5.3.2 事件之间的关系与运算课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

第五章　统计与概率 5.3.2　事件之间的关系与运算 人教B版 数学 必修第二册 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.理解事件之间的关系与运算. 2.了解互斥事件的概率加法公式. 3.会用对立事件的特征求概率. 4.利用事件的关系将复杂事件转化为简单事件,提升转化与化归能力,培养逻辑推理、数学运算和数据分析的能力. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　事件之间的关系 事件之 间的关系 定义 表示法 图示 包含关系 一般地,如果事件A发生时,事件B一定发生,则称“A包含于B”(或“B包含A”) 　　  (或　 　)    相等关系 如果事件A发生时,事件B一定发生;而且事件B发生时,事件A也一定发生,则称“A与B相等” 　　    A⊆B　 B⊇A　 A=B 名师点睛 1.对包含关系的理解 (1)事件A也包含于事件A,即A⊆A. (2)A⊆B也可用充分必要的语言表述为:A发生是B发生的充分条件,B 发生是A发生的必要条件.如果A⊆B,则P(A)≤P(B). 2.对相等关系的理解 (1)两个相等事件总是同时发生或同时不发生. (2)A=B⇔A⊆B且B⊆A.A=B也可用充分必要的语言表述为:A发生是B发生的充要条件.如果A=B,则P(A)=P(B). 过关自诊 掷一枚硬币三次,得到如下三个事件:事件A为3次正面向上,事件B为只有1次正面向上,事件C为至少有1次正面向上.试判断A,B,C之间的包含关系. 解 当事件A发生时,事件C一定发生,当事件B发生时,事件C一定发生,因此A⊆C,B⊆C;当事件A发生时,事件B一定不发生,当事件B发生时,事件A一定不发生,因此事件A与事件B之间不存在包含关系. 综上所述,事件A,B,C之间的包含关系为A⊆C,B⊆C. 知识点2　事件的运算 1.和事件与积事件 事件 定义 表示法 图示 事件的和(并) 给定事件A,B,由__________ 　　　　　　　　　　组成的事件称为A与B的和(或并)  　　  (或　 　)    事件的积(交) 给定事件A,B,_____________ 　　　　　　　　　组成的事件称为A与B的积(或交)  　 　 (或　 　)    所有A中的 样本点与B中的样本点 A+B A∪B　 由A与B中的 公共样本点 AB A∩B 名师点睛 1.对事件的和(并)的理解 (1)按照定义可知,事件A+B发生时,当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生. (2)不难看出,A⊆(A+B)且B⊆(A+B),因此P(A)≤P(A+B)且P(B)≤P(A+B),而且,直观上可知P(A+B)与P(A)+P(B)的大小关系为P(A+B)≤P(A)+P(B). 2.对事件的积(交)的理解 (1)按照定义可知,事件AB发生时,当且仅当事件A与事件B都发生. (2)P(AB)≤P(A),P(AB)≤P(B). 2.互斥事件与对立事件 互斥 事件 定义 给定事件A,B,若事件A与B不能同时发生,则称A与B互斥 符号 AB=⌀(或A∩B=⌀) 图示   对立 事件 定义 给定样本空间Ω与事件A,则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件 表示法 A的对立事件一般记作 符号 B= ,A∩B=⌀,且A∪B=Ω 图示   3.互斥事件的概率加法公式 当A与B互斥(即AB=⌀时),有P(A+B)=P(A)+P(B). 推广:一般地,如果A1,A2,…,An是两两互斥的事件,则P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 4.对立事件公式 P(A)+P( )=1. 名师点睛 1.对互斥事件的理解 (1)任意两个基本事件都是互斥的,⌀与任意事件互斥. (2)事件A与事件B互斥包含三种情况:①事件A发生,B不发生;②事件A不发生,B发生;③事件A不发生,B也不发生.注意与事件A+B进行区别. 2.对对立事件的理解 在一次试验中,事件A和它的对立事件只能发生一个,并且必然发生一个,不可能两个都不发生或两个都发生. 3.互斥事件与对立事件的联系 (1)如果A与B相互对立,则A与B互斥,但反之不成立,即“A与B相互对立”是“A与B互斥”的充分不必要条件. (2)对立事件是特殊的互斥事件,若事件A,B是对立事件,则A+B是必然事件. 过关自诊 1.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙均属于次品,生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01.若从中抽查一件,则恰好得正品的概率为 (　　) A.0.09 B.0.96 C.0.97 D.0.98 B 解析 记事件A={甲级品},B={乙级品},C={丙级品},则A与B+C是对立事件,所以P(A)=1-P(B+C)=1-0.03-0.01=0.96.故选B. 2.[人教A版教材习题]抛掷一颗质地均匀的骰子,有如下随机事件: Ci=“点数为i”,其中i=1,2,3,4,5,6; D1=“点数不大于2”,D2=“点数大于2”,D3=“点数大于4”; E=“点数为奇数”,F=“点数为偶数”. 判断下列结论是否正确. (1)C1与C2互斥;(2)C2,C3为对立事件; (3)C3⊆D2;(4)D3⊆D2; (5)D1∪D2=Ω,D1D2=⌀; (6)D3=C5∪C6;(7)E=C1∪C3∪C5; (8)E,F为对立事件,(9)D2∪D3=D2; (10)D2∩D3=D3. 解 该试验的样本空间可表示为Ω={1,2,3,4,5,6},由题意知Ci={i},D1={1,2},D2={3,4,5,6},D3={5,6},E={1,3,5},F={2,4,6}. (1)C1={1},C2={2},满足C1∩C2=⌀,所以C1与C2互斥,故正确; (2)C2={2},C3={3},满足C2∩C3=⌀但不满足C2∪C3=Ω,所以C2,C3为互斥事件,但不是对立事件,故错误; (3)C3={3},D2={3,4,5,6},C3⊂D2,故正确; (4)正确;(5)正确; (6)C5={5},C6={6},所以C5∪C6={5,6}=D3,故正确; (7)正确; (8)因为E∩F=⌀,E∪F=Ω,所以E,F为对立事件,故正确; (9)正确;(10)正确. