5.3.3 古典概型课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

第五章　统计与概率 5.3.3　古典概型 人教B版 数学 必修第二册 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.理解古典概型及其概率计算公式. 2.会计算一些随机事件所含的样本点个数及事件发生的概率. 3.通过古典概型概率的计算提升数学运算与数学建模的素养. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　古典概型 古典概型的定义:一般地,如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是 　　　　　　(简称为有限性),而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的　　　 　　　　(简称为等可能性),则称这样的随机试验为古典概率模型,简称为古典概型.  名师点睛 古典概型的判断标准 一个试验是否能归结为古典概型,在于这个试验是否具备古典概型的两个特征:有限性和等可能性,并不是所有试验都能归结为古典概型. 有限的 可能性大小都相等 过关自诊 下列对古典概型的说法,正确的是(　　) ①试验中所有可能出现的样本点只有有限个;②每个事件发生的可能性相等;③每个基本事件发生的可能性相等;④求用抽签法从含有3件次品7件正品的10件产品中任取一件为正品的概率为古典概型问题.　　　　　　　　　　 A.②④ B.①③④ C.①④ D.③④ B 解析 根据古典概型的特点,即有限性与等可能性逐个分析即可. 知识点2　古典概型的概率公式 古典概型中,事件发生的概率可以通过下述方式得到:假设样本空间含有n个样本点,由古典概型的定义可知,每个基本事件发生的可能性大小都相等,又因为必然事件发生的概率为1,所以由互斥事件的概率加法公式可知每个基本事件发生的概率均为 .此时,如果事件C包含有m个样本点,则再由 互斥事件的概率加法公式可知P(C)=　　　　.  名师点睛 古典概型的概率求解步骤 过关自诊 [北师大版教材习题]从一副扑克牌(去掉大、小王,共52张)中随机选取1张,试求下列事件的概率: (1)这张牌是A; (2)这张牌是红色A; (3)这张牌是K,Q或J; (4)这张牌是草花. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　古典概型的判断 【例1】 某同学随机地向一靶子进行射击,这一试验的结果只有有限个:命中10环、命中9环……命中5环和不中靶.你认为这是古典概型吗?为什么? 解 不是古典概型,因为虽然试验的所有可能结果只有7个,但命中10环、命中9环……命中5环和不中靶的出现没有规定是等可能的,即不满足古典概型的第二个条件. 规律方法　只有同时满足有限性和等可能性这两个条件的试验才是古典概型,这两个条件只要有一个不满足就不是古典概型. 变式训练1从所有整数中任取一个数的试验是古典概型吗? 解 不是,因为有无数个样本点. 探究点二　古典概型的概率计算 【例2】 [人教A版教材例题]抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果. (1)写出这个试验的样本空间,并判断这个试验是否为古典概型; (2)求下列事件的概率: A=“两个点数之和是5”; B=“两个点数相等”; C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”. 解 (1)抛掷一枚骰子有6种等可能的结果,Ⅰ号骰子的每一个结果都可与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对,组成掷两枚骰子试验的一个结果. 用数字m表示Ⅰ号骰子出现的点数,数字n表示Ⅱ号骰子出现的点数,则数组(m,n)表示这个试验的一个样本点. 因此该试验的样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}},其中共有36个样本点. 因为骰子的质地均匀,所以各个样本点出现的可能性相等,因此这个试验是古典概型. 规律方法　求古典概型的概率,关键是正确列出样本点,常见方法有列举法、列表法和树形图法,具体应用时可根据需要灵活选择,在列出样本点后最好检验一下各样本点出现的概率是否相同.根据事件C包含的样本点个数m及试验的样本点总个数n,利用公式P(C) = 求出事件C发生的概率. 【例3】 袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2;现从袋中任取两张卡片. (1)若把所取卡片的所有不同情况作为样本点,则共有多少个样本点?是古典概型吗? (2)若把所取出卡片的标号之和作为样本点,则共有多少个样本点?是古典概型吗? (3)求所取卡片标号之和小于4的概率. 解 (1)样本空间为Ω1={(红1,红2),(红1,红3),(红1,蓝1),(红1,蓝2),(红2,红3), (红2,蓝1),(红2,蓝2),(红3,蓝1),(红3,蓝2),(蓝1,蓝2)},共10个样本点,因为样本点个数有限,且每个基本事件发生的可能性相等,所以是古典概型. (2)由(1)知,样本空间Ω2={2,3,4,5},且每个基本事件发生的可能性不同,不是古典概型. (3)设A表示所取两张卡片标号之和小于4,由(1)知,A={(红1,红2),(红1,蓝1), (红1,蓝2),(红2,蓝1),(蓝1,蓝2)},共包含5个样本点,由古典概型概率公式得, 规律方法　解决古典概型综合问题的两个关键点 (1)审读题干:对于实际问题要认真读题,深入理解题意,计算样本点总数要做到不重不漏,这是解决古典概型问题的关键. (2)编号:分析实际问题时,往往对要研究的对象进行编号或者用字母代替,使复杂的实际意义变为简单的数字和字母,方便寻找对象间的关系,这是解决古典概型的问题时主要的解题技巧. 