5.1.3 数据的直观表示课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

第五章　统计与概率 5.1.3　数据的直观表示 人教B版 数学 必修第二册 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.会形象化地表示有关数据的柱形图、折线图及扇形图,并会简单应用. 2.会列频率分布表,画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图,并会灵活应用. 3.能够利用相应的图形解决实际问题来培养逻辑推理及直观想象能力. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　柱形图、折线图与扇形图 类别 柱形图(条形图) 折线图 扇形图 特点 一般地,柱形图中,一条轴上显示的是所关注的数据类型,另一条轴上对应的是数量、个数或者比例,柱形图中每一矩形都是等宽的 用一个单位长度表示一定的数量,用折线的起伏表示数量的增减变化 用整个圆表示总体,扇形图中,每一个扇形的圆心角以及弧长,都与这一部分表示的数据大小成正比 类别 柱形图(条形图) 折线图 扇形图 作用 及选 用情 形 能清楚地表示每个项目的具体数量,便于相互比较大小 能清楚地看出数量增减变化的情况及各部分数量的多少.常用来表示随时间变化的数据,当然,也可以用在其他合适的情形中 可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况 过关自诊 某市某中学开展了爱党宣传教育活动.为了了解这次宣传活动的效果,学校从全校3 000名学生中随机抽取了部分学生进行知识测试,并将测试成绩分为A,B,C,D,E五个等级,绘制成了两幅不完整的统计图. 所抽取的学生测试等级人数的条形图 所抽取的学生测试等级人数的扇形图 (1)求本次被调查的学生人数,并补全条形图. (2)求扇形统计图中“B”所对应的扇形圆心角的度数. (3)如果测试成绩为A,B等级的均为优秀,请估计全校学生中成绩为优秀的人数. 解 (1)本次被调查的学生人数是39÷26%=150(人).D等级的人数有150-24-51-39-6=30(人),补全条形图如下. 所抽取的学生测试等级人数的条形图 知识点2　茎叶图、频数分布直方图与频率分布直方图 1.茎叶图:一般地,对于两位数茎叶图,中间的数字表示十位数,两边的数字表示个位数. 2.作频数分布直方图和频率分布直方图的步骤 (1)找出最值,计算　　　　.  (2)合理分组,确定区间. (3)整理数据. 逐个检查原始数据,统计每个区间内数的个数(称为区间对应的频数),并求出频数与数据个数的比值(称为区间对应的频率). 极差 (4)作出有关图示. 根据整理后的数据,可以作出频数分布直方图与频率分布直方图.频数分布直方图的纵坐标是　　　　　　,每一组数对应的矩形高度与频数成正比; 频率分布直方图的纵坐标是　　　　,每一组数对应的矩形高度与频率成 正比,而且每个矩形的　　　　等于这一组数对应的频率,从而可知频率分布直方图中,所有矩形的面积之和为　　.  频数 面积 1 名师点睛 茎叶图的理解应用 (1)对于样本数据较少,但较为集中的一组数据:若数据是两位整数,则将十位数字作茎,个位数字作叶;若数据是三位整数,则将百位、十位数字作茎,个位数字作叶;若样本数据是小数,则将整数部分作茎,小数部分作叶. (2)关键是找到两组数据共有的茎. 过关自诊 1.如图所示是某公司(共有员工300人)某年员工年薪情况的频率分布直方图,由此可知,员工中年薪(单位:万元)在14~16之间的共有　　　　人.  72 解析 由所给图形可知员工中年薪在14~16万元之间的频率为 1-(0.02+0.08+0.08+0.10+0.10)×2=0.24,所以员工中年薪在14~16万元之间的共有300×0.24=72(人). 2.青年歌手大奖赛共有10名选手参赛,并请了7名评委.如图所示的茎叶图是7名评委给参加最后决赛的两位选手甲、乙评定的成绩,去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙选手剩余数据的平均成绩分别为　　　　　、　　　　　.  84.2分 85分 解析 去掉一个最高分和一个最低分后, 甲:78,84,85,86,88,平均分为84.2分. 乙:84,84,84,86,87,平均分为85分. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　条形图、折线图、扇形图的应用 【例1】 某市为了了解学生的视力变化情况,从全市九年级随机抽取了1 500名学生,统计了每个人连续三年视力检查的结果,根据视力在4.9以下的人数变化制成折线统计图,并对视力下降的主要因素进行调查,制成扇形统计图. 解答下列问题: (1)图中D所在扇形的圆心角度数为　 .  (2)若2022年全市共有30 000名九年级学生,请你估计视力在4.9以下的学生约有多少名? (3)根据扇形统计图信息,你觉得中学生应该如何保护视力? 