第1章 全等三角形（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（江苏专用，苏科版）

第1章 全等三角形（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形 C．两个等边三角形是全等三角形 D．周长相等的两个三角形不一定全等 2．已知△ABC的六个元素如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中一定与△ABC全等的是（    ）    A．乙和丙 B．甲和丙 C．甲和乙 D．只有丙 3．如图，点，在线段上，，，添加一个条件仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，， 点在边 上， 的延长线交 于点， 若 ，则 的度数为(      ) A． B． C． D． 5．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．SSA D．ASA 6．如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（    ）． A．30° B．45° C．55° D．60° 7．如图，，的延长线交于点，交于点．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ）    A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 9．在如图所示的网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．小明同学绘制风筝设计图如下，点，，在同一条直线上，，要能使，还需再补充一个条件： （写一个即可，多写的按第一个给分）． 12．如图，六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF，根据三角形的稳定性要使框架稳固且不活动，至少还需要添 根木条． 13．如图，在中，，，分别过点B，C作过点A的直线的垂线．若，，则 cm． 14．如图，，，，，则的周长为 ． 15．如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 16．如图，中，，是中线，设，则x的取值范围是 ． 17．如图，中，于，是上一点，连接并延长交于，若，，，，则的面积是 ． 18．如图，在中，，，、是斜边上两点，过点作，垂足是，过点作，垂足是．交于点，连接，其中．下列结论：①；②；③若，．则；④．其中正确的是 （填序号）． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。 19．已知：如图，，，E，F是垂足，．求证：． 20．如图，已知，，，请问吗？ 解：（__________） （等式性质），即_________________． 在与中， （________） （________） 21．如图所示，已知，，，，相交于点O，试说明． 22．已知：如图，在中，为的中点，过点作，交于点．是上一点，连接，且．求证：． 23．如图，点E在线段上，，，．求证：． 24．已知如图，AC，BD都垂直于BC，点E在BC上，DE⊥AB，垂足为点F，且AB=ED，求证：DB=BC 25．如图，在和中，，，，且点，，在同一直线上，点，在同侧，连接，交于点．    (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 26．如图，已知，，，，与相交于点M． (1)求证：； (2)求证：． 27．如图，中两边、上有两点M、N，D为外一点，且，，，．      (1)猜想线段、、之间的数量关系并证明； (2)若，，求的周长． 28．已知，在中，，D，A，E三点都在直线m上，．    (1)如图①，若，则与的数量关系为 ，，与的数量关系为 ． (2)如图②，当不垂直于时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． (3)如图③，若只保持，，，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 全等三角形（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形 C．两个等边三角形是全等三角形 D．周长相等的两个三角形不一定全等 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：形状相同的两个三角形若其大小不相等就不是全等三角形，故选项A错误； 面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定是全等三角形，故选项B错误； 两个等边三角形，形状相同，边长不一定相等，不一定能完全重合，不一定是全等三角形，故选项C错误． 长相等的两个三角形不一定全等，故选项D正确； 故选D． 2．已知△ABC的六个元素如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中一定与△ABC全等的是（    ）    A．乙和丙 B．甲和丙 C．甲和乙 D．只有丙 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，牢记并灵活应用全等三角形的判定定理三角形的解答本题的关键． 【详解】解：甲三角形的，边和所对的角分别与C中的边、角对应相等，无法构成两三角形全等所需的条件，故甲与不全等； 乙三角形的、边以及其夹角分别与中的边、角对应相等，依据两三角形全等的判定定理知：乙与全等； 丙三角形的两角，边分别与中的边、角对应相等，依据两三角形全等的判定定理知：丙与全等； 故选A． 3．如图，点，在线段上，，，添加一个条件仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、若添加：，则， 在与中， ， ，不符合题意； B、若添加：，不能判定，符合题意； C、若添加， ，不符合题意； D、若添加：，则， ，不符合题意， 故选：B． 4．如图，， 点在边 上， 的延长线交 于点， 若 ，则 的度数为(      ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：， ，， ， ， 故选：A． 5．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．SSA D．ASA 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用．图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：由图可知，三角形两角及夹边可以作出， 所以，依据是ASA． 故选：D． 6．