专题2.5 认识有理数（相反数与绝对值）（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.5 认识有理数（相反数与绝对值）（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】相反数定义：只有符号不同的两个数互为相反数，特别的地，0的相反数是0； 【知识点二】相反数的性质： （1） a,b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则a,b互为相反数； （2） 一个有理数有且只有一个相反数； （3） 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数. 【知识点三】相反数的几何意义： 一般地，在数轴上，互为相反数的两个数对应的点在原点两侧，并且到原点的距离相等. 【知识点四】绝对值定义：一般地，数轴上表示数的a的点与原点距离叫做数a的绝对值，数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”； 【知识点五】绝对值几何意义和代数意义 （1） 几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点越远，绝对值越大，反之越小； （2） 代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即= 【知识点六】几点温馨提示 （1） 互为相反数的两个数绝对值相等，反之，绝对值相等的两个数相等或互为相反数； （2） 当绝对值符号里的数正负不能确定时，要分类讨论，即将分成大于0，小于0，等于0三种情况讨论； （3） 任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意有理数，都有， （4） 两个负数相比较，绝对值大的反而小. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】相反数的定义与多重符号化简 【例1】阅读理解：因为a的相反数是-a，所以①为+2的相反数，故-（+2）=-2；②为-2的相反数，故.即利用相反数的意义可以对多重符号进行化简. 化简：（1）；（2）；（3）；（4）. 【变式1】（2024·海南省直辖县级单位·二模）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和2 B．2和 C．3和 D．3和 【变式2】（2024七年级上·浙江·专题练习）若，则 ． 【题型2】数反数与数轴（数形结合） 【例2】（23-24七年级上·新疆喀什·期中）如图所示的数轴的单位长度为．请回答下列问题：    （1）如果点、表示的数互为相反数，那么点表示的数是多少？ （2）如果点、表示的数互为相反数，那么点、表示的数分别是多少? 【变式1】（2024·甘肃陇南·三模）如图，数轴上点A的相反数是（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2】（2024·陕西榆林·三模）如图，数轴的单位长度为1，若点表示的数与点表示的数互为相反数，则点表示的数是 ． 【题型3】绝对值几何（代数）意义 【例3】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）（1）如果，，且a，b异号，求a、b的值． （2）若，，且，求a，b的值． 【变式1】（2024七年级上·江苏·专题练习）已知，，则（   ） A． B． C．0 D．或 【变式2】（23-24六年级下·上海·期末）已知，，则 ． 【题型4】求一个数的绝对值与化简绝对值 【例4】（23-24六年级上·山东东营·阶段练习）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】（2023·宁夏银川·一模）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则的化简结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】 （2024七年级上·江苏·专题练习） ， ， ， ， ． 【题型5】绝对值的非负性 【例5】（22-23七年级上·陕西西安·阶段练习）已知与互为相反数． （1）求a与b的值； （2）若，求x的相反数． 【变式1】（23-24七年级上·安徽合肥·期中）已知x，y为有理数，且，则的值为（ ） A． B． C． D．3 【变式2】（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个式子有最 值是 ，此 【题型6】利用绝对值的意义比较有理数的大小 【例6】（22-23七年级上·湖北恩施·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：    （1）请在数轴上标出； （2）比较的大小（用“”将它们连接起来）． 【变式1】（23-24六年级上·山东烟台·期中）下列比较大小错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24六年级下·上海·期中）比较大小： ． 【题型7】解绝对值方程（分类讨论思想） 【例7】（2024七年级·全国·竞赛）解方程：． 【变式1】（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）已知是方程的解，则k的值为（    ） A．11或 B．9或 C．11或 D．或9 【变式2】（2024七年级·全国·竞赛）若关于的方有三个不同的解，则有理数 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·黑龙江大庆·中考真题）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．2024和 C．和2024 D．和 【例2】（2024·四川资阳·中考真题）若，则 ． 2、拓展延伸 【例1】（23-24六年级下·北京海淀·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． （1）用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． （2）化简：． 【例2】（2024七年级上·江苏·专题练习）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时可令和，分别求得，（称与2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式； 综上，原式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）求出和的零点值； （2）化简代数式； （3）对于任意有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 认识有理数（相反数与绝对值）（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】相反数定义：只有符号不同的两个数互为相反数，特别的地，0的相反数是0； 【知识点二】相反数的性质： （1） a,b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则a,b互为相反数； （2） 一个有理数有且只有一个相反数； （3） 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数. 