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　互斥事件与对立事件的判定 【例1】 已知某医院的急诊室有3名男医生和2名女医生,从中任选2名去参加培训.判断下列各对事件是不是互斥事件,是不是对立事件.并说明理由. (1)“恰有1名男医生”和“恰有2名男医生”; (2)“至少有1名男医生”和“至少有1名女医生”; (3)“至少有1名男医生”和“全是男医生”; (4)“至少有1名男医生”和“全是女医生”. 解 (1)是互斥事件,但不是对立事件. 理由:所选的2名医生中,“恰有1名男医生”实质选出的是“1名男医生和1名女医生”,它与“恰有2名男医生”不可能同时发生,所以是互斥事件,同时,不能保证其中必有一个发生,因为还可能选出“恰有2名女医生”,因此二者不对立. (2)不是互斥事件,也不是对立事件. 理由:“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”,“至少有1名女医生”包括“1名女医生和1名男医生”与“2名都是女医生”,它们共同含有“1名男医生和1名女医生”,能够同时发生,因此不互斥也不对立. (3)不是互斥事件,也不是对立事件. 理由:“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”,这与“全是男医生”能够同时发生,因此不互斥也不对立. (4)是互斥事件,也是对立事件. 理由:“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”,它与“全是女医生”不可能同时发生,但其中必有一个发生,故它们是互斥事件,“任选2名医生”包含“至少有1名男医生”“全是女医生”,故它们也是对立事件. 规律方法　互斥事件和对立事件的判定方法 (1)利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件所包含的所有结果,看它们之间能不能同时发生.在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生,可判断是否为对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义,熟知它们对事件结果的影响. (2)利用集合观点,设事件A与B所含的结果组成的集合分别为A,B. ①若事件A与B互斥,则集合A∩B=⌀; ②若事件A与B对立,则集合A∩B=⌀且A∪B=Ω. 可见两事件互斥是它们对立的必要条件. 变式训练1(多选题)[2023河北石家庄高一期末]一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各2个,一次任意取出2个小球,则与事件 “2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有(　　) A.2个小球不全为红球 B.2个小球恰有1个红球 C.2个小球至少有1个红球 D.2个小球都为绿球 BD 解析 从口袋内装有红色、绿色和蓝色小球各2个,一次任意取出2个小球,这两个球可能为2个红球、2个绿球、2个蓝球、1个红球1个蓝球、1个红球1个绿球、1个蓝球1个绿球共6种情况.对于A,事件“2个小球不全为红球”与事件“2个小球都为红球”是对立事件,故A错误;对于B,事件“2个小球恰有1个红球”与事件“2个小球都为红球”是互斥而不对立事件,故B正确;对于C,事件“2个小球至少有1个红球”与事件“2个小球都为红球”能同时发生,不是互斥事件,故C错误;对于D,事件“2个小球都为绿球”与事件“2个小球都为红球”是互斥而不对立事件,故D正确.故选BD. 探究点二　事件的关系及运算 【例2】 [北师大版教材习题]在试验“甲、乙、丙三人各射击1次,观察中靶的情况”中,事件A表示随机事件“甲中靶”,事件B表示随机事件“乙中靶”,事件C表示随机事件“丙中靶”,试用A,B,C的运算表示下列随机事件: (1)甲未中靶; (2)甲中靶而乙未中靶; (3)三人中只有丙未中靶; (4)三人中至少有一人中靶; (5)三人中恰有两人中靶. (4)三人中至少有一人中靶:A∪B∪C. 规律方法　事件运算应注意的2个问题 (1)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用维恩图或列出全部的试验结果进行分析. (2)在一些比较简单的题目中,需要判断事件之间的关系时,可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目,就得严格按照事件之间关系的定义来推理. 变式训练2[北师大版教材习题]设某人向一个目标连续射击3次,用事件Ai表示随机事件“第i次射击命中目标”(i=1,2,3),指出下列事件的含义: 解 (1)A1∩A2表示第1次射击与第2次射击都击中目标. 探究点三　互斥事件、对立事件的概率 角度1　互斥事件的概率 【例3】 在数学考试中,小明的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18,在80~89分的概率是0.51,在70~79分的概率是0.15,在60~69分的概率是0.09,计算小明在数学考试中取得80分以上(含80分)成绩的概率和小明考试及格(60分及60分以上)的概率. 解 分别记小明的考试成绩在90分以上(含90分),在80~89分,在70~79分,在60~69分为事件B,C,D,E,这四个事件是彼此互斥的. 根据互斥事件的概率的加法公式,小明的考试成绩在80分以上(含80分)的概率是P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69. 小明考试及格的概率为P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93. 