四边形DFCB为平行四边形,由向量加法的运算法则可知 (2)①如图甲所示,求作向量a+b; ②如图乙所示,求作向量a+b+c. (方法二)平行四边形法则:如图所示, 变式探究1在例1(1)条件下,求 变式探究2在例1(1)图形中求作向量 规律方法　利用三角形法则时,要注意两向量“首尾顺次相连”,其和向量为“始点指向终点”的向量;利用平行四边形法则要注意两向量“共始点”,其和向量为共始点的“对角线”向量. 探究点二　向量加法运算律的应用 【例2】 化简下列各式: 规律方法　解决向量加法运算问题时的两个关键点 (1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算. (2)要灵活应用向量加法运算律,注意各向量的起点、终点及向量起点字母、终点字母的排列顺序,特别注意勿将0写成0. 变式训练如图,在△ABC中,O为重心,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,化简下列式子: 探究点三　求与向量的模有关的问题 【例3】 已知|a|=3,|b|=5,则向量a+b模长的最大值是　　　　　.  8 解析 ∵|a+b|≤|a|+|b|=3+5=8,当且仅当a与b同向时取得最大值, ∴|a+b|的最大值为8. 变式探究本例中a+b模长的最小值是　　　　.  2 解析 ∵|a+b|≥||a|-|b||=5-3=2,当且仅当a与b反向时取得最小值, ∴|a+b|的最小值为2. 规律方法　模的最值问题的解法 运用不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|进行求解. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 级 必备知识基础练 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.[探究点一]若向量a表示“向东航行1 km”,向量b表示“向北航行 km”,则向量a+b表示(　　) A.向东北方向航行2 km B.向北偏东30°方向航行2 km C.向北偏东60°方向航行2 km D.向东北方向航行(1+ )km B 解析 如图,易知tan α= ,所以α=30°.故a+b的方向是北偏东30°,又|a+b|=2 km,故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.[探究点一](多选题)已知D,E,F分别是△ABC三边AB,BC,CA的中点,则下列等式成立的是(　　) ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.[探究点三]若|a|=|b|=2,则|a+b|的取值范围为　　　　;当|a+b|取得最大值时,向量a,b的方向　　　　.  [0,4] 相同 解析 由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|知0≤|a+b|≤4. 当|a+b|=|a|+|b|时,两向量方向相同. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.[探究点一]如图,已知下列各组向量a,b,求作a+b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 (1)将b的起点移至a的终点,即可得a+b,如下图: (2)将b的起点移至a的终点,即可得a+b,如下图: (3)以a,b的起点为顶点作平行四边形,应用平行四边形法则可得a+b,如下图: (4)将a的起点移至b的终点,应用三角形法则可得a+b,如下图: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A.正三角形 B.锐角三角形 C.斜三角形 D.等腰直角三角形 B 级 关键能力提升练 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足 ,则下列结论正确的是(　　) A.点P在△ABC的内部 B.点P在△ABC的边AB上 C.点P在AB边所在的直线上 D.点P在△ABC的外部 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.设 ,b是任一非零向量,则在下列结论中,正确的为(　　) ①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|; A.①③ B.②③ C.③④ D.①④ A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.在平行四边形ABCD中,若 ,则四边形ABCD是　　　　　.  矩形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.在水流速度为10 km/h的河中,如果要使船以10 km/h的速度与河岸成直角横渡,求船的航行速度的大小与方向. 解 如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 级 学科素养创新练 13.正六边形ABCDEF的边长为a,有五个力 作用于同一点A,则这五个力的合力的大小为　　　　.  6a　 解析 如图,FB,CE分别交AD于点M,N, 则△FAB为等腰三角形,∠FAM=∠BAM=60°, △EAC为等边三角形且AN为∠EAC的平分线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.[北师大版教材习题]填空:(1)=　　　　;  (2)=　　　　.  　 解析 由平行四边形法则可知. C. 如图所示,(n+1)边形A0A1…An中,有 +…+=0. 运用以上结论也可以判断一个图形是不是封闭图形. (1).(　　) (2).(　　) (3).(　　) ①=　　　　　;  ②=　　　　　;  ③=　　　　　.  ①. ②. ③. 解 ①首先作向量=a,然后作向量=b,则向量=a+b,如图所示. ②(方法一)三角形法则:如图所示,首先在平面内任取一点O, 作向量=a,再作向量=b,则得向量=a+b,然后作向量=c,则向量=(a+b)+c=a+b+c即为所求. 首先在平面内任取一点O,作向量=a,=b,=c,以OA,OB为邻边作▱OADB,连接OD,则=a+b.再以OD,OC为邻边作▱ODEC,连接OE,则=a+b+c即为所求. . 解 因为BC∥DF,BD∥CF,所以四边形BCFD是平行四边形,所以. . 解 过A作AG∥DF交CF的延长线于点G, 则,作,连接,则,如图所示. 解 . 解 =0. (1); (2); (3); 解 . (4); (5)()+. 解 =0. 解 ()+. (1); (2); (3). 解 (1). (2)=()+. (3). 1.[探究点一]点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点,等于(　　) A. B. C. D.0 解析 . 故选A. A. B.=0 C. D. 解析 由向量加法的三角形法则可得,=0,由三角形的中位线性质得,四边形ADEF是平行四边形,.故B错误,ACD成立. 4.[探究点二]化简:(1)()+=　　　　; (2)=　　　　.  解析 (1)()+. (2)=0. 7.若在△ABC中,=a,=b,且|a|=|b|=1,|a+b|=,则△ABC的形状是(　　) 解析 因为||=|a|=1,||=|b|=1,||=|a+b|=,所以||2=||2+||2,所以△ABC为等腰直角三角形. 解析 ,根据向量加法的平行四边形法则,如图,则点P在△ABC外.故选D. a=()+() 解析 因为a=()+()==0,所以①③正确. 10.[2023甘肃天水高一阶段练习]在矩形ABCD中,||=2,||=4,则向量的长度为(　　) A.2 B.4 C.12 D.6 解析 因为, 所以的长度为的模的2倍. 又||==2, 所以向量的长度为4. 故选B. ||=|| 解析 由图知||=||.又||=||=||,所以||=||.又四边形ABCD为平行四边形,所以四边形ABCD为矩形. 设=10 km/h,=10 km/h. 在Rt△ABC中,||==20(km/h). 又cos∠ABC=,所以∠ABC=60°. 所以,船的航行速度大小为20 km/h,与水流的方向成120°角. 故M为FB的中点,N为EC的中点,且 ||=,||=×||=|=a, 所以||=a+a=2a. 又=2=2, 所以=2+2. 而共线同向, 故||=2||+2||+||=2×+2×a+2a=6a. $$