二项式定理及其应用课件-2025届高三数学一轮复习

第49讲　二项式定理及其应用 第十章　 计数原理、概率及其分布 1 1．(x－1)10的展开式的第6项的系数是 (　　) 激 活 思 维 【解析】 C 2．若二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x2项的系数为15，则n＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 C 【解析】 3．(1－2x)(x＋2)3的各项系数和为 (　　) A．－27 B．27 C．16 D．－16 A 【解析】 (1－2x)(x＋2)3＝－2x4－11x3－18x2－4x＋8，各项系数和为－2－11－18－4＋8＝－27. 4．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是 (　　) A．74 B．121 C．－74 D．－121 D 【解析】 5．在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中，含x4的项的系数是________． －15 【解析】 在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中含x4的项即从5个因式中取4个x，1个常数，所以含x4的项为－5x4－4x4－3x4－2x4－x4＝－15x4.所以展开式中，含x4的项的系数是－15. 1．二项式定理 聚 焦 知 识 k＋1 2n 2n-1 (a＋b)n的展开式中的特定项 举 题 说 法 1 【解析】 60 【解析】 9 －672 (1－x)4(1＋2y)3的展开式中xy2的系数为________(用数字作答)． (a＋b)m(c＋d)n的展开式中的特定项 2 －48 【解析】 A．－2 B．2 C．－4 D．4 【解析】 D (1) (多选)已知函数f(x)＝(1－2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6(ai∈R，i＝0，1，2，3，…，6)的定义域为R，则 (　　) A．a0＋a1＋a2＋…＋a6＝－1 B．a1＋a3＋a5＝－364 C．a1＋2a2＋3a3＋…＋6a6＝12 D．f(5)被8整除的余数为7 二项式系数的性质及系数和 3 【解析】 【答案】BC 当x＝1时，a0＋a1＋a2＋…＋a6＝(1－2)6＝1①，故A错误； f′(x)＝－12(1－2x)5＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋6a6x5，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋6a6＝－12×(1－2)5＝12，故C正确； 3 【解析】 对于C，展开式共有7项，故第4项的二项式系数最大，C正确； 对于D，令x＝1，则所有项的系数和为(1－2)6＝1，D正确． 【答案】ACD 【解析】 B 【解析】 －540 3．已知二项式(2x－a)n的展开式中只有第4项的二项式系 数最大，且展开式中x3项的系数为20，则实数a的值为________． 【解析】 4．(多选) 若(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则下列结论正确的是 (　　　) A．a0＝1 B．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2 C．a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35 D．a0－|a1|＋a2－|a3|＋a4－|a5|＝－1 ACD 【解析】 令x＝0，得a0＝15＝1，故A正确； 令x＝1，得－1＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1－a0＝－2，故B错误； 令x＝－1，得35＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，故C正确； 随 堂 练习 【解析】 C 【解析】 D 【解析】 B 4．代数式(3x＋4y)20的二项式系数之和为_______． 220 【解析】 代数式(3x＋4y)20的二项式系数之和为220. 5．(1－x＋x2)(1＋x)6的展开式中x7的系数是_____． 5 【解析】 配套精练 26 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．若(x－a)(1－3x)3的展开式的各项系数和为8，则a＝ (　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 C 【解析】 令x＝1，得(1－a)(1－3)3＝8，解得a＝2. 【解析】 A 【解析】 B 4．设(1＋2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a7＝a8，则n＝(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 D 【解析】 【解析】 BD 6．已知(x2＋x＋1)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a18x18，则下列说法正确的有 (　　) 【解析】 对于A，令x＝0，则a0＝(0＋0＋1)9＝1，A正确； 【答案】AD 对于D，因为[(x2＋x＋1)9]′＝9(x2＋x＋1)8(2x＋1)，(a0＋a1x＋a2x2＋…＋a18x18)′＝a1＋2a2x＋…＋18a18x17，所以9(x2＋x＋1)8(2x＋1)＝a1＋2a2x＋…＋18a18x17，令x＝1，则a1＋2a2＋3a3＋…＋18a18＝9×38×3＝311，D正确． 【解析】 60 【解析】 32 9．若(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋(x＋1)4，则a1＋a2＋a3＋a4＝________． －45 【解析】 令x＝1得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋24＝1，所以a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－15.令x＝0得a0＋1＝－1，所以a0＝－2，而a5＝25＝32，所以a1＋a2＋a3＋a4＝－45. 四、 解答题 10．已知在(x－2)n(n∈N*)的展开式中，第2项与第8项的二项式系数相等． (1) 求展开式中二项式系数最大的项； 【解答】 10．已知在(x－2)n(n∈N*)的展开式中，第2项与第8项的二项式系数相等． 【解答】 【解答】 【解答】 【解析】 A．最小值为8 B．最大值为8 C．最小值为4 D．最大值为4 A 【解答】 【解答】 谢谢观赏 二项式定理 (a＋b)n＝_________________________________________ (n∈N*) 二项展开式的通项公式 Tk＋1＝______________，它表示第________项 二项式系数 展开式中各项的二项式系数为C(k∈{0，1，2，…，n}) f(5)＝96＝(8＋1)6＝86＋C·85＋C·84＋…＋C·8＋1，所以f(5)被8整除的余数为1，故D错误． 11．在二项式(n∈N*)的展开式中，________，给出下列条件： ①前三项的二项式系数的和等于46；②所有偶数项的二项式系数的和为256；③第7项为常数项． 试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并完成下列问题： (2) 求展开式中的常数项． 13．已知函数f(x)＝sin2ωx＋sinωx cos ωx(ω＞0)的最小正周期为T.若＜T＜，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． $$