如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（    ）． A．30° B．45° C．55° D．60° 【答案】B 【分析】根据网格特点，可得出，，，进而可求解． 【详解】解：如图，则，，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键． 7．如图，，的延长线交于点，交于点．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形外角的性质，由，则与是一组对应角，与是一组对应角，对于，外角等于除外的两个内角之和，求得，再在中，由三角形内角和即可求得结果． 【详解】解：，，， ，． ∵由三角形外角的性质可得， ． ． ，， ． 故选：B． 8．如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ）    A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了两个全等三角形的判定及性质，根据已知条件判定两个三角形全等，可得到对应边及对应角相等，据此可判断①③，再结合条件证明两个三角形全等，可得到④，即可求得结果，灵活运用两个全等三角形的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴①③都正确， 在中， ， ∴， 故④正确， 根据已知条件无法证明②是否正确， 故①③④正确， 故选：A． 9．在如图所示的网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据全等三角形的性质找出全等三角形即可． 【详解】解：如图所示， 以BC为公共边的全等三角形有三个分别为，，， 以AB为公共边的全等三角形有一个为， ∴共有4个三角形与△ABC有一条公共边且全等， 故选：A． 【点睛】题目主要考查全等三角形的性质，理解全等三角形的性质是解题关键． 10．如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线的延长线于P，过点G作于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键，分析题意，根据正方形的性质可得可求出，由“边角边”可得，可判断①是否正确；设、相交于点N，由可得，即可判断②的正确性；根据同角的余角相等求出，再证明，根据全等三角形性质即可判断④是否正确；证明，根据全等三角形的对应边相等即可判断③是否正确，从而完成解答． 【详解】解：在正方形和中，，， ，即， 在和中，，， ， ，故①正确； 设相交于点N， ， ， ， ， ，故②正确； 过点G作于Q，过点E作的延长线于P，如图所示： ， ， ， ， ， 在和中， ，， ， ，故④正确； 同理可得， ， 在和中， ，， ， ， 是的中线，故③正确． 综上所述，①②③④结论都正确，共4个． 故选：D． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．小明同学绘制风筝设计图如下，点，，在同一条直线上，，要能使，还需再补充一个条件： （写一个即可，多写的按第一个给分）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，答案不唯一．根据，然后根据“”的判定方法添加条件即可． 【详解】解：可添加．理由如下： 在和中， ， ∴（）， 故答案为：（答案不唯一）． 12．如图，六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF，根据三角形的稳定性要使框架稳固且不活动，至少还需要添 根木条． 【答案】3 【分析】根据三角形的稳定性，只要使六边形框架ABCDEF变成三角形的组合体即可． 【详解】解： 根据三角形的稳定性，得 如图：从图中可以看出，要使框架稳固且不活动，至少还需要添3根木条． 故答案为:3. 【点睛】本题主要考查的是三角形的稳定性． 13．如图，在中，，，分别过点B，C作过点A的直线的垂线．若，，则 cm． 【答案】7 【分析】根据直角三角形的内角之间的关系，找出相等的角证明，进而求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别过点，作过点的直线的垂线， ∴与为直角三角形， ∴， ∵ ∴, ∴， 在与中， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，一线三垂直模型，能够根据直角三角形内角之间的关系找出相等的角是解决本题的关键． 14．如图，，，，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质求出，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴的周长为： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的性质．掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 15．如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一． 【详解】解：∵ ∴，， ∴添加条件，可以使得， 添加条件，也可以使得， ∴； 故答案为：或（答案不唯一）． 16．如图，中，，是中线，设，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】延长至点E，使，连接，根据中线性质得到，根据，推出，得到，根据三角形三边关系得到，即得．本题主要考查了三角形．熟练掌握三角形三边关系，全等三角形的判定和性质，线段中线性质 ，是解决问题的关键． 【详解】延长至点E，使，连接， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， 即， ∴． 故答案为：． 17．如图，中，于，是上一点，连接并延长交于，若，，，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，通过证明三角形全等得出对应边相等，对应角相等是解决问题的关键．证明，可得，，然后证明，根据列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．如图，在中，，，、是斜边上两点，过点作，垂足是，过点作，垂足是．交于点，连接，其中．下列结论：①；②；③若，．则；④．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】由证明，故①正确；得，，再由三角形的三边关系得，得，故②不正确；然后证，得，由三角形的面积关系，故③正确，最后由全等三角形的性质得，则，故④正确；即可得出答案． 