6.1.4 数乘向量、6.1.5 向量的线性运算课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

第六章　平面向量初步 6.1.4　数乘向量　6.1.5　向量的线性运算 人教B版 数学 必修第二册 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.了解数乘向量的概念并理解其几何意义. 2.理解并掌握数乘向量的运算律. 3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法,并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题. 4.会利用向量的加法、减法与数乘向量进行线性运算. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　数乘向量 1.数乘向量的定义 一般地,给定一个实数λ与任意一个向量a,规定它们的乘积是一个向量,记作λa,其中: (1)当λ≠0且a≠0时,λa的模为|λ||a|,而且λa的方向如下: ①当λ>0时,与a的方向　　　　;  ②当λ<0时,与a的方向　　　　.  (2)当λ=0或a=0时,λa=　　　　.  上述实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量. 相同 相反 0 2.数乘向量的定义说明,如果存在实数λ,使得b=λa,则b∥a.若 ,则A,B,C三点共线. 3.数乘向量的几何意义 数乘向量的几何意义是,把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.特别地,一个向量的相反向量可以看成-1与这个向量的乘积,即-a=(-1)a. 名师点睛 对数乘向量的理解 (1)实数与向量可以求乘积,但不能将实数和向量进行加减运算.如λ+a,λ-a均没有意义. (2)若λa=0,则λ=0或a=0. (3)对于非零向量a, 表示a方向上的单位向量. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)对于任意的向量a,总有0a=0.(　　) (2)当λ>0时,|λa|=λa.(　　) (3)若a≠0,λ≠0,则a与-λa的方向相反.(　　) × × × 2.已知向量a=-2e,b= (e为单位向量),则向量a与向量b(　　) A.不共线 B.方向相反 C.方向相同 D.|a|>|b| B 知识点2　向量的运算律 1.λ(μa)=　　　　　　　.  2.λa+μa=　　　　　　　.  3.λ(a+b)=　　　　　　　.(其中λ,μ∈R)  名师点睛 向量的运算律的理解 要清楚数乘向量与实数乘法的区别,前者的结果是一个向量,后者的结果是一个实数. (λμ)a (λ+μ)a λa+λb 过关自诊 (多选题)[2023贵州黔西高一]已知实数m,n和向量a,b,下列结论正确的是 (　　) A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na C.若ma=mb,则a=b D.若ma=na(a≠0),则m=n ABD　 解析 易知A,B正确;对于C,若ma=mb,则m(a-b)=0,所以m=0或a=b,故C错误;对于D,若ma=na(a≠0),则(m-n)a=0,所以m-n=0,即m=n,故D正确.故选ABD. 知识点3　向量的线性运算 向量的　　　　　　　　　　　　以及它们的混合运算,统称为向量的线性运算.  名师点睛 对向量的线性运算的理解 (1)已知某些向量,要化简与它们有关的向量式,其解题方法可类比初中所学的“求代数的值”,即先化简向量式,代入,再化简,求值,这样能简化解题 过程. (2)解向量的线性方程组的方法,同解代数方程组一样,进行消元,其消元方法通常为代入消元法、加减消元法. 加法、减法、数乘向量 过关自诊 1.化简 (2a+8b)-(4a-2b)]的结果是(　　) A.2a-b　　　　B.2b-a C.b-a D.a-b 2.若3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,则x=　　　　.  B 解析 原式= [(1-4)a+(4+2)b]=-a+2b.故选B. 4b-3a 解析 3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,即x+3a-4b=0,所以x=4b-3a. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　数乘向量的概念 【例1】 (1)已知非零向量a,b满足a=4b,则(　　) A.|a|=|b| B.4|a|=|b| C.a与b的方向相同 D.a与b的方向相反 C 解析 ∵a=4b,4>0, ∴|a|=4|b|. ∵4b与b的方向相同,∴a与b的方向相同. C (3)若两个非零向量a与(2x-1)a方向相同,则实数x的取值范围为　　　　　.  解析 由定义可知2x-1>0,即x> . 规律方法　经过数乘向量运算得到的向量与原来的向量是共线的,其几何意义就是把原来的向量沿着它的方向或者反方向放大或缩小. 