变式训练2有A,B,C,D四位贵宾,应分别坐在a,b,c,d四个席位上,现在这四人均未留意,在四个席位上随便就座. (1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率; (2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率; (3)求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率. 解 将A,B,C,D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来: 如图所示,样本空间包含的样本点共有24个, (1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”,则事件A只包含1个样本点,所以P(A)= . (2)设事件B为“这四人恰好都没坐在自己席位上”,则事件B包含9个样本点,所以 (3)设事件C为“这四人恰好有1位坐在自己席位上”,则事件C包含8个样本点,所以 探究点三　有放回抽取和无放回抽取的概率 【例4】 [人教A版教材例题]从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人. (1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间. (2)在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率. 解 设第一次抽取的人记为x1,第二次抽取的人记为x2,则可用数组(x1,x2)表示样本点. (1)根据相应的抽样方法可知:有放回简单随机抽样的样本空间Ω1={(B1,B1),(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1), (G1,B2),(G1,G1),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1),(G2,G2)}. 不放回简单随机抽样的样本空间Ω2={(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2), (G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1)} . 按性别等比例分层抽样,先从男生中抽一人, 再从女生中抽一人,其样本空间Ω3={(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1),(B2,G2)}. (2)设事件A =“抽到两名男生”,则对于有放回简单随机抽样,A={(B1,B1),(B1,B2),(B2,B1),(B2,B2)}. 因为抽中样本空间Ω1中每一个样本点的可能性都相等,所以这是一个古典概型. 因此P(A)= =0.25. 对于不放回简单随机抽样,A={(B1,B2),(B2,B1)}. 因为抽中样本空间Ω2中每一个样本点的可能性都相等,所以这是一个古典概型. 因为按性别等比例分层抽样,不可能抽到两名男生,所以A=⌀,因此P(A)=0. 规律方法　“放回”与“不放回”问题的区别 对于某一次试验,若采用“放回”抽样,则同一个个体可以被重复抽取,而采用“不放回”抽样,则同一个个体不可能被重复抽取. 变式训练3口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球,求: (1)从中任意摸出两个小球,摸出的是红球和白球的概率; (2)从袋中摸出一个后放回,再摸出一个,两次摸出的球是一红一白的概率. 解 (1)任意摸出两个小球的样本空间为{(红,白),(红,黄),(白,黄)},共包含3个样本点,所以摸出的是红球和白球的概率为 . (2)样本空间为{(红,红),(红,白),(红,黄),(白,白),(白,红),(白,黄),(黄,红),(黄,黄),(黄,白)},共包含9个样本点.记A为“摸出的球是一红一白”,A={(红,白), 白,红)},包含2个样本点,所以所求概率为 . 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A 级 必备知识基础练 1.[探究点三]一个袋中装有大小相同的5个球,现将这5个球分别编号为1,2,3,4,5,从袋中取出两个球,每次只取出一个球,并且取出的球不放回,则取出的两个球上编号之积为奇数的概率为(　　) B 解析 设“取出的两个球上编号之积为奇数”为事件A,则样本空间为Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),…,(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},共包含20个样本点,其中事件A={(1,3),(1,5),(3,1),(3,5),(5,1),(5,3)},包含6个样本点,所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2.[探究点一]下列试验中是古典概型的是(　　) A.种下一粒花生,观察它是否发芽 B.向正方形ABCD内,任意投掷一点P,观察点P是否与正方形的中心O重合 C.从1,2,3,4四个数中,任取两个数,求所取两数之一是2的概率 D.在区间[0,5]内任取一点,求此点小于2的概率 C 解析 A选项中试验不具备等可能性;B,D选项中试验不具备有限性,故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.[探究点二·2023广西钦州统考模拟预测]现有3人在一次外出时需要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中随机选3只不同颜色的口罩,则蓝、白口罩同时被选中的概率为　　　　.  