【知识点三】相反数的几何意义： 一般地，在数轴上，互为相反数的两个数对应的点在原点两侧，并且到原点的距离相等. 【知识点四】绝对值定义：一般地，数轴上表示数的a的点与原点距离叫做数a的绝对值，数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”； 【知识点五】绝对值几何意义和代数意义 （1） 几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点越远，绝对值越大，反之越小； （2） 代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即= 【知识点六】几点温馨提示 （1） 互为相反数的两个数绝对值相等，反之，绝对值相等的两个数相等或互为相反数； （2） 当绝对值符号里的数正负不能确定时，要分类讨论，即将分成大于0，小于0，等于0三种情况讨论； （3） 任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意有理数，都有， （4） 两个负数相比较，绝对值大的反而小. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】相反数的定义与多重符号化简 【例1】阅读理解：因为a的相反数是-a，所以①为+2的相反数，故-（+2）=-2；②为-2的相反数，故.即利用相反数的意义可以对多重符号进行化简. 化简：（1）；（2）；（3）；（4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【分析】根据相反数的意义，一个数的相反数，就是在这个数前面加上一个“－”，然后对（1）（2）（3）（4），分别进行化简即可. 解：（1）. （2）. （3） （4）. 【点拨】本题考查了相反数的意义，解题的关键是熟练掌握相反数的意义，注意不能漏掉一个符号. 【变式1】（2024·海南省直辖县级单位·二模）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和2 B．2和 C．3和 D．3和 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的绝对值和相反数，熟练掌握基本知识是解题的关键．根据相反数和绝对值的定义逐项判断即得答案． 解：A、，和2互为相反数，故本选项符合题意； B、，2和不是互为相反数，故本选项不符合题意； C、3和不互为相反数，故本选项不符合题意； D、，所以3和不是互为相反数，故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式2】（2024七年级上·浙江·专题练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．直接利用已知数据代入进而得出答案． 解：， ． 故答案为：． 【题型2】数反数与数轴（数形结合） 【例2】（23-24七年级上·新疆喀什·期中）如图所示的数轴的单位长度为．请回答下列问题：    （1）如果点、表示的数互为相反数，那么点表示的数是多少？ （2）如果点、表示的数互为相反数，那么点、表示的数分别是多少? 【答案】(1) (2)点表示的数是，点表示的数是 【分析】本题考查是数轴与有理数； （1）根据数轴上点的位置以及相反数的性质确定原点的位置，进而即可求解； （2）根据数轴上点的位置以及相反数的性质确定原点的位置，进而即可求解． 解：（1）解：如图，点为原点，点表示的数是．    （2）如图，点为原点，点表示的数是，点D表示的数是．    【变式1】（2024·甘肃陇南·三模）如图，数轴上点A的相反数是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据数轴可知点A表示的数是2，再根据相反数的定义，即可得到答案． 本题考查了数轴，相反数，掌握相反数的定义是解题关键． 解：由数轴可知，点A表示的数是2，2的相反数是， 故选：A． 【变式2】（2024·陕西榆林·三模）如图，数轴的单位长度为1，若点表示的数与点表示的数互为相反数，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴上数的表示及相反数，根据A、B所表示的数互为相反数可得原点的位置，然后求解C即可． 解：由数轴的单位长度为1，点、所表示的数互为相反数，可得数轴的原点在点A和点B的中点处，如图所示， 点C表示的数为； 故答案为：． 【题型3】绝对值几何（代数）意义 【例3】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）（1）如果，，且a，b异号，求a、b的值． （2）若，，且，求a，b的值． 【答案】（1）或 （2） 【分析】本题考查了绝对值的性质，掌握绝对值等于一个正数的数有两个是解决本题的关键． （1）根据绝对值的性质，可知，，结合a，b异号，可知或 （2）根据绝对值的性质，可知，，而，即可确定出答案． 解：（1）解：∵，， ∴，， 又∵a，b异号， ∴或． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴． 【变式1】（2024七年级上·江苏·专题练习）已知，，则（   ） A． B． C．0 D．或 【答案】D 【分析】本题考查绝对值，根据，可得，即可求解． 解：，， ， ． 故本题选：D． 【变式2】（23-24六年级下·上海·期末）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数和绝对值，先计算得到，然后计算解题即可． 解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型4】求一个数的绝对值与化简绝对值 【例4】（23-24六年级上·山东东营·阶段练习）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查化简绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键： （1）-（4）根据绝对值的性质化简即可； 解：（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式1】（2023·宁夏银川·一模）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则的化简结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是实数与数轴，绝对值，熟练掌握上述知识点是解题的关键．根据数轴可知，，，可得，因此． 解：由数轴可知，，， ， ， 故选：D． 【变式2】（2024七年级上·江苏·专题练习） ， ， ， ， ． 【答案】 0 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据绝对值的意义“”进行计算即可． 解：， ， ， ， ， 故答案为：；0；；；． 【题型5】绝对值的非负性 【例5】（22-23七年级上·陕西西安·阶段练习）已知与互为相反数． （1）求a与b的值； （2）若，求x的相反数． 【答案】(1)， (2)或14 【分析】（1）根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列式求出、的值； （2）将a与b的值代入代数式进行计算即可得解． 