变式探究请求出小明在数学考试中取得70分以下(不含70分)成绩的概率. 解 小明在数学考试中取得70分以下成绩的概率P=1-P(B)-P(C)-P(D) =1-0.18-0.51-0.15=0.16. 规律方法　1.当一个事件包含几种情况时,可把事件转化为几个互斥事件的并事件,再利用互斥事件的概率加法公式计算. 2.使用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)时,必须先判定A,B是互斥事件. 角度2　对立事件的概率 【例4】 [2023江苏高一专题练习]甲、乙两人对局,甲获胜的概率为0.30,成平局的概率为0.25,求: (1)甲不输的概率; (2)乙不输的概率. 解 (1)甲不输即为甲胜或成平局,记甲胜为事件A,平局为事件B. 因为A∩B=⌀,所以A与B互斥, 则P(A+B)=P(A)+P(B)=0.30+0.25=0.55, 故甲不输的概率为0.55. (2)因为甲胜即乙输, 所以甲获胜与乙不输互为对立事件, 则乙不输的概率P=1-P(A)=1-0.3=0.7. 规律方法　求对立事件概率的关注点 当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时,常常考虑其反面,通过求对立面,然后转化为所求问题. 变式训练3从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛,所选3人中至少有1名女生的概率为 ,那么所选3人中都是男生的概率为　　　　.  解析 记事件A:3人中至少有1名女生,事件B:3人都为男生,则A,B为对立事件,所以P(B)=1-P(A)= . 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A 级 必备知识基础练 1.[探究点一]某人打靶时连续射击两次,下列事件中与事件“只有一次中靶”互斥而不对立的是(　　) A.至少一次中靶 B.至多一次中靶 C.至多两次中靶 D.两次都中靶 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2.[探究点二](多选题)[2023山东淄博高一校考期末]对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A=“两次都击中飞机”,B=“两次都没击中飞机”,C=“恰有一枚炮弹击中飞机”,D=“至少有一枚炮弹击中飞机”,下列关系正确的是(　 　) A.A⊆D B.B∩D=⌀ C.A∪C=D D.A∪B=B∪D ABC 解析 “恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中,第二枚没中或第一枚没中,第二枚击中,“至少有一枚炮弹击中”包含两种情况:恰有一枚炮弹击中,两枚炮弹都击中. 故A⊆D,A∪C=D.故A,C正确. 因为事件B,D为互斥事件,所以B∩D=⌀.故B正确. A∪B=“两个飞机都击中或者都没击中”,B∪D为必然事件,这两者不相等.故D错误. 故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.[探究点三]若同时抛掷两枚骰子,既不出现5点也不出现6点的概率为 ,则5点或6点至少出现一个的概率是　　　　　.  解析 因为同时抛掷两枚骰子,“既不出现5点也不出现6点”和“5点或6点至少出现一个”是对立事件,所以5点或6点至少出现一个的概率是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.[探究点三]玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个,从中任取1球,设事件A为“取出1个红球”,事件B为“取出1个黑球”,事件C为“取出1个白球”,事件D为“取出1个绿球”.已知 (1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率; (2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解 (方法一)(1)因为事件A,B,C,D彼此为互斥事件, 所以“取出1个球为红球或黑球”的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)= (2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为 (方法二)(1)“取出1个球为红球或黑球”的对立事件为“取出1个球为白球或绿球”,即A+B的对立事件为C+D,所以P(A+B)=1-P(C+D)=1-P(C)-P(D) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1个球为绿球”,即A+B+C的对立事件为D, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B 级 关键能力提升练 5.从一批羽毛球中任取一个,如果其质量小于4.8 g的概率是0.3,质量不小于4.85 g的概率是0.32,那么质量在[4.8,4.85)范围内的概率是(　　) A.0.62 B.0.38 C.0.7 D.0.68 B 解析 记“羽毛球质量小于4.8 g”为事件A,“羽毛球质量不小于4.85 g”为事件B,“羽毛球质量不小于4.8 g,小于4.85 g”为事件C,易知三个事件彼此互斥,且三个事件的和事件为必然事件,所以P(C)=1-0.3-0.32=0.38.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.若某群体中的成员只用非现金支付的概率为0.4,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则只用现金支付的概率为(　　) A.0.25 B.0.35 C.0.45 D.0.55 C 解析 设事件A:只用现金支付;事件B:既用现金支付也用非现金支付;事件C:只用非现金支付,则P(A)+P(B)+P(C)=1. 又由条件有P(C)=0.4,P(B)=0.15,所以P(A)=1-P(C)-P(B)=1-0.4-0.15=0.45.