0.3 解析 从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中选3只不同颜色的口罩,则样本点有(蓝,白,红),(蓝,白,黑),(蓝,白,绿),(蓝,红,黑),(蓝,红,绿),(蓝,黑,绿),(白,红,黑),(白,红,绿),(白,黑,绿),(红,黑,绿),共有10个.其中蓝、白色口罩同时被选中的样本点有(蓝,白,红),(蓝,白,黑),(蓝,白,绿),共3个,所以蓝、白色口罩同时被选中的概率为0.3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.[探究点二]连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.“恰好3枚正面都朝上”的概率是　　　　　;“至少有2枚反面朝上”的概率是　　　　　.  解析 样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)},共8个样本点,“恰好3枚正面都朝上”包含1个样本点,其概率P1= ,“至少有2枚反面朝上”包含4个样本点,其概率 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5.[探究点三]口袋中有质地、大小完全相同的5个球,编号分别为1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种游戏:甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数算甲胜,否则算乙胜. (1)求甲胜且编号的和为6的事件发生的概率. (2)这种游戏规则公平吗?试说明理由.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解 (1)设“甲胜且编号的和为6”为事件A. 甲编号为x,乙编号为y,(x,y)表示一个样本点,则两人摸球结果的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),…,(5,4),(5,5)},共25个样本点,A={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)},共5个样本点. 所以甲胜且编号的和为6的事件发生的概率为 . (2)这种游戏不公平.设“甲胜”为事件B,“乙胜”为事件C.记D为“两个编号的和为偶数”. D={(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)},共包含13个样本点. 因为P(B)≠P(C),所以这种游戏规则不公平. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B 级 关键能力提升练 6.(多选题)[2023湖北咸宁高二校考阶段练习]随机地排列数字1,5,6得到一个三位数,则(　　) A.可以排成9个不同的三位数 B.所得的三位数是奇数的概率为 C.所得的三位数是偶数的概率为 D.所得的三位数大于400的概率为 BD 解析 随机地排列数字1,5,6可以得到的三位数有156,165,516,561,615,651,共6个,故A不正确; 其中奇数有165,561,651,615,共4个,所以所得的三位数是奇数的概率为 ,故B正确; 其中偶数有156,516,共2个,所以所得的三位数是偶数的概率为 ,故C不正确; 其中大于400的有516,561,615,651,共4个,所以所得的三位数大于400的概率为 ,故D正确. 故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7.(多选题)下列关于各事件发生的概率判断正确的是(　　) A.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为 B.四条线段的长度分别是1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是 C.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁 在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得 食物的概率为 D.已知集合A={2,3,4,5,6,7},B={2,3,6,9},在集合A∪B中 任取一个元素,则该元素是集合A∩B中的元素的概率为 ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析 对于A,从甲、乙、丙三人中任选两人的样本空间Ω={(甲,乙),(甲,丙),(乙,丙)},共3个样本点,记A:甲被选中,则A={(甲,乙),(甲,丙)},共2个样本点,故甲被选中的概率为P= ,故A正确;对于B,从四条长度各异的线段中任取一条,每条被取出的可能性均相等,所以该试验属于古典概型.又样本空间Ω={(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(3,5,7)},共包含4个样本点,而能构成三角形的样本点为(3,5,7),所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P= 故B正确;对于C,该树枝的树梢有6处,有2处能找到食物,则蚂蚁能获得食物的概率为 ,故C正确;对于D,因为A∪B={2,3,4,5,6,7,9},A∩B={2,3,6},所以在集合A∪B中任取一个元素,则该元素是集合A∩B中元素的概率为 ,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8.(多选题)某市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组:第1组[20,25),第2组[25,30),第3组[30,35),第4组[35,40),第5组[40,45],得到的频率分布直方图如图所示.