6.1.1 向量的概念课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

第六章　平面向量初步 6.1.1　向量的概念 人教B版 数学 必修第二册 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.理解向量的有关概念及向量的表示方法. 2.理解共线向量、相等向量的概念. 3.正确区分向量平行与直线平行. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　向量的概念及表示 1.向量 概念 既有　　　　又有　　　　的量称为向量(也称为矢量)  表示 用　　　　　　　来直观地表示向量,其中有向线段的　　　　表示向量的大小,有向线段箭头所指的方向表示向量的方向.通常将有向线段不带箭头的端点称为向量的始点(或起点),带箭头的端点称为向量的　　　.有向线段始点和终点的相对位置确定向量的大小与方向.始点为A终点为B的有向线段表示的向量,可以用符号简记为　　　,此时向量的大小用　　　　表示  代数 表示 在印刷时,通常用加粗的斜体小写字母如a,b,c等来表示向量;在书写 时,用带箭头的小写字母如 等来表示向量 大小 方向 有向线段 长度 终点 2.标量 只有　　　　的量称为标量,长度、面积等都是标量.  名师点睛 1.向量与标量的区别:向量有方向,而标量没有方向;标量与标量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能比较大小. 2.我们学的向量是自由向量,是可以自由平移的,始点的位置可以改变,只考虑向量的大小和方向. 大小 过关自诊 1.下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度.其中不是向量的有(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 解析 ②③④⑤既有大小,又有方向,是向量;①⑥⑦只有大小,没有方向,不是向量. 2.[北师大版教材习题]在平面直角坐标系xOy中有三点A(1,0),B(-1,2), C(-2,2).请用有向线段分别表示从A到B,从B到C,从C到A的位移. 解 如图, 知识点2　与向量有关的概念 名称 定义 记法 向量的模 (或长度) 向量的　　　　称为向量的模(或长度)  |a| 零向量 　　　　和　　　　相同的向量称为零向量  0  注意书写时不要漏掉“→”  单位向量 　　　　　　　的向量称为单位向量  — 大小 始点 终点 模等于1 名称 定义 记法 相等向量 　　　　 　　　的向量称为相等的向量  a=b 向量共线 或平行 如果两个非零向量的方向　　　　　　　,则称这两个向量平行,两个向量平行也称两个向量共线  规定:零向量与任意向量　　　  a∥b 0∥a 大小相等、方向相同 相同或者相反 平行 名师点睛 1.对0、单位向量的理解 (1)若用有向线段表示零向量,则其终点与始点重合,其本质是一个点.零向量的方向不确定,不能说零向量没有方向. (2)要注意0与0的区别与联系:0是一个实数,0是一个向量,且有|0|=0;书写时 表示零向量,一定不能漏掉0上的箭头. (3)单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同. 2.对向量平行的理解 (1)向量平行(共线)时,表示向量的有向线段所在的直线平行或重合. (2)向量共线中的“共线”的含义不是平面几何中的“共线”的含义.共线向量有四种情况:方向相同模相等;方向相同模不等;方向相反模相等;方向相反模不等. (3)任一向量a都与它本身平行. 过关自诊 1.若a=b,则两向量在大小与方向上有何关系? 提示 若a=b,意味着|a|=|b|,且a与b的方向相同. 2.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同.(　　) (2)任意两个单位向量都相等.(　　) (3)若 ,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点.(　　) × × × 3.设O是正方形ABCD的中心,则向量 是(　　) A.相等的向量　　　　 B.平行的向量 C.有相同起点的向量 D.模相等的向量 D 重难探究·能力素养全提升 探究点一　向量的有关概念 【例1】 有下列说法: ①若向量a与向量b不平行,则a与b方向一定不相同;②若向量 满足 ;③若|a|=|b|,则a,b的长度相等且方向相同或相反;④由于零向量方向不确定,故其不能与任何向量平行. 其中正确说法的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 A 解析 对于①,由共线向量的定义,知两向量不平行,方向一定不相同,故①正确;对于②,因为向量不能比较大小,故②错误;对于③,由|a|=|b|,只能说明a,b的长度相等,确定不了它们的方向,故③错误;对于④,因为零向量与任一向量平行,故④错误. 规律方法　1.判断两个向量相等应从两个方面入手 (1)是否大小相等; (2)是否方向相同. 2.零向量和单位向量 (1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等. (2)两个单位向量不一定相等,因为它们的方向不一定相同. 变式训练1给出下列说法: ①两个向量,当且仅当它们的起点相同、终点也相同时才相等; ②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点,则其终点在同一个圆上; ③在菱形ABCD中,一定有 ④若a=b,b=c,则a=c. 其中所有正确说法的序号为　　　　　.  ②③④ 解析 两个向量相等只要模相等且方向相同即可,而与起点和终点的位置无关,故①不正确. 单位向量的长度为1,当所有单位向量的起点在同一点O时,终点都在以O为圆心,1为半径的圆上,故②正确. ③④显然正确.故所有正确说法的序号为②③④. 探究点二　向量的表示及应用 【例2】 (1)[人教A版教材习题]指出图中各向量的长度.(规定小方格的边长为0.5) (2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列 向量: 解 ①由于点A在点O北偏东45°处,所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等.又 ,小方格边长为1,所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点A位置可以确定,画出向量 如图所示. ②由于点B在点A正东方向,且 =4,所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点B位置可以确定,画出向量 如图所示. 