第1章 全等三角形（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（江苏专用，苏科版）

第1章 全等三角形（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．等边三角形都全等 2．已知的三个内角三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，和全等的图形是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 3．如图，已知，则以下结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，中，是中线，，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．如图， 是 的高线，与 相交于点 ．若 ，且 的面积为12，则的长度为（    ） A．1 B． C．2 D．3 7．如图，桌面上竖直放置一等腰直角三角板，若测得斜边的两端点到桌面的距离分别为，．已知，，则点距离桌面的高度为（    ） A． B． C． D． 8．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（   ） A．30° B．45° C．60° D．135° 9．如图，已知线段米，射线于点，射线于点 ，点从 点向运动，每秒走米，点从点向 运动，每秒走米，同时从点出发，若射线上有一点，使得和全等，则线段的长度为（    ） A．米 B．米或米 C．米 D．米或米 10．如图，在与中，，，，分别交，于点，，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2、 填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．如图，四边形四边形．若，，，则的大小为 度．    12．如图，已知，要使，可以添加一个条件是 ．（只填一种情况即可） 13．工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法：如图，在∠AOB的边OA，OB上分别取点M，N，使OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，得到∠AOB的平分线OP.作法中用到三角形全等的判定方法是 ． 14．如图，在△ABC中，AB=3，BC=5，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在边BC上时，则CD的长为 . 15．如图，在中，，点D是外一点，连接、、，且交于点O，在上取一点E，使得，，若，则的度数为 ．    16．小明与爸妈在公园里荡秋千．如图，小明坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住他后用力一推，爸爸在处接住他．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在处接住小明时，小明距离地面的高度是 ． 17．如图，在中，，，于点E，于点D，，，则的长是 ． 18．如图，在四边形中，平分，，，，则面积的最大值为 ． 3、 解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。 19．如图，点C，D在线段BF上，AB∥DE，AB=DF，BC=DE．求证：AC=FE． 20．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，，． 求证： (1)： (2)． 21．如图，在中，是的中点，，，垂足分别是、、且．求证：．    22．补充完成下列推理过程： 如图，在中，D为线段中点，，求的取值范围． 解：作交的延长线于点E． ∵， ．（______） ∵D为线段中点， ∴．（______） ∵在与中 ∴，（______） ∴，．（______） 在中，， ∵， ∴（______）（______）． 23．课余时间，某同学用橡皮垒了两面与桌面垂直的“墙”，“墙”的高度 两面“墙”之间刚好可以放进一块等腰直角三角形木板（如图），其中 ，点 B 在 CE上，点A，D 分别与两面“墙”的顶端重合． (1)求证∶； (2)求两面“墙”之间的距离． 24．如图，在中，，为高，且，点为上一点，，连接． (1)求的长； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由； 25．如图，，，，求证：． 26．已知和位置如图所示，，，． (1)求证：； (2)求证：． 27．如图，在中，，，，点为的中点，点在线段上以每秒个单位的速度由点向点运动，同时点在线段上以每秒个单位的速度由点向点运动，设运动时间为秒． (1)若点、的运动速度相等，时，与是否相等？请说明理由； (2)若点、的运动速度不相等，与全等时，求与的值． 28．（1）问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是_______； （2）探索延伸： 如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）结论应用： 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间夹角∠EOF=70°，试求此时两舰艇之间的距离． （4）能力提高： 如图4，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，试求出MN的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 全等三角形（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．等边三角形都全等 【答案】B 【分析】本题考查的是全等三角形的定义和性质，掌握全等形的概念、全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的定义和性质判断即可． 【详解】解：A、全等三角形是指形状和大小相同的两个三角形，该选项错误； B、全等三角形的面积相等，该选项正确； C、面积相等的两个三角形不一定都是全等三角形，该选项错误； D、等边三角形不一定都是全等三角形，该选项错误． 故选：B． 2．已知的三个内角三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，和全等的图形是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定方法，掌握三角形判定方法是解题的关键． 根据三角形判定方法判断即可解答． 【详解】解：甲与不符合两边对应相等，且夹角相等， ∴甲和已知三角形不全等； 乙与符合两边对应相等，且夹角相等， ∴根据可判定乙和与全等； 丙与符合两角对应相等，且其中一角的对边相等， ∴根据可判定丙和与全等． 故选：B． 3．如图，已知，则以下结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：， ，，，， ，即， 选项A、B、D正确，不符合题意；选项C错误，符合题意， 故选：C． 4．如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质，能熟记全等三角形的对应角相等是解此题的关键． 根据全等三角形的性质得出，，求出，根据平行线的性质得出，再求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 5．如图，中，是中线，，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及三角形三边之间的关系．构造全等三角形是解题的关键．