若从第3,4,5组中用分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动,该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验, 则下列结论正确的是(　 　) A.应从第3,4,5组中分别抽取3人、2人、1人 B.第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为 C.第5组志愿者被抽中的概率为 D.第3组志愿者至少有一人被抽中的概率为 ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 设第3组的人分别为a,b,c,第4组的人分别为d,e,第5组的人为f, 则6人中随机抽取2人的样本点为(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f),共15个, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9.在抛掷一颗骰子(一种正方体玩具,六个面分别标有1,2,3,4,5,6字样)的试验中,事件A表示“不大于3的奇数点出现”,事件B表示“小于4的点数出现”, 则事件A+ 的概率为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.[2023湖北宜昌高二校联考]一个盒子中装有四张卡片,每张卡片上写有一个数字,数字分别是1,2,3,4,现从盒子中随机抽取卡片,每张卡片被抽到的概率相等. (1)若一次抽取三张卡片,求抽到的三张卡片上的数字之和大于8的概率; (2)若第一次抽一张卡片,放回后搅匀再抽取一张卡片,求两次抽取中至少有一次抽到写有数字2的卡片的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解 (1)设A表示事件“抽到的三张卡片上的数字之和大于8”, ∵从四张卡片中任取三张卡片的样本点是(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4),共4个. 其中数字之和大于8的是(2,3,4), ∴P(A)= . (2)设B表示事件“至少有一次抽到写有数字2的卡片”, 每次抽1张,有放回地连续抽取两张的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个. 事件B包含的样本点有(1,2),(2,2),(2,1),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2),共7个. ∴P(B)= . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C 级 学科素养拔高练 11.[北师大版教材习题改编]某次茶话会上,共安排4个节目,其中有2个歌唱节目、1个舞蹈节目、1个小品节目,按任意次序排出一个节目单,试求下列事件的概率: (1)舞蹈在最前或最后; (2)舞蹈和小品1个在最前、1个在最后; (3)舞蹈和小品至少有1个在最前或最后; (4)两个歌唱节目相邻; (5)舞蹈排在小品之前. 解 将2个歌唱节目分别记为1,2,将舞蹈、小品节目分别记为3,4,按任意次序排出一个节目单,依题意可知,其样本空间中包含的所有样本点:(1,2,3,4),(1,2,4,3),(1,3,2,4),(1,3,4,2),(1,4,2,3),(1,4,3,2),(2,1,3,4),(2,1,4,3), (2,3,1,4),(2,3,4,1),(2,4,1,3),(2,4,3,1),(3,1,2,4),(3,1,4,2),(3,2,1,4),(3,2,4,1),(3,4,1,2),(3,4,2,1),(4,1,2,3),(4,1,3,2),(4,2,1,3),(4,2,3,1),(4,3,1,2),(4,3,2,1),共24个. (1)设“舞蹈在最前或最后”为事件A,则满足A的样本点有12个,所以 (2)设“舞蹈和小品1个在最前、1个在最后”为事件B,则满足B的样本点有4个,所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (3)设“舞蹈和小品至少有1个在最前或最后”为事件C,则满足C的样本点有20个,所以 (4)设“两个歌唱节目相邻”为事件D,则满足D的样本点有12个,所以 (5)设“舞蹈排在小品之前”为事件E,则满足E的样本点有12个,所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 解 (1)在52张扑克牌中,A有4张,故概率为. (2)红色A有2张,故概率为. (3)K,Q,J各有4张,故概率为. (4)草花有13张,故概率为. (2)因为A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},共包含4个样本点,所以P(A)=. 因为B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},共包含6个样本点,所以 P(B)=. 因为C={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)}, 共包含15个样本点,所以P(C)=. P(A)=. P(B)=. P(C)=. 因此P(A)=. A. B. C. D. P(A)=.故选B. P2=. 所以P(A)=. 所以甲胜的概率为P(B)=P(D)=,乙胜的概率为P(C)=1-. , 解析 第3组抽取的人数为×6=3, 第4组抽取的人数为×6=2, 第5组抽取的人数为×6=1,故A正确; 其中第4组志愿者恰有一人被抽中有8个样本点, 则其概率为,故B正确; 第5组志愿者被抽中有5个样本点, 其概率为,故C正确; 第3组志愿者至少有一人被抽中有12个样本点, 其概率为,故D错误. 故选ABC. P(A)=. P(B)=. P(C)=. P(D)=. P(E)=. $$