解 (1)根据题意得,360°×(1-40%-25%-20%)=54°. (2)根据题意得,30 000× =16 000(名),则估计视力在4.9以下的学生约有16 000名. (3)建议中学生应少看电视,少玩游戏,少看手机,才能保护视力. 规律方法　1.扇形统计图的特点 (1)用扇形的圆心角以及弧长都可以表示部分在总体中所占的百分比. (2)易于显示每组数据相对于总数的大小. 2.条形统计图的特点 (1)条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目. (2)易于比较数据之间的差别. 3.折线统计图的特点 (1)能清楚地反映事物的变化情况. (2)显示数据变化趋势. 变式训练1(多选题)[2023黑龙江哈尔滨高一]新中国成立以来,我国共进行了7次人口普查,这7次人口普查的城乡人口数据如图所示.根据该图数据判断,下列选项中正确的是(　　) A.乡村人口数均高于城镇人口数 B.城镇人口比重的极差是50.63% C.城镇人口数达到最高峰是第7次 D.城镇人口比重增量最大的是第6次 BC 解析 对于A,2020年,城镇人口数高于乡村人口数,故A错误;对于B,城镇人口比重的极差为63.89%-13.26%=50.63%,故B正确;对于C,城镇人口数最高峰为2020年,即第7次,故C正确;对于D,和前一次相比,第6次普查,城镇人口比重增量为49.68%-36.22%=13.46%;第7次普查,城镇人口比重增量为63.89%-49.68%=14.21%.则城镇人口比重增量最大的是第7次,故D错误.故选BC. 探究点二　茎叶图及其应用 【例2】 某中学甲、乙两名同学最近几次的数学考试成绩情况如下: 甲的得分:95,81,75,89,71,65,76,88,94,110,107; 乙的得分:83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101. 画出两人数学成绩的茎叶图,并根据茎叶图对两人的成绩进行比较. 解 甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示.从这个茎叶图上可以看出,乙同学的得分情况是大致对称的,中位数是98分;甲同学的得分情况除一个特殊得分外,也大致对称,中位数是88分,但分数分布相对于乙来说,趋向于低分段.因此乙同学发挥比较稳定,总体得分情况比甲同学好. 规律方法　茎叶图的画法 在本例中,画茎叶图时,用中间的数表示数据的十位和百位数,两边的数分别表示两组数据的个位数. 要先确定中间的数取数据的哪几位,填写数据时边读边填.比较数据时从数据分布的对称性、稳定性等几方面来比较. 变式训练2 在如图所示的茎叶图中,若甲组数据的众数为11,乙组数据的中位数为9,则x+y=(　　) A.6　　　B.5　　　 C.4　　　D.3 D 解析 由甲组数据的众数为11,得到x=1, 乙组数据中间的两个数分别为6和10+y, 所以中位数是 解得y=2,所以x+y=3. 探究点三　频率分布直方图的应用 【例3】 [2023福建龙岩高一]某次数学竞赛后,将20名同学的成绩作为样本绘制了频率分布直方图如下: (1)求频率分布直方图中a的值; (2)求20名同学成绩的平均分(同组中的数据用该组区间的中点值为代表); (3)估计数据的第一四分位数和80%分位数(精确到0.1). 解 (1)由题图可得(2a+3a+7a+6a+2a)×10=1, 解得a=0.005. (2)根据题意得, (55×2a+65×3a+75×7a+85×6a+95×2a)×10=(55×0.01+65×0.015+75×0.035+85×0.03+95×0.01)×10=76.5. (3)由图可知,[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]对应的频率分别为0.1,0.15,0.35,0.3,0.1,前两组频率之和恰为0.25,故第一四分位数为70.0. 前三组频率之和为0.6,前四组频率之和为0.9,所以80%分位数在第四组. 设80%分位数为x,则0.6+(x-80)×0.03=0.8,解得x≈86.7. 规律方法　频率分布直方图的性质 (1)因为小矩形的面积=组距× =频率,所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样,频率 分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小. (2)在频率分布直方图中,各小矩形的面积之和等于1. 变式训练3如图所示是总体的一个样本频率分布直方图,且在[15,18)内频数为8. (1)求样本在[15,18)内的频率; (2)求样本容量; (3)若在[12,15)内的小矩形面积为0.06,求在[18,33)内的频数. 解 由样本频率分布直方图可知组距为3. (3)因为在[12,15)内的小矩形面积为0.06,所以样本在[12,15)内的频率为0.06,故样本在[15,33)内的频数为50×(1-0.06)=47.又在[15,18)内频数为8,故在[18,33)内的频数为47-8=39. