6.2.3 平面向量的坐标及其运算课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

第六章　平面向量初步 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 人教B版 数学 必修第二册 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.了解用坐标表示平面向量共线条件的推导过程,会用坐标表示的平面向量的共线条件,能用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　平面向量的坐标 1.向量垂直:平面上的两个非零向量a与b,如果它们所在的　　　　　　　,我们就称向量a与b垂直,记作　　　　.规定零向量与任意向量都垂直.  2.正交分解:如果平面向量的基底{e1,e2}中,　　　　　　　,就称这组基底为　　　　　　　;在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解.  3.向量的坐标 一般地,给定平面内两个相互垂直的单位向量e1,e2,对于平面内的向量a,如果a=xe1+ye2,则称(x,y)为向量a的坐标,记作a=(x,y).   　　　　由平面向量基本定理可知,向量的坐标是唯一的 直线互相垂直 a⊥b e1⊥e2 正交基底 名师点睛 向量的坐标的注意点 (1)向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.如果向量是以坐标原点为始点的,则向量的坐标就与其终点的坐标相同;如果向量不以坐标原点为始点,则向量的坐标就与其终点的坐标不同. (2)向量a的坐标(x,y)既能刻画向量a的模,同时也能刻画向量a的方向. (3)求向量的坐标一般转化为求点的坐标,解题时常常结合几何图形. 过关自诊 (多选题)[2023山东烟台高一]如图,已知{i,j}是一组正交基底.对于向量a,下列说法正确的是(　　) A.a可以表示为4i+3j B.a可以表示为3i+4j C.a的坐标为(4,3) D.a的坐标为(4i,3j) AC 解析 由题意知,a=(5,4)-(1,1)=(4,3)=4i+3j,a可以表示为4i+3j,故A正确;a的坐标为(4,3),故C正确.故选AC. 知识点2　平面上向量的运算与坐标的关系 1.向量加法与减法运算 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),u,v是两个实数,则 (1)ua+vb=　　　　　　　　　　;  (2)ua-vb=　　　　　　　　　　.  2.向量的模:设a=(x,y),则|a|=　　　　　　　　　　.  (ux1+vx2,uy1+vy2) (ux1-vx2,uy1-vy2) 3.平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式 设A(x1,y1),B(x2,y2)为平面直角坐标系中的两点,则 (1)两点间的距离公式:AB= =　　 　　　　　　;  (2)中点坐标公式:AB的中点坐标为　　　　　　　　.  4.向量平行的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则　　　　　　　　　　.  a∥b⇔x2y1=x1y2 名师点睛 描述两向量共线的方法 (1)几何表示法:如果a≠0,且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得b=λa.它体现了向量a与b的大小及方向之间的关系. (2)代数表示法:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则当a与b共线时,x2y1=x1y2.用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数λ,从而减少了未知数的个数,而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)两向量差的坐标与两向量的顺序无关.(　　) (2)向量(2,3)与向量(-4,-6)同向.(　　) × × 2.已知向量a= ,b=(x,1),其中x>0,若(a-2b)∥(2a+b),则x的值为(　　) 　　　　　　　　　　　　　 A.4 B.8 C.0 D.2 3.[北师大版教材习题]已知a=(2,4),b=(-1,1),求2a-3b,4a+2b的坐标. A 解 2a-3b=(4,8)-(-3,3)=(7,5); 4a+2b=(8,16)+(-2,2)=(6,18). 重难探究·能力素养全提升 探究点一　求平面向量的坐标 【例1】 [人教A版教材例题]如图,分别用基底{i,j}表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标. 所以a=(2,3). 同理,b=-2i+3j=(-2,3), c=-2i-3j=(-2,-3), d=2i-3j=(2,-3). 规律方法　求向量坐标的步骤 探究点二　平面向量的坐标运算 规律方法　平面上向量的线性运算与坐标的关系 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及数乘向量的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行. 变式训练2(1)[2023江苏盐城高一]已知点A(3,-4)与B(-1,2),点P在直线AB上,且 ,则点P的坐标为　　　　.  (1,-1) 探究点三　向量平行的坐标表示 【例3】 (1)(多选题)[2023广东清远高一]已知向量a=(1,-2),b=(-1,2),则下列结论正确的是(　　) A.a∥b B.a与b可以作为一组基底 C.a+b=0 D.b-a与a方向相反 ACD 解析 由题意,向量a=(1,-2),b=(-1,2),可得1×2-(-2)×(-1)=0,所以a∥b,故A正确,B不正确;a+b=(1-1,-2+2)=(0,0),故C正确;因为b-a=(-2,4)=-2a,所以b-a与a方向相反,故D正确.故选ACD. (2)[2023山西高一阶段练习]已知a=(1,0),b=(2,1).当k为何值时,ka+b与a+2b共线? 解 ka+b=(k+2,1),a+2b=(5,2). ∵ka+b与a+2b平行, ∴(k+2)×2-1×5=0,解得k= . 规律方法　由向量共线求参数的方法 变式训练3(1)已知向量 =(5-x,3).若A,B,C三点共线,则x的值为　　　　.  x=-19 (2)[人教A版教材习题]已知|a|=3,b=(1,2),且a∥b,求a的坐标. