5.1.4 用样本估计总体课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

第五章　统计与概率 5.1.4　用样本估计总体 人教B版 数学 必修第二册 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.会用样本的数字特征估计总体的数字特征. 2.能用样本的分布来估计总体的分布. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　用样本的数字特征估计总体的数字特征 1.前提 样本的容量恰当,抽样方法合理. 2.必要性 (1)在容许一定误差存在的前提下,可以用样本的数字特征估计总体的数字特征,这样能节省人力和物力. (2)有时候总体的数字特征不可能获得,只能用样本的数字特征估计总体的数字特征. 3.误差 估计一般是有误差的.但是,大数定律可以保证,当样本的容量越来越大时,估计的误差很小的可能性将越来越大. 名师点睛 用样本估计总体出现误差的原因 样本抽取的方法不合适,导致代表性差;样本容量偏少等. 4.一般来说,在估计总体的数字特征时,只需直接算出　　　　对应的数字特征即可.  5.如果样本是用分层抽样得到的,由每一层的数字特征估计总体的数字特征.以分两层抽样的情况为例. 条件 假设第一层有m个数,分别为x1,x2,…,xm,平均数为 ,方差为s2;第二层有n个数,分别为y1,y2,…,yn,平均数为 ,方差为t2 结论 如果记样本均值为 ,样本方差为b2,则 =　　　　, 样本 名师点睛 1.用样本估计总体的简单理解就是以样本的平均数、方差等数字特征来估计总体的平均数、方差等数字特征,即用样本来代替总体进行研究(以小窥大). 2.样本的数字特征:最值、中位数、百分位数、平均数、方差、标准差等.最值是极端值,中位数对极端值不敏感,而平均数又受极端值左右,因此这些因素制约了仅依赖这些数字特征来估计总体数字特征的准确性. 3.在刻画样本数据的离散程度上,方差和标准差是一样的,但在解决实际问题时,一般多采用标准差.极差反映了一组数据的变化幅度,方差或标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小,描述了数据的离散程度. 4.用样本平均数和样本方差估计总体的平均数和方差可能出现误差,但大数定律可以保证,当样本容量越大时误差越小.大数定律(大数法则):大量的,在一定条件下重复的“随机现象”将呈现一定的规律和稳定性,这种稳定性即频率的稳定性和平均数的稳定性. 过关自诊 某校从400名教师中抽取20名调查其一个月使用多媒体教学的情况,这20名教师一个月使用多媒体教学的次数用茎叶图表示(如图),据此可估计该校400名教师中,一个月使用多媒体教学次数在[16,30)内的人数约为(　　) A.100　　 B.160　　 C.200　　 D.280 B 解析 由茎叶图知,样本中多媒体教学次数在[16,30)内的人数为8,频率为 =0.4,所以估计该校400名教师中,一个月使用多媒体教学次数在[16,30)内的人数约为400×0.4=160.故选B. 知识点2　用样本的分布来估计总体的分布 如果总体在每一个分组的频率记为π1,π2,…,πn,样本在每一组对应的频率记为p1,p2,…,pn,一般来说, (πi-pi)2不等于零.当样本的容量越来越大时,该式很小的可能性将越来越大. 名师点睛 1.如果样本的容量恰当,抽样方法又合理的话,样本的分布与总体分布会差不多.特别地,每一组的频率与总体对应的频率相差不会太大. 2.如果容许有一定误差,则可以用样本的分布去估计总体的分布.而且,在总体的分布不可能获得时,只能用样本的分布去估计总体的分布. 过关自诊 [2023安徽高一]一般情况下,用样本估计总体,下列说法正确的是(　　) A.样本的结果就是总体的结果 B.样本的标准差可以近似地反映总体的平均状态 C.数据的方差越大,说明数据越稳定 D.样本容量越大,估计就越精确 D 解析 对于选项A,样本的结果只能估计总体的结果,故A错误;对于选项B,标准差反映的是总体的波动大小,不能反映总体的平均状态,故B错误;对于选项C,方差越大,数据越分散,越不稳定,故C错误;对于选项D,样本估计总体分布的过程中,估计的是否准确只与样本容量在总体中所占的比例有关,样本容量越大,在总体中所占比例就越大,估计的就越精确,故D正确.故选D. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　用样本的数字特征估计总体的数字特征 【例1】 甲、乙两台包装机同时包装质量为200克的糖果,从中各抽出10袋,测得其实际质量分别如下(单位:克). 甲:203　204　202　196　199　201　205　197　202　199 乙:201　200　208　206　210　209　200　193　194　194 (1)分别计算两个样本的平均数与方差. (2)从计算结果看,哪台包装机包装的10袋糖果的平均质量更接近200克?哪台包装机包装的10袋糖果的质量比较稳定? 规律方法　研究两个样本的波动情况或比较它们的稳定性、可靠性等性能好坏的这类题,先求平均数,比较一下哪一个更接近标准.若平均数相等,则再通过比较两个样本方差的大小来作出判断.在计算过程中,要仔细观察所给样本数据的特征,选择恰当的公式来计算平均数和方差,这样可避免计算的烦琐,降低错误率. 变式训练1甲、乙两台机床同时加工直径为100 cm的零件,为检验质量,各从中抽取6件测量,数据如下(单位:cm). 