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 级 必备知识基础练 1.[探究点一]小李于2016年底贷款购置了一套房子,将通过10年期每月 向银行还数额相同的房贷,且截止 2021年底,他没有再购买第二套房子,下图是2017年和2021年小李的家庭收入用于各项支出的比例分配图,根据以上信息,判断下列结论中正确的是( 　) A.小李一家2021年用于饮食的支出费用与2017年相同 B.小李一家2021年用于其他方面的支出费用是2017年的3倍 C.小李一家2021年的家庭收入比2017年增加了1倍 D.小李一家2021年用于房贷的支出费用比2017年减少了 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.[探究点一·2023四川成都高一校考期末]“社保”已经走入了我们的生活,它包括养老保险、医疗保险、失业保险、工伤保险、生育保险,全年支出最重要的三项分别为养老保险、失业保险、工伤保险,下图是近五年三项社会保险基金的收支情况,下列说法中错误的是(　　) 近五年三项社会保险基金收支情况 A.三项社会保险基金在2020年以前收入为逐年递增 B.三项社会保险基金在2020年以前支出为逐年递增 C.三项社会保险基金在2016~2019年间收支并未出现“赤字”(收入低于支出) D.2020年三项社会保险基金支出合计57 580亿元,比上年增加3 088亿元,约增长6.7% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 D　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.[探究点一]如图所示是小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图,设小王与小张成绩的样本平均数分别为 ,方差分别为 ,则(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.[探究点二]一名篮球运动员在最近8场比赛中所得分数的茎叶图如图所示,则该运动员这8场比赛得分的平均数和中位数分别为(　　) A.18.5,19 B.19,19 C.19,18.5 D.18,18.5 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.[探究点三]从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图所示).由图中数据可知a=　　　　.若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为　　　　.  0.030 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.[探究点二]在如图所示的茎叶图中,甲、乙两组数据的75%分位数分别是　　　　,　　　　.  57 53 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.[探究点三]为了了解高一年级学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图所示),图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组的频数为12. (1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少? (2)若次数在110以上(含110次)为达标,则抽取学生的达标率是多少? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 (1)频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.某市将试行“3+1+2”的普通高考新模式,即除语文、数学、外语3门必选科目外,考生再从物理、历史中选1门,从化学、生物学、地理、政治中选2门作为选考科目.为了帮助学生合理选科,某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制,绘制成雷达图.甲同学的成绩 雷达图如图所示,下面叙述一定不正确的是(　　) A.甲的化学成绩领先年级平均分最多 B.甲有2个科目的成绩低于年级平均分 C.甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理 D.对甲而言,物理、化学、地理是比较理想 的一种选科结果 B 级 关键能力提升练 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.(多选题)某企业退休职工黄师傅退休前后每月各类支出占比情况如下,已知退休前工资收入为6 000元/月,退休后每月旅行的金额比退休前每月旅行的金额多450元,则下面结论中正确的是(　　) A.黄师傅退休后储蓄支出900元/月 B.黄师傅退休工资收入为5 000元/月 C.黄师傅退休后每月的衣食住支出与退休前相比未发生变化 D.