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A 级 必备知识基础练 1.[探究点二]已知点A(1,0),B(3,2),则 =(　　) A.(0,-1) B.(1,-1) C.(2,2) D.(-1,0) C 解析 因为A(1,0),B(3,2),所以 =(2,2).故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.[探究点三·2023山西运城高二期末]已知向量a=(3,-4),b=(λ,8),且a∥b,则|a-b|=(　　) A.15 B. C.16 D.225 A 解析 因为a∥b,所以3×8-λ(-4)=0,解得λ=-6, 所以a-b=(3,-4)-(-6,8)=(9,-12), 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.[探究点二]已知点M(4,-1),N(1,3),则 =　　　　　,与 同方向的单位向量为　　　　　.  (-3,4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.[探究点三]若A(1,2),B(a,-2),C(3,1-a)三个不同的点共线,则a=　　　　　.  -3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7.[探究点二]已知向量a=(x,2),b=(-1,1),若|a-b|=|a+b|,则x的值为　　　　　.  2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.[探究点一·北师大版教材习题]在平面内以点O的正东方向为x轴正方向,正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系.质点在平面内做直线运动,分别求下列位移向量的坐标: (1)向量a表示沿北偏东60°移动了3个单位长度; (2)向量b表示沿西北方向移动了4个单位长度; (3)向量c表示沿南偏西30°移动了3个单位长度; (4)向量d表示沿东南方向移动了4个单位长度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9.[探究点二、三]设向量a=(-1,2),b=(1,-1),c=(4,-5). (1)求|a+2b|; (2)若c=λa+μb,λ,μ∈R,求λ+μ的值; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 B 级 关键能力提升练 10.[2023重庆开州高一]已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a+3b=(　　) A.(-4,-8) B.(-8,-16) C.(4,8) D.(8,16) A 解析 ∵a∥b,∴1×m=2×(-2),∴m=-4,∴b=(-2,-4), ∴2a+3b=(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8).故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么(　　) A.k=1,且c与d同向 B.k=1,且c与d反向 C.k=-1,且c与d同向 D.k=-1,且c与d反向 D 解析 c=ka+b=(k,1),d=a-b=(1,-1), ∵c∥d,∴k=-1,c=(-1,1). ∴c与d反向.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12.(多选题)已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),则第四个顶点的坐标是(　　) A.(1,5) B.(5,-5) C.(-3,-5) D.(5,5) ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13.已知a=(1,2m-1),b=(2-m,-2),若向量a,b不共线,则实数m的取值范围为　 .  解析 ∵向量a,b不共线,∴1×(-2)≠(2m-1)(2-m),解得m≠0,且m≠ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,则m的值为　　　　　.  -2 解析 ma+4b=m(2,3)+4(-1,2)=(2m-4,3m+8),a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1). ∵向量ma+4b与a-2b共线, ∴-(2m-4)=4(3m+8),解得m=-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列问题: (1)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k; (2)设d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=1,求d. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解 (1)∵(a+kc)∥(2b-a), 又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), ∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,∴k= . (2)∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4), 又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.已知向量a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1),t∈R. (1)求|a+tb|的最小值; (2)若a-tb与c共线,求t的值.  解 (1)∵a=(-3,2),b=(2,1),∴a+tb=(2t-3,t+2), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 C 级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.已知点O(0,0),A(1,2),B(3,4), (1)若点P在第二象限,求实数t的取值范围; (2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解析 a-2b=,2a+b=(16+x,x+1),由已知(a-2b)∥(2a+b),得(16+x)=(8-2x)(x+1),即x2=16,又x>0,∴x=4. 