解：（1）与互为相反数， ， ，， 解得，； （2），， ， ， 的相反数为或14． 【点拨】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 【变式1】（23-24七年级上·安徽合肥·期中）已知x，y为有理数，且，则的值为（ ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要查了绝对值的性质．根据绝对值的非负性可得，从而得到，进而得到，即可求解． 解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：A 【变式2】（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个式子有最 值是 ，此 【答案】 大 2021 3 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握若a为有理数，则有是解答本题的关键．根据绝对值的非负性求解即可． 解：∵， ∴当时，的最小值为0， ∴的最大值为2021，此时． 故答案为：大；2021；3． 【题型6】利用绝对值的意义比较有理数的大小 【例6】（22-23七年级上·湖北恩施·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：    （1）请在数轴上标出； （2）比较的大小（用“”将它们连接起来）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据互为相反数的两个数关于原点对称，找到，，的位置； （2）根据数轴右边的数总比左边的数大可得答案． （1）解：如图，    （2）解：由（1）可知，． 【点拨】此题综合考查了数轴、绝对值，解题的关键是掌握数形结合的思想求解． 【变式1】（23-24六年级上·山东烟台·期中）下列比较大小错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，分别根据正数与负数、正数与正数、负数与负数比较大小的法则对各选项进行逐一分析即可． 解：A、∵，∴，故本选项正确； B、∵，∴，故本选项正确； C、∵，∴，故本选项正确； D、∵，∴，故本选项错误． 故选：D． 【变式2】（23-24六年级下·上海·期中）比较大小： ． 【答案】> 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，掌握负数的绝对值越大、自身越小成为解题的关键． 先把化成小数，然后再比较绝对值，最后根据负数的绝对值越大、自身越小即可解答． 解：∵， ∴， ∴． 故答案为：>． 【题型7】解绝对值方程（分类讨论思想） 【例7】（2024七年级·全国·竞赛）解方程：． 【答案】或． 【分析】本题主要考查解绝对值方程，分、、三种情况去绝对值，解一元一次方程即可． 解：（1）当时，有，得； （2）当时，有，无解； （3）当时，有，得． 所以方程的解为或． 【变式1】（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）已知是方程的解，则k的值为（    ） A．11或 B．9或 C．11或 D．或9 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及绝对值求值，熟练掌握绝对值求解是解题的关键．将代入方程，根据绝对值的定义求解即可． 解：将代入方程，得， ， 解得或． 故选：C． 【变式2】（2024七年级·全国·竞赛）若关于的方有三个不同的解，则有理数 ． 【答案】5 【分析】本题考查了绝对值的性质和解绝对值方程等知识，根据绝对值的性质得，再根据绝对值性质可得或，根据绝对值性质即可求解． 解：， ， 或， 当时，即时，方程无解，此时方程最多只有两个不同的解，不符合题意； 当时，即时，方程有一个解，此时方程有两个不同的解，即此时方程由三个不同的解，符合题意； 当时，即时，方程有两个不同的解，此时方程有两个不同的解，即方程此时有4个不同的解，不符合题意； 综上所述，， 故答案为：5． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·黑龙江大庆·中考真题）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．2024和 C．和2024 D．和 【答案】A 【分析】本题考查相反数．根据只有符号不同的两个数互为相反数，结合绝对值的意义逐项判断即可． 解：A、和互为相反数，故A选项符合题意； B、2024和互为倒数，故B选项不符合题意； C、和2024不互为相反数，故C选项不符合题意； D、和不互为相反数，故D选项不符合题意； 故选：A． 【例2】（2024·四川资阳·中考真题）若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，解题的关键是掌握几个非负数和为0，则这几个非负数分别为0．根据绝对值和平方的非负性，得出，求出a和b的值，即可解答． 解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：2． 2、拓展延伸 【例1】（23-24六年级下·北京海淀·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． （1）用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． （2）化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值的化简等知识点，掌握利用数轴确定代数式的正负成为解题的关键． （1）先根据数轴取得a、b、c的大小关系，然后再确定所求代数式的正负即可； （2）根据（1）所的代数式的正负取绝对值，然后再合并同类项即可． 解：（1）解：由数轴可得：， 则． 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴ ． 【例2】（2024七年级上·江苏·专题练习）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时可令和，分别求得，（称与2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式； 综上，原式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）求出和的零点值； （2）化简代数式； （3）对于任意有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)与4分别为与的零点值 (2)答案见解析 (3)有，6 【分析】（1）利用零点值的定义解答即可；（2）利用题干【材料】的方法解答即可； （3）利用【材料二】中的方法和（2）的结论解答即可． 本题主要考查了有理数的混合运算，绝对值，相反数，数轴，本题是阅读型题目，正确理解题干中的方法和解题思想是解题的关键． 解：（1）解：令和， 求得，， 与4分别为与的零点值． （2）解：当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． ； （3）解：有，理由如下： 由（2）得出：对于任意有理数，有最小值，最小值为6． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$