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8.甲射击一次,中靶的概率是P1,乙射击一次,中靶的概率是P2,已知 是方程x2-5x+6=0的实数根,且P1满足方程x2-x+ =0.则甲射击一次,不中靶的 概率为　　　　　;乙射击一次,不中靶的概率为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9.某医院一天要派出医生下乡义诊,派出的医生人数及其概率如下表所示: 人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04 (1)求派出医生至多2人的概率; (2)求派出医生至少2人的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解 设“不派出医生”为事件A,“派出1名医生”为事件B,“派出2名医生”为事件C,“派出3名医生”为事件D,“派出4名医生”为事件E,“派出5名及5名以上医生”为事件F,事件A,B,C,D,E,F彼此互斥,且P(A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3,P(D)=0.2,P(E)=0.2,P(F)=0.04. (1)“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56. (2)(方法一)“派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)=P(C)+P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74. (方法二)“派出医生至少2人”的概率为1-P(A∪B)=1-0.1-0.16=0.74. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.据统计,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.3,1位车主只购买一种保险. (1)求该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种的概率; (2)求该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解 (1)记A表示事件“该地的1位车主购买甲种保险”; B表示事件“该地的1位车主购买乙种保险”; C表示事件“该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种”; 则P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A∪B, 所以P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.8. (2)设D表示事件“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”,则D= , 故P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C 级 学科素养拔高练 11.某服务电话,打进的电话响第1声时被接的概率是0.1;响第2声时被接的概率是0.2;响第3声时被接的概率是0.3;响第4声时被接的概率是0.35. (1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少? (2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少? 解 (1)设事件“电话响第k声时被接”为Ak(k∈N+), 那么事件Ak彼此互斥,设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A. 根据互斥事件概率加法公式,得P(A)=P(A1∪A2∪A3∪A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.1+0.2+0.3+0.35 =0.95. (2)事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件,记为 . 根据对立事件的概率公式,得P( )=1-P(A)=1-0.95=0.05. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解 (1)甲未中靶:. (2)甲中靶而乙未中靶:A∩,即A. (3)三人中只有丙未中靶:A∩B∩,即AB. (5)三人中恰有两人中靶:(AB)∪(AC)∪(BC). (1)A1∩A2;(2)A1∩A2∩; (3);(4). (2)A1∩A2∩表示第1次射击与第2次射击都击中目标,但第3次射击未击中目标. (3)表示第1次射击与第2次射击都未击中目标. (4)表示三次射击都未击中目标. P=1-. P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=. . P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=. =1-,即“取出1个球为红球或黑球”的概率为. 所以P(A+B+C)=1-P(D)=1-, 即“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为. 7.已知事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,且P(A)=2P(B),则P()=　　　　　.  解析 ∵事件A,B互斥,且P(A)=2P(B),它们都不发生的概率为, ∴1-P(A)-P(B)=1-2P(B)-P(B)=,∴P(B)=, ∴P(A)=2P(B)=, ∴P()=1-P(A)=1-. 解析 由P1满足方程x2-x+=0,解得P1=. 因为是方程x2-5x+6=0的根,所以=6,所以P2=, 因此甲射击一次,不中靶的概率为1-, 乙射击一次,不中靶的概率为1-. $$