解 由题图可知,a==2i+3j, 变式训练1如图,在平面直角坐标系xOy中,OA=4,AB=3,∠AOx=45°, ∠OAB=105°,=a,=b,四边形OABC为平行四边形. (1)求向量a,b的坐标; (2)求向量的坐标; (3)求点B的坐标. 解 (1)作AM⊥x轴于点M(图略), 则OM=OA·cos 45°=4×=2,AM=OA·sin 45°=4×=2, 所以A(2,2).故a=(2,2). 因为∠AOC=180°-105°=75°,∠AOy=45°,所以∠COy=30°. 又因为OC=AB=3,所以C-,所以=-, 即b=-. (2)由(1)知=-=-b=,-. (3)=(2,2)+-=2,2, 所以点B的坐标为2,2. 【例2】 已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且=3=2,求M,N及的坐标. 解 (方法一　待定系数法)由A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4), 可得=(-2,4)-(-3,-4)=(1,8),=(3,-1)-(-3,-4)=(6,3), 所以=3=3(1,8)=(3,24),=2=2(6,3)=(12,6). 设M(x1,y1),N(x2,y2),则=(x1+3,y1+4)=(3,24),解得x1=0,y1=20;=(x2+3,y2+4)=(12,6),解得x2=9,y2=2,所以M(0,20),N(9,2),=(9,2)-(0,20)=(9,-18). (方法二　几何意义法)设O为坐标原点,则由=3=2, 可得=3(),=2(), 从而=3-2=2, 所以=3(-2,4)-2(-3,-4)=(0,20), =2(3,-1)-(-3,-4)=(9,2),即点M(0,20),N(9,2),故=(9,2)-(0,20)=(9,-18). ||=|| 解析 ∵点P在直线AB上,且||=||,∴P为线段AB的中点. 又A(3,-4),B(-1,2),∴P(1,-1). (2)[人教A版教材习题]已知点A(1,1),B(-1,5),且=2 =-,求点C,D,E的坐标. 解 设O为坐标原点,则=(1,1),=(-2,4),=(-1,2), =2=(-4,8),=-=(1,-2). 因为=(0,3),所以点C的坐标为(0,3). 因为=(-3,9),所以点D的坐标为(-3,9). 因为=(2,-1), 所以点E的坐标为(2,-1). =(3,-4),=(6,-3), 解析 ∵=(3,-4),=(6,-3),=(5-x,3), ∴=(3,1),=(-1-x,6). ∵A,B,C三点共线,∴共线, ∴3×6=-1-x,解得x=-19. 解 设a=(x,y),则 解得 所以a=或a=-,-. 则|a-b|==15. 3.[探究点二、三](多选题)[2023江西上饶高二]已知λ,μ∈R,=(λ,1), =(-1,1),=(1,μ),那么(　　) A.=(λ-1,1-μ) B.若,则λ=2,μ= C.若A是BD中点,则B,C两点重合 D.若点B,C,D共线,则μ=1 4.[探究点三]已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1),且a∥b,若x,y为正数,则的最小值是(　　) A. B. C.16 D.8 解析 因为a∥b,所以3(y-1)=-2x,即2x+3y=3,那么(2x+3y) =(12+)≥(12+2)=8,当且仅当时,等号成立,又x,y为正数,所以解得所以原式的最小值为8.故选D. =(1-4,3+1)=(-3,4),所以与同方向的单位向量为 (-3,4)=. 解析 依题意,得=(a-1,-4),=(2,-1-a).由,得(a-1)(-1-a)=(-4)×2,所以a2=9,解得a=±3,经检验知a=-3满足题意. 解析 因为a=(x,2),b=(-1,1),所以a+b=(x-1,3),a-b=(x+1,1).因为|a-b|=|a+b|,所以有,解得x=2. 解 如图,a=, b=(-2,2), c=, d=(2,-2). (3)若=a+b,=a-2b,=4a-2b,求证:A,C,D三点共线. (1)解a+2b=(-1,2)+(2,-2)=(1,0),|a+2b|==1. (2)解(4,-5)=λ(-1,2)+μ(1,-1),所以解得所以λ+μ=2. (3)证明 因为=a+b+a-2b=2a-b,所以=4a-2b=2,所以A,C,D三点共线. 解析 设A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),第四个顶点为D,①若这个平行四边形为▱ABCD,则,∴D(-3,-5);②若这个平行四边形为▱ACDB,则,∴D(5,-5);③若这个平行四边形为▱ACBD,则,∴D(1,5).综上所述,D点坐标为(1,5)或(5,-5)或(-3,-5). (-∞,0)∪ 15.已知=(1,1),=(3,-1),=(a,b). (1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系; (2)若=2,求点C的坐标. 解 由题意知,=(2,-2),=(a-1,b-1). (1)∵A,B,C三点共线,∴, ∴2(b-1)-(-2)×(a-1)=0,∴a+b=2. (2)∵=2,∴(a-1,b-1)=2(2,-2)=(4,-4), ∴解得∴点C的坐标为(5,-3). - ∴ 解得 ∴d=或d=. ∴|a+tb|=(t∈R),∴当t=时,|a+tb|的最小值为. (2)∵a-tb=(-3-2t,2-t),c=(3,-1),a-tb与c共线,∴(-3-2t)×(-1)=3(2-t),∴t=. 18.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-x,-3-y). (1)若点A,B,C不能构成三角形,求x,y应满足的条件; (2)若=2,求x,y的值. 解 因为=(3,-4),=(6,-3),=(5-x,-3-y), 所以=(5-x,-3-y)-(3,-4)=(2-x,1-y), =(5-x,-3-y)-(6,-3)=(-1-x,-y). (1)因为点A,B,C不能构成三角形,所以共线, 所以(2-x)(-y)=(1-y)(-1-x),即x-3y+1=0, 所以x,y应满足的条件为x-3y+1=0. (2)因为=2,所以解得 +t. 解 (1)+t=(1,2)+t(2,2)=(2t+1,2t+2),由题意,得 解得-1<t<-, 即t的取值范围是. (2)四边形OABP不能成为平行四边形. 理由:若四边形OABP是平行四边形,则,而=(2,2),=(2t+1,2t+2),因此需要但此方程组无实数解,所以四边形OABP不可能是平行四边形. $$