第六章 平面向量初步章末总结提升课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

第六章　平面向量初步 章末总结提升 人教B版 数学 必修第二册 网络构建·归纳整合 专题突破·素养提升 目录索引 网络构建·归纳整合 专题突破·素养提升 专题一　平面向量基本定理的应用 1.平面向量基本定理的引入为向量的加法、减法、数乘向量提供了理论依据,利用平面向量基本定理表示向量时,要选择一组恰当的基底,常与待定系数法、方程思想紧密联系. 2.掌握平面向量基本定理的应用,提升逻辑推理素养. 规律方法　平面向量基本定理的应用 运用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决. 变式训练1如图,在△ABC中,已知AM∶AB=1∶3,AN∶AC=1∶4,BN与CM交于点E, 专题二　向量的线性运算 1.向量的线性运算是用向量解决问题的基础,其中数乘向量与三点共线、平行关系联系密切. 2.掌握向量的线性运算,提升数学运算和逻辑推理素养. ∴2(2a-3b)-3(a+2b)+ka+12b=(1+k)a=0. ∵a≠0,∴k+1=0,∴k=-1. 规律方法　平面向量的线性运算的解题策略 (1)平面向量的线性运算要注意平行四边形法则和三角形法则的运用. (2)结合平面向量基本定理解题. 专题三　向量的坐标运算 1.向量的坐标表示实际上是向量的代数表示.引入向量的坐标表示后,主要用来解决求向量的坐标、向量的模及平行问题. 2.掌握向量的坐标运算,提升数学运算素养. 规律方法　解决向量问题时,把题中的向量用坐标形式表示出来,运用坐标运算来解决是一种重要途径,必要的情况下可建立平面直角坐标系设出坐标. 变式训练3给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (1)若a=λb+μc,求λ+μ的值; (2)若向量a+kb与向量2b-c共线,求实数k的值. 解 (1)∵λb=(-λ,2λ),μc=(4μ,μ), ∴λb+μc=(-λ+4μ,2λ+μ). (2)a+kb=(3-k,2+2k),2b-c=(-6,3),a+kb与2b-c共线,即-6(2+2k)=3(3-k),解得k=- . 专题四　向量运算与三角形的重心、内心、外心 1.三角形的外心、内心、重心也是考试的热门问题,此类问题的解决需要熟练掌握外心、内心、重心的性质特征,完成其与向量形式的转化. 2.掌握三角形的外心、内心、重心,提升逻辑推理和直观想象素养. A.点Q在△GAB内 B.点Q在△GBC内 C.点Q在△GCA内 D.点Q与点G重合 A 规律方法　有关三角形ABC的重要结论 (1)重心 (2)内心 (3)外心 设O是△ABC所在平面内的一点,则O为△ABC外心的充要条件是 (即点O到三个顶点的距离相等). 变式训练4已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,若动点P满足 ,λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的　　　　　心.  内 【例1】 [2023广西玉林高一期末]如图,在长方形ABCD中,E为边DC的中点,F为边BC上一点,且.设=a,=b. (1)试用基底{a,b}表示; (2)若G为长方形ABCD内部一点,且a+b.求证:E,G,F三点共线. (1)解 =b+a, a-b. (2)证明 ∵a-b, a-b=2, ∴E,G,F三点共线. =a,=b,则=　　 　　.(用a,b表示)  a+b　 解析∵M,E,C三点共线,∴=x+(1-x)+(1-x). ∵B,E,N三点共线,∴=y+(1-y)=y(1-y). 则可得解得 ∴a+b. 【例2】 已知两个非零向量a和b不共线,=2a-3b,=a+2b, =ka+12b. (1)若2-3=0,求k的值; (2)若A,B,C三点共线,求k的值. 解 (1)∵2-3=0, (2)∵A,B,C三点共线, ∴=λ(λ∈R), ∴=λ(), ∴(k-1)a+10b=-λa+5λb. ∵a,b不共线,∴解得k=-1. 变式训练2如图,在△ABC中,,BQ与CR相交于点I,AI的延长线与边BC交于点P. (1)用分别表示; (2)如果+λ+μ,求实数λ和μ的值; (3)确定点P在边BC上的位置. 解 (1)由,可得 =-, 又,所以=-. (2)将=-=-, 代入+λ+μ, 则有+λ(-)=+μ(-),即(1-λ) +(1-μ). 所以解得 (3)设=m=n,m,n∈R. 由(2),知,所以=n=n()-+(-1)=m=m-m, 所以解得 所以, 即=2,P是边BC上靠近C的三等分点. 【例3】 已知向量=(4,3),=(-3,-1),点A(-1,-2). (1)求线段BD的中点M的坐标; (2)若点P(2,y)满足=λ(λ∈R),求y与λ的值. 解 (1)设点B的坐标为(x1,y1). ∵=(4,3),A(-1,-2),∴(x1+1,y1+2)=(4,3), ∴∴B(3,1). 同理可得D(-4,-3). 设线段BD的中点M的坐标为(x2,y2), 则x2==-,y2==-1, ∴M(-,-1). (2)由已知得=(3,1)-(2,y)=(1,1-y),=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4). 又=λ, ∴(1,1-y)=λ(-7,-4), 则 又a=λb+μc,∴解得 ∴λ+μ=. 【例4】 设P是△ABC内任意一点,S△ABC表示△ABC的面积, λ1=,λ2=,λ3=,定义f(P)=(λ1,λ2,λ3).若G是△ABC的重心,f(Q)=(),则(　　) 解析 由于G是△ABC的重心,从而f(G)=, 因此S△GBC=S△GCA=S△GAB=S△ABC. 不妨设S△ABC=1,则S△GBC=S△GCA=S△GAB=. 若点Q在△GCA内,则S△QCA<S△GCA=,与S△QCA=不符;若点Q在△GBC内,则S△QBC<S△GBC=,与S△QBC=不符,分析易知Q与G不重合.从而点Q在△GAB内,如图所示. 3(其中P为平面内任意一点,G为重心). 与之等价的关系式为 ). 向量λ()(λ≠0)所在直线过△ABC的内心(在∠BAC的平分线所在的直线上). 因为是两个单位向量,由向量加法的平行四边形法则知,由这两个向量组成的平行四边形是菱形,其对角线为角平分线. || +λ() 解析 由条件,得=λ(),即=λ(),而分别表示平行于的单位向量,故平分∠BAC,即平分∠BAC,所以点P的轨迹必过△ABC的内心. $$