【详解】解：，， ， ，， ， ，， ，， 在和中， ， ，故①正确； ，， ，，， ，故②不正确； 在和中， ， ， ， ， ，故③正确， ， ， ，故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形的三边关系以及三角形面积等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明和是解题的关键． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。 19．已知：如图，，，E，F是垂足，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等的条件，属于中考常考题型．证明得，进而可证． 【详解】证明： ∴在和中 即 20．如图，已知，，，请问吗？ 解：（__________） （等式性质），即_________________． 在与中， （________） （________） 【答案】已知；，；；；；；全等三角形对应角相等 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．根据，可得，可利用角边角证明，即可求证． 【详解】解：（已知） （等式性质），即， 在与中， （全等三角形对应角相等） 21．如图所示，已知，，，，相交于点O，试说明． 【答案】见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，根据证明，得到，从而得到，再根据证明，由此得到，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】证明：在和中， 所以， 所以， 所以， 在和中， 所以， 所以． 22．已知：如图，在中，为的中点，过点作，交于点．是上一点，连接，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关的知识．由为的中点，可得，根据，得到，，结合，得到，证明，即可求解． 【详解】证明：为的中点， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 23．如图，点E在线段上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，先利用平行线的性质得出，然后利用证明，最后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ 24．已知如图，AC，BD都垂直于BC，点E在BC上，DE⊥AB，垂足为点F，且AB=ED，求证：DB=BC 【答案】证明见解析. 【分析】由题意得∠D+∠DEB=90°，∠ABC+∠DEB=90°，则∠ABC=∠D，则△ACB≌△EBD，从而得出DB=BC． 【详解】证明：∵AC，BD都垂直于BC， ∴∠ACB=∠EBD=90° ∵∠EBD=90°，DE⊥AB ∴∠D+∠DEB=90°，∠ABC+∠DEB=90°， ∴∠ABC=∠D． 在△ABC和△EBD中 ∵∠ABC=∠D，∠ACB=∠EBD，AB=ED， ∴△ACB≌△EBD． ∴DB=BC． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握AAS证明两个三角形全等是解题关键． 25．如图，在和中，，，，且点，，在同一直线上，点，在同侧，连接，交于点．    (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 由，得出，再利用“”即可证明≌； 由，，得出，由外角的性质得出，由全等三角形的性质得出，由外角的性质得出，可得答案. 【详解】（1） 证明：， ∴， 即， 在和中， ， ≌； （2） ，， ∴. 是的外角， ∴. ≌， ∴， ∵是的外角， ∴. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平角的定义，三角形外角的性质，灵活选择判定定理是解题的关键． 26．如图，已知，，，，与相交于点M． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用说明得结论； （2）先利用全等三角形的性质说明，再利用三角形内角和定理说明得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． ∴． （2）证明：由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在中，． ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形，掌握三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定是解决本题的关键． 27．如图，中两边、上有两点M、N，D为外一点，且，，，．      (1)猜想线段、、之间的数量关系并证明； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)；理由见解析 (2)13 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，补角的性质，四边形内角和，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）延长，则的延长线上取，连接，证明，得出，，证明，得出，根据，即可得出答案； （2）根据，得出求出结果即可． 【详解】（1）解：；理由如下： 延长，则的延长线上取，连接，如图所示：    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴ ． 28．已知，在中，，D，A，E三点都在直线m上，．    (1)如图①，若，则与的数量关系为 ，，与的数量关系为 ． (2)如图②，当不垂直于时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． (3)如图③，若只保持，，，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)成立，理由见解析 (3)，或， 【分析】（1）由平角的定义和三角形内角和定理得，再由证明，得，，即可解决问题； （2）同（1）得，得，，即可得出结论； （3）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质求出的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：，， ， ， ，， ， ，， ， ， 故答案为：，； （2）解：成立，，理由如下： 同（1）得：， ，， ， ； （3）解：存在，理由如下： 当时，，， ， ， ， ； 当时， ，， ，， 综上所述，存在，使得与全等，，或，． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平角的定义以及分类讨论等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$