变式训练1已知a,b是两个非零向量,判断下列各说法的正确性,并说明理由. (1)2a的方向与a的方向相同,且2a的模是a的模的2倍; (2)-2a的方向与5a的方向相反,且-2a的模是5a的模的 ; (3)-2a与2a是一对相反向量; (4)a-b与-(b-a)是一对相反向量; (5)若a,b不共线,则0a与b不共线.  解 (1)正确.∵2>0, ∴2a与a同向,且|2a|=2|a|. (2)正确.∵5>0,∴5a与a同向,且|5a|=5|a|. ∵-2<0,∴-2a与a反向,且|-2a|=2|a|. ∴-2a与5a反向,且|-2a|= |5a|. (3)正确.-2a+2a=0. (4)错误.-(b-a)=-b+a=a-b. (5)错误.0a=0,0与任意向量共线. 探究点二　向量的线性运算 【例2】 化简下列各式: (1)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a; (2)(m+n)(a-b)-(m+n)(a+b). 解 (1)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c. (2)原式=(m+n)a-(m+n)b-(m+n)a-(m+n)b=-2(m+n)b. 规律方法　数乘向量运算的方法总结 (1)数乘向量运算类似于多项式的代数运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数. (2)向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算. (2)已知向量为a,b,未知向量为x,y,向量a,b,x,y满足关系式3x-2y=a, -4x+3y=b,求向量x,y. 由①×3+②×2得,x=3a+2b,代入①得3×(3a+2b)-2y=a,解得,y=4a+3b. 所以x=3a+2b,y=4a+3b. 探究点三　用已知向量表示未知向量 D 变式探究 本例(1)中,设AC与BD相交于点O,F是线段OD的中点,AF的延长线交DC于点G,其余条件不变,试用a,b表示 规律方法　用已知向量表示未知向量的策略 用图形中的已知向量表示未知向量,应结合已知和所求,联想相关的法则和几何图形间的关系,将未知向量反复分解,直到全部可以用已知向量表示,其实质是向量线性运算的反复应用. 探究点四　三点共线问题 规律方法　用向量共线的条件证明三点共线的方法 证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 级 必备知识基础练 A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线 C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.[探究点一](多选题)设a,b都是非零向量.下列四个条件中,使 成立的条件是(　　) A.2a=b B.a∥b C.a=2b D.a∥b且|a|=|b| AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.[探究点二·2023河南高一]化简: (2a-b)-3( a+b)+2(a-2b)=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 等腰梯形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.[探究点二]已知3(2a-b+c)+x=2(-a+3b),求x(用a,b,c表示). 解 因为3(2a-b+c)+x=2(-a+3b), 所以6a-3b+3c+x=-2a+6b, 即x=-8a+9b-3c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 级 关键能力提升练 8.(多选题)已知e1,e2是不共线向量,则下列各组向量中是共线向量的是 (　　) A.a=5e1,b=7e1 B.a= e1- e2,b=3e1-2e2 C.a=e1+e2,b=3e1-3e2 D.a=e1- e2,b=3e1-e2 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一句话:三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,D为BC边的中点,下列四个结论: 其中正确的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.用向量运算刻画三角形的重心. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1)解设点D,F分别是AB,BC的中点,连接CD,AF交于点G,则G为△ABC的 重心, 延长CD到点E,使得DE=GD,连接AE,BE,BG,如图, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 级 学科素养创新练 13.已知O,A,M,B为平面上四点,且向量 (λ∈R,λ≠0,且λ≠1). (1)求证:A,B,M三点共线; (2)若点B在线段AM上,求实数λ的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 所以λ>1.