甲:99　100　98　100　100　103 乙:99　100　102　99　100　100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差; (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量比较稳定. (2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同,又 ,故乙机床加工零件的质量比较稳定. 探究点二　分层抽样背景下的样本数字特征估计 【例2】 工厂为了解每个工人对某零件的日加工量,统计员分别从两车间抽取了甲、乙两人日加工量的两个样本.抽到甲的一个样本容量为10,样本平均数为5,方差为1;乙的一个样本容量为12,样本平均数为6,方差为2.现将这两组样本合在一起,求合在一起后的样本的均值与方差. 规律方法　样本是用分层抽样得到的,由每一层的数字特征估计总体的数字特征.以分两层抽样的情况为例. 探究点三　用样本的分布估计总体的分布 【例3】 [2023上海高一专题练习]为了提高思想认识,某校开展了“学史明鉴、牢记使命”知识竞赛活动,从950名参赛的学生中随机选取100人的成绩作为样本,得到如图所示的频率分布直方图. (1)现将全体参赛学生成绩编号为001~950,使用附图提供的“随机数表”从第二行的第三列开始从左往右抽,请写出前3个被抽到的样本编号; (2)试估计该校参赛学生在85分以上的人数; (3)求频率分布直方图中a的值,并估计该校此次参赛学生成绩的平均分 (同一组数据用该组区间的中点值代表). 附图: 59226000 49840128 66175168 39682927 43772366 27096623 92580956 43890890 46482834 59743458 29778149 64608925 91685307 17337298 29849526 37515923 03886191 14679054 49040040 36160806 55336993 30357068 45717397 18435701 …… 解 (1)从给到的“随机数表”中从第二行第三列开始从左往右抽,依次是580,956,438,908,其中956不在给到的成绩编号001~950的范围内,故去掉,因此,前3个被抽到样本编号为580,438,908. (2)由频率分布直方图知样本中85分以上的频率为0.1,所以估计该校参赛学生在85分以上的人数为950×0.1=95. (3)由题意可知,10×(0.005+0.025+a+0.025+0.010)=1,解得a=0.035. 因为 =50×0.05+60×0.25+70×0.35+80×0.25+90×0.1=71, 故该校此次参赛学生成绩估计的平均分为71分. 变式探究若本例条件不变,估计所有参赛学生的众数和中位数. 解 众数为70. 由频率分布直方图知,中位数落在65~75之间,设为x,则 0.05+0.25+(x-65)×0.035=0.5, 解得x≈71. 规律方法　1.利用频率分布直方图估计数字特征: (1)众数是最高的矩形的底边中点的横坐标. (2)中位数左右两侧直方图面积相等. (3) (其中pi为xi出现的频率). 2.利用频率分布直方图求众数、中位数、平均数均为估计值,与实际数据可能不一致. 变式训练2已知某人工养殖观赏鱼池塘中养殖着大量的红鲫鱼与中国金鱼.为了估计池塘中这两种鱼的数量,养殖人员从池塘中捕出了红鲫鱼与中国金鱼各1 000条,给每条鱼做上不影响其存活的记号,然后放回池塘,经过一定时间,再每次从池塘中随机捕出1 000条鱼,分类记录下其中有记号的鱼的数目,随即将它们放回池塘中.这样的记录作了10次,将记录获取的数据绘制成如下所示的茎叶图. 根据茎叶图计算有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的平均数,并估计池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数量. 解 由茎叶图可求出10次记录下的有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的平均数均为20,故认为池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数目相同,设池塘中两种鱼的总数是x,则有 ,即x= =50 000,所以,可估计池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数量均约为25 000条. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 级 必备知识基础练 1.[探究点二]某校学生的男女人数之比为2∶3,按照男女比例通过分层抽样的方法抽到一个样本,样本中男生每天运动时间的平均值为100分钟、女生为80分钟.结合此数据,估计该校全体学生每天运动时间的平均值为 (　　) A.98分钟 B.88分钟 C.90分钟 D.85分钟 B 解析 由题设,若该校男生人数为2n,则女生人数为3n, ∴该校全体学生每天运动时间的平均值为 =88分钟.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.[探究点一·2023上海闵行高一月考]甲、乙两工厂生产某种产品,抽取连续5个月的产品生产产量(单位:件)情况如下.甲:80,70,100,50,90;乙:60,70,80,55,95,则下列说法中正确的是(　　) A.甲平均产量高,甲产量稳定 B.甲平均产量高,乙产量稳定 C.乙平均产量高,甲产量稳定 D.乙平均产量高,乙产量稳定 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.