规律方法　向量的两种表示方法 (1)几何表示法:先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的长度确定向量的终点. (2)字母表示法:为了便于运算可用字母a,b,c表示,为了联系平面几何中的图形性质,可用表示向量的有向线段的起点与终点的字母表示向量,如 变式训练2一架飞机从点A向西北方向飞行200 km 到达点B,再从点B向正东方向飞行100 km到达点C,再从点C向正东方向飞行100 km到达点D,求飞机从点D飞回点A的位移. 探究点三　相等向量与共线向量 【例3】 如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点,四边形BCGF是平行四边形,试分别写出与 共线及相等的非零向量. 规律方法　1.寻找相等向量要把握住向量的两要素:大小和方向,相等向量必须二者都相同才成立.同时,向量是可以平移的,相等向量的起点并不一定要相同. 2.对于非零向量,共线向量只需把握向量的方向要素,与向量的模大小无关,故寻找非零共线向量时,只需判断两向量所在的直线是否平行或重合. 变式训练3设点O为正八边形ABCDEFGH的中心, 如图,以图中字母为始点或终点,分别写出: 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 级 必备知识基础练 1.[探究点一·2023陕西西安高一阶段练习]下列说法错误的是(　　) B.长度相等的向量称为相等向量 C.向量的模可以比较大小 D.任一非零向量都可以平行移动 B 解析 易知A,C正确;长度相等且方向相同的向量称为相等向量,故B错误;向量只与长度和方向有关,与位置无关,故任一非零向量都可以平行移动,故D正确.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.[探究点三]在四边形ABCD中, ,则四边形ABCD的形状一定是(　　) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.[探究点一]若向量a与任意向量b都平行,则a=　　　　　;若|a|=1,则向量a是　　　　　.  0 单位向量 解析 由于只有零向量与任意向量平行,故a=0;由于|a|=1,即向量a的长度为1,所以向量a是单位向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.[探究点一]若a为任一非零向量,b为单位向量,下列各式: ①|a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|=±1;⑤若a0是与a同向的单位向量,则a0=b. 其中正确的是　　　　　.(填序号)  ③ 解析 由题意知,|a|≠0,|b|=1, 对①,当|a|= 时,|a|<|b|,不一定有|a|>|b|,故①错误; 对②,a与b方向不一定相同或相反,所以a与b不一定平行,故②错误; 对③,非零向量的模必大于0,即|a|>0,故③正确; 对④,向量的模非负,故④错误; 对⑤,a与b方向不一定相同,所以a0与b方向不一定相同,故⑤错误. 综上可知③正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.[探究点二]已知在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,则 =　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.[探究点三·2023江苏高一专题练习]在右图田字格中,以图中的结点为向量的起点或终点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B 级 关键能力提升练 7.(多选题)如图所示,每个小正方形的边长都是1,在其中标出了6个向量,则在这6个向量中(　　) BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8.如图,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形,若 =3,则向量 的模为　　　　　.  6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C 级 学科素养创新练 10.如图,A1,A2,…,A8是圆O上的八个等分点,则在以A1,A2,…,A8以及点O这九个点中任意两点为起点与终点的向量里,模等于圆半径的向量有多少个?模等于圆半径 倍的向量有多少个? 　 || 有向线段表示由A到B的位移;有向线段表示由B到C的位移;有向线段表示由C到A的位移. 解析 由正方形的性质知||=||=||=||. ||>||,且同向,则 ; 解 ||=2,||=2.5,||=3,||==2. ①,使||=4,点A在点O北偏东45°; ②,使||=4,点B在点A正东方向. ||=4 等. 解 如图所示,由||=100,知点C在点A的正北方向,∴||=100. 又||=100,∠ACD=90°,∴||=200. 故飞机从点D飞回点A的位移即向量,方向为南偏西60°,长度为 200 km. 解 与共线的向量:. 与相等的向量:. (1)与相等的向量; (2)与共线的所有非零向量. 解 (1). (2). A.向量与向量长度相等 ||=||,且 解析 因为,所以BA∥CD,BA=CD, 所以四边形ABCD是平行四边形. 又||=||,所以AB=AD, 所以四边形ABCD是菱形.故选C. || 2 解析 易知AC⊥BD,且∠ABD=30°,设AC与BD交于点O,则AO=AB=1.在Rt△ABO中,易得BO=,则BD=2BO=2,即||=2. (1)写出与相等的向量; (2)写出与平行的非零向量. 解 (1)与相等的向量有. (2)与平行的非零向量有. A.向量的模相等 B.||= C.向量共线 D.||+||=10 解析 对于A,因为||=,||==2,所以||≠||,所以A错误; 对于B,因为||=,所以B正确; 对于C,因为∠CDG=∠CFH=45°,所以DG∥HF,所以向量共线,所以C正确; 对于D,因为||+||==5≠10,所以D错误. 故选BC. 解析 在▱ABCD和▱ABDE中,易知,∴,∴E,D,C三点共线. ∴||=||+||=2||=6. 9.如图,△ABC和△A'B'C'是在各边的处相交的两个全等的三角形,设△ABC的边长为a,图中列出了长度均为的若干个向量,则: (1)与相等的向量有　　　　;  (2)与共线,且模相等的向量有 　　　 　.  解析 (1)由题图可知,图中列出的与相等的向量有. (2)由题图可知,图中列出的与共线,且模相等的向量有. 解 由题图可知,模等于圆半径的向量为(i=1,2,…,8),共16个; 图中两个正方形的每条边对应了2个模等于圆半径 倍的向量,故共16个模等于圆半径 倍的向量. $$