黄师傅退休后的其他支出比退休前的其他支出多50元/月 BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析 根据条形图,黄师傅退休前储蓄支出:6 000×0.3=1 800元,衣食住支出:6 000×0.45=2 700元,旅行支出:6 000×0.05=300元,其他支出: 6 000×0.2=1 200元. 退休后,旅行支出为300+450=750元,退休后收入为 =5 000元, 储蓄支出:5 000×0.15=750元,衣食住支出:5 000×0.45=2 250元,其他支出:5 000×0.25=1 250元. 对照各选项,B,D正确,A,C错误. 故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.为了增强中学生诈骗预防意识,某中学随机抽取30名学生参加相关知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分的中位数为m,众数为n,平均数为 ,则m,n, 的大小关系为　　　　　　　.(用“<”连接)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.已知样本容量为200,在样本的频率分布直方图中,共有n个小矩形,若中间一个小矩形的面积等于其余(n-1)个小矩形面积和的 ,则该组的频数为　　　　　.  50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.某学校组织“数学文化”知识竞赛,分为初赛和决赛,有400名学生参加知识竞赛的初赛,满分为150分,根据初赛成绩依次分为[80,90),[90,100), [100,110),[110,120),[120,130),[130,140]这六组,得到如图所示的频率分布直方图. (1)求本次初赛成绩的平均数; (2)若计划决赛人数为80,估计 参加决赛的最低分数线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 (1)由题意有(0.005+0.010+0.020+m+0.020+0.015)×10=1,解得m=0.030. 本次初赛成绩的平均数为85×0.05+95×0.1+105×0.2+115×0.3+125×0.2+135×0.15=114.5. (2)因为1- =0.8,所以决赛成绩的最低分为80%分位数. 前四个矩形的面积之和为0.05+0.1+0.2+0.3=0.65,前五个矩形的面积之和为0.05+0.1+0.2+0.3+0.2=0.85. 设80%分位数为x(120<x<130),则0.65+(x-120)×0.02=0.8,解得x=127.5. 因此,若计划决赛人数为80,则估计参加决赛的最低分数线为127.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 级 学科素养拔高练 13.[2023四川眉山高二]某校高二(2)班的一次化学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损,可见部分如图. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1)求全班人数及全班分数的中位数; (2)补全频率分布直方图; (3)根据频率分布直方图估计该班本次测试的平均成绩.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 (1)由频率分布直方图得,[50,60)之间的频率为0.006×10=0.06. 由茎叶图知,[50,60)之间有3人,所以全班人数为3÷0.06=50. 又[60,70)有11人,[70,80)有16人,[90,100)有8人,则[80,90)有50-11-16-8-3 =12人, 显然3+11<25<3+11+16,故中位数在[70,80)之间,故中位数为 =76.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) (3)由频率分布直方图知,该班本次测试的平均成绩为0.06×55+0.22×65+0.32×75+0.24×85+0.16×95=77.2. (2)“B”所对应的扇形圆心角的度数是360°×=122.4°. (3)全校学生中成绩为优秀的人数为3 000×=1 500. =9, (3)=样本容量. (1)由样本频率分布直方图得样本在[15,18)内的频率等于×3=. (2)样本在[15,18)内频数为8,由(1)可知,样本容量为=8×=50. A. B. C. D. 解析 该运动员这8场比赛得分的平均数为=19,中位数为=18.5.故选C. 因此第二小组的频率为=0.08. 因为第二小组的频率=, 所以样本容量==150. (2)抽取学生的达标率为×100%=88%. n<m<　 解析 设除中间一个小矩形外的(n-1)个小矩形面积的和为p,则中间一个小矩形面积为p,p+p=1,p=,则中间一个小矩形的面积等于p=,200×=50,即该组的频数为50. $$