[探究点三·2023浙江绍兴高一期末]如图是某学校的教研处根据调查结果绘制的本校学生每天放学后的自学时间情况的频率分布直方图.根据频率分布直方图,则自学时间的中位数和众数的估计值分别是(　　) (精确到0.01) A.2.20,2.25 B.2.29,2.20 C.2.29,2.25 D.2.25,2.25 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.[探究点三]某中学为了解学生数学课程的学习情况,在2 200名学生中随机抽取200名,并统计这200名学生的某次数学考试成绩,得到了样本的频率分布直方图(如图).根据频率分布直方图推测这2 200名学生在该次数学考试中成绩不小于80分的学生有　　　　　人.  616 解析 2 200×[(0.020+0.008)×10]=2 200×0.28=616. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.[探究点一]为了调查甲、乙两个交通站的车流量,随机选取了14天,统计每天上午8:00~12:00各自的车流量(单位:百辆),得如图所示的茎叶图,试求: (1)甲、乙两个交通站的车流量的极差分别是 多少? (2)甲交通站的车流量在[10,40]间的频率是多少? (3)甲、乙两个交通站哪个站更繁忙?并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解 (1)甲交通站的车流量的极差为73-8=65,乙交通站的车流量的极差为71-5=66. (2)甲交通站的车流量在[10,40]间的频率为 (3)甲交通站的车流量集中在茎叶图的下方,而乙交通站的车流量集中在茎叶图的上方,从数据的分布情况来看,甲交通站更繁忙. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.[探究点二]某学校为了调查高一年级学生每周的锻炼时间(单位:h),甲同学抽取了一个容量为10的样本,并算得样本的平均数为5,方差为9;乙同学抽取了一个容量为8的样本,并算得样本的平均数为6,方差为16.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本,求合在一起后的样本均值与样本方差. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解 由题意知,甲同学抽取的样本容量m=10,样本平均数为 =5,样本方差为s2=9; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 级 关键能力提升练 7.为了解我校高一年级2 300名学生对A、B、C这三部电影的观影情况,随机调查了100名在校学生,其中看过A或B的学生共有80名,看过B的学生共有60名,看过B且看过A的学生共有50名,则该校高一年级看过A的学生人数的估计值为(　　) A.1 150 B.1 380 C.1 610 D.1 860 C 解析 依题意,接受调查的100名学生中有70名看过A,故全校学生中看过A这部影片的人数约为2 300×0.7=1 610. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.为了解户籍和性别对生育多胎(二胎或三胎)选择倾向的影响,某地从育龄人群中随机抽取了样本容量为100的调查样本,其中城镇户籍与农村户籍各50人,男性60人,女性40人.绘制不同群体中倾向选择生育多胎与倾向选择不生育多胎的人数比例图(如图所示),其中阴影部分表示倾向选择生育多胎的对应比例,则下列叙述中正确的是(　　) A.是否倾向选择生育多胎与户籍无关 B.是否倾向选择生育多胎与性别有关 C.倾向选择生育多胎的人员中,男性人数与女性人数相同 D.倾向选择不生育多胎的人员中,农村户籍人数少于城镇户籍人数 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 城镇户籍倾向选择生育多胎的比例为40%,农村户籍倾向选择生育多胎的比例为80%, ∴是否倾向选择生育多胎与户籍有关,故A错误; 男性倾向选择生育多胎的比例为60%,女性倾向选择生育多胎的比例为60%, ∴是否倾向选择生育多胎与性别无关,故B错误; 男性倾向选择生育多胎的比例为60%,人数为60×60%=36, 女性倾向选择生育多胎的比例为60%,人数为40×60%=24, ∴倾向选择生育多胎的人员中,男性人数比女性人数多,故C错误; 倾向选择不生育多胎的人员中,农村户籍人数为50×(1-80%)=10人, 城镇户籍人数为50×(1-40%)=30人, ∴倾向选择不生育多胎的人员中,农村户籍人数少于城镇户籍人数,故D正确. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(多选题)某校对200名考生的数学竞赛成绩进行统计,分成[50,60),[60,70), [70,80),[80,90),[90,100]五组,得到如图所示频率直方图,则根据频率直方图,下列说法正确的是(　　) A.a=0.01 B.估计该校学生数学竞赛成绩的平均数在[70,80)内 C.该校学生数学竞赛成绩的中位数大于80 D.该校学生数学竞赛成绩不低于80分的有90人 AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 频率和10×(2a+0.02+0.025+0.035)=1,得a=0.01,故A正确; 平均数等于55×10×0.01+65×10×0.02+75×10×0.035+85×10×0.025+95×10×0.01 =75.5,故B正确; 设中位数为x,则10×0.01+10×0.02+(x-70)×0.035=0.5,解得x≈75.7,故C错误; 数学竞赛成绩大于80分的频率为(0.025+0.01)×10=0.35,200×0.35=70 人,故D错误. 