即实数λ的取值范围是(1,+∞). =λ e 解析 因为a=-2e,b=e,所以a=-b,故向量a与向量b方向相反.故选B. (2)[2023山西朔州高一]已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若 -4+3=0,则等于(　　) A. B. C.3 D.2 解析 由-4+3=0,得=3(),即-=-3,所以||=3||,即=3.故选C. 变式训练2(1)化简:4a-3b+b-(6a-7b). 解原式=4a-3b+b-a+b=4-a+-3+b =a-b=a-b. 解 【例3】 (1)如图,在▱ABCD中,E是BC的中点,若=a,=b,则=(　　) A.a-b B.a+b C.a+b D.a-b 解析 =a-b. (2)如图所示,D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点,M,N分别是DE,BC的中点,已知=a,=b,试用a,b分别表示. 解 由三角形中位线定理,知DEBC,故,即a. =-a+b+a=-a+b. =-a-b+a=a-b. . 解 因为DG∥AB,所以△DFG∽△BFA, 又因为DF=OD=BD=BD,所以, 所以a+b. 【例4】 [人教A版教材例题改编]已知任意两个非零向量a,b,=a+b,=a+2b,=a+3b.求证A,B,C三点共线. 证明 因为=a+2b-(a+b)=b, =a+3b-(a+b)=2b,所以=2.因此,A,B,C三点共线. 变式训练3已知非零向量e1,e2不共线.如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3(e1-e2),求证:A,B,D三点共线. 证明 因为=e1+e2,=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5,所以共线,且有公共点B,所以A,B,D三点共线. 1.[探究点四]已知=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b),则(　　) 解析 =-2a+8b+3(a-b)=a+5b=,所以A,B,D三点共线. 2.[探究点三](多选题)在△ABC中,,记=a,=b,则下列结论正确的是(　　) A.(-a-b) B.=-b C.(b-a) D.=a+b 解析 因为=a,=b, 所以=-b-a,=-b, 所以(-a-b),b-(a+b)=(b-a). 故选AC. 解析 分别表示与a,b同向的单位向量. 对于A,当2a=b时,; 对于B,当a∥b时,可能有a=-b,此时; 对于C,当a=2b时,; 对于D,当a∥b且|a|=|b|时,可能有a=-b,此时. 结合选项,使成立的条件是a=2b,2a=b. 2a-b 解析 (2a-b)-3(a+b)+2(a-2b)=a-b-a-3b+2a-4b=2a-b. 5.[探究点一]在四边形ABCD中,=3e,=-5e,且||=||,则四边形ABCD的形状为　　　　　.  解析 由已知可得=-,所以,且||≠||.又||=||, 所以四边形ABCD为等腰梯形. 6.[探究点三]已知点P在线段AB上,且||=4||,设=λ,则实数λ=　　　　　.  解析 因为||=4||,所以P是线段AB的四等分点且靠近点A,因此 . 解析 对于A,a与b显然共线;对于B,因为b=3e1-2e2=6=6a,故a与b共线;对于C,设b=3e1-3e2=k(e1+e2),得无解,故a与b不共线;对于D,b=3=3a,所以a与b共线. 9.(多选题)[2023吉林高一校考期末]已知A,B,C是三个不同的点, =a-b,=2a-3b,=3a-5b,则下列结论正确的是(　　) A.=2 B. C.=3 D.A,B,C三点共线 解析 由题可得=a-2b,=2a-4b,=a-2b, ∴=2,故A正确;,故B正确;=2,故C错误; 由=2可得∥ ,故A,B,C三点共线,故D正确. 故选ABD. ①=2;②=0;③=2;④S△ABG=S△BCG=S△ACG, (1)已知△ABC,求一点G满足=0. (2)求证:满足条件=0的点G是△ABC的重心. 由向量加法的平行四边形法则,得=2. 因为G为△ABC的重心,所以||=2||, 故=2,所以=2=0, 所以△ABC的重心G满足题意. (2)证明 因为=0,所以=-, 以GA,GB为邻边作▱GAEB,连接GE,由向量加法的 平行四边形法则,得,所以. 设AB与GE交于点D,由平行四边形的性质可知D为 AB和GE的中点,所以=2,即G在中线CD上,且CG=2GD. 同理可证G也在其他两边的中线上,即G是三角形三条中线的交点,所以G为△ABC的重心. 12.如图,在四边形ABCD中,=2. (1)用表示; (2)若=2,用表示. 解 (1)因为, 所以. (2)因为), 所以. =λ+(1-λ) (1)证明 因为=λ+(1-λ), 所以=λ-λ=λ-λ,即=λ.又λ∈R,λ≠1,λ≠0且有公共点A,所以A,B,M三点共线. (2)解由(1)知=λ,若点B在线段AM上,则同向,且||>||(如图所示). $$