故选AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.[2023湖北襄阳高一]抽样调查某地区120名教师的年龄和学历状况,情况如下饼图,则估计该地区35岁以下具有研究生学历的教师百分比为 　 　　　.  25% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 级 学科素养拔高练 11.某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图: (1)已知样本中分数在[40,50)的学生有5人,试估计总体中分数小于40的人数; (2)试估计测评成绩的75%分位数; (3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等,试估计总体中男生和女生人数的比例. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解 (1)由频率分布直方图知,分数在[50,90]的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,在样本中分数在[50,90]的人数为100×0.9=90,在样本中分数在[40,90]的人数为95人,所以分数在[40,90]的频率为0.95.所以总体中分数在[40,90]的人数约为400×0.95=380,总体中分数小于40的人数约为20. (2)测试成绩从低到高排序,占人数75%的人分数在[70,80)之间,所以估计测评成绩的75%分位数为70+10× =70+8.75=78.75. (3)由频率分布直方图知,样本中分数不小于70分的人数共有60人,由已知男女各占30人,从而样本中男生有60人,女生有40人,故总体中男生与女生的比例为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.某学校举办了一场党史竞赛活动,共有500名学生参加了此次竞赛活动.为了解本次竞赛活动的成绩,从中抽取了50名学生的得分(得分均为整数,满分为100分)进行统计,所有学生的得分都不低于60分,将这50名学生的得分进行分组,第一组[60,70),第二组[70,80),第三组[80,90),第四组[90,100](单位:分),得到如下的频率分布直方图. (1)求图中m的值,估计此次竞赛活动学生得分的中位数; (2)根据频率分布直方图,估计此次竞赛活动得分的平均值.若对得分不低于平均值的同学进行奖励,估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖(同一组数据用该区间的中点值作代表).  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解 (1)由频率分布直方图知(0.01+m+0.04+0.02)×10=1,解得m=0.03, 设此次竞赛活动学生得分的中位数为x0,因数据落在[60,80)内的频率为0.4,落在[60,90)内的频率为0.8,从而可得80<x0<90,由(x0-80)×0.04=0.1,得x0=82.5.估计此次竞赛活动学生得分的中位数为82.5. (2)由频率分布直方图及(1)知,数据落在[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的频率分别为0.1,0.3,0.4,0.2. =65×0.1+75×0.3+85×0.4+95×0.2=82, 此次竞赛活动学生得分不低于82的频率为0.2+ ×0.4=0.52,则500×0.52=260, 所以估计此次竞赛活动得分的平均值为82,在参赛的500名学生中估计有260名学生获奖. 解 (1)(3+4+2-4-1+1+5-3+2-1)+200=200.8. (1+0+8+6+10+9+0-7-6-6)+200=201.5. =7.96,=38.05. (2)∵200<, ∴甲台包装机包装的10袋糖果的平均质量更接近200克. ∵, ∴甲台包装机包装的10袋糖果的质量比较稳定. 解 (1)×(99+100+98+100+100+103)=100, ×(99+100+102+99+100+100)=100. ×[(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103-100)2]=, ×[(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100)2]=1. 解 设抽到甲的一个样本数据为x1,x2,…,x10;乙的一个样本数据为y1,y2,…,y12. 由题意知=5,方差s2=1,=6,方差t2=2, 则合在一起后的样本容量为22,记样本均值为,样本方差为b2. 样本均值为×(10×5+12×6)≈5.55, 样本方差为b2=×(10×1+12×2)+×(5-6)2≈1.79. 条件 假设第一层有m个数,分别为x1,x2,…,xm,平均数为,方差为s2;第二层有n个数,分别为y1,y2,…,yn,平均数为,方差为t2 结论 如果记样本均值为,样本方差为b2,则, b2=[(ms2+nt2)+)2] xipi . 乙同学抽取的样本容量n=8,样本平均数为=6,样本方差t2=16. 故合在一起后的样本均值为≈5.44. 样本方差为×(10×9+8×16)+×(5-6)2=×218+≈12.36. . $$