延长，过B点作的平行线交的延长线于E点，则，则可得，因此．在中，根据三角形三边之间的关系求出的范围，则可得的范围． 【详解】解：如图，延长，过B点作的平行线交的延长线于E点． ∵是的中线， ， ， ， 又， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ． 故选：A． 6．如图， 是 的高线，与 相交于点 ．若 ，且 的面积为12，则的长度为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．利用证明，得，再根据三角形面积可得的长，从而可得答案． 【详解】解：∵，是的高线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵的面积为12， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7．如图，桌面上竖直放置一等腰直角三角板，若测得斜边的两端点到桌面的距离分别为，．已知，，则点距离桌面的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，得出，，求出的长，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（   ） A．30° B．45° C．60° D．135° 【答案】B 【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2． 【详解】 ∵在△ABC和△DBE中 ， ∴△ABC≌△DBE（SAS）， ∴∠3=∠ACB， ∵∠ACB+∠1=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∵∠2=45° ∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°， 故选B． 【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等． 9．如图，已知线段米，射线于点，射线于点 ，点从 点向运动，每秒走米，点从点向 运动，每秒走米，同时从点出发，若射线上有一点，使得和全等，则线段的长度为（    ） A．米 B．米或米 C．米 D．米或米 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，设运动时间为秒，由题意可得，，，分和两种情况解答即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：设运动时间为秒， 由题意可得，，，， ∵，， ∴， 当时，，， ∴， 解得， ∴米； 当时，，， ∴， 解得， ∴米； 综上，线段的长度为米或米， 故选：． 10．如图，在与中，，，，分别交，于点，，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，利用可证明，即可得，，，进而可判断①②正确，再利用可证明，即可判断④正确，再证明，，可知，根据题目条件，不能判断出与的大小关系，因此不能判断与是否相等，进而可知③不正确，理解并掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ，，，故②正确， ， 即，故①正确， ，，， ，故④正确， ，，， ， ， 又， ，即， ，，， ， ， 根据题目条件，不能判断出与的大小关系，因此不能判断与是否相等，故③错误， 综上，正确的有①②④； 答案：B． 2、 填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．如图，四边形四边形．若，，，则的大小为 度．    【答案】105 【分析】本题考查了全等图形的性质和四边形内角和公式，解题的关键在于熟练掌握全等图形的性质． 根据全等的性质求出，利用四边形的内角和公式求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形四边形． ， ， ， ， ， 故答案为：105． 12．如图，已知，要使，可以添加一个条件是 ．（只填一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是解决问题的关键． 由题意可得，又因为是公共边，添加，即可得出． 【详解】由题意得，， ， （AAS） 故答案为：． 13．工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法：如图，在∠AOB的边OA，OB上分别取点M，N，使OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，得到∠AOB的平分线OP.作法中用到三角形全等的判定方法是 ． 【答案】SSS 【分析】由三边相等得△POM≌△PON，即由SSS判定三角全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证. 【详解】由图可知，PM=PN，又OM=ON，OP为公共边， ∴△POM≌△PON， ∴∠AOP=∠BOP， 即OP即是∠AOB的平分线． 故答案为SSS． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养． 14．如图，在△ABC中，AB=3，BC=5，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在边BC上时，则CD的长为 . 【答案】2 【分析】根据旋转的性质得AD=AB，由∠B=60°，于是可判断△ADB为等边三角形，根据等边三角形的性质得BD=AB=3，然后利用CD=BC-BD进行计算． 【详解】∵△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上， ∴AD=AB， ∵∠B=60°， ∴△ADB为等边三角形， ∴BD=AB=3， ∴CD=BC−BD=5−3=2. 故答案为2. 15．如图，在中，，点D是外一点，连接、、，且交于点O，在上取一点E，使得，，若，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】易得，根据，求出，则， 通过证明，得出，最后根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握等边对等角，全等三角形对应角相等． 16．小明与爸妈在公园里荡秋千．如图，小明坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住他后用力一推，爸爸在处接住他．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在处接住小明时，小明距离地面的高度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，垂线定义，由直角三角形的性质得出，根据可证明，由全等三角形的性质得出，求出的长即可解答．证明是解题的关键． 【详解】解：由题意可知：，，， ∴， 又∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵水平距离、分别为和， ∴， ∵ ∴． 故答案为：． 17．如图，在中，，，于点E，于点D，，，则的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，得到，再根据线段的和差关系计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：6． 18．如图，在四边形中，平分，，，，则面积的最大值为 ． 【答案】7.5 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂线段最短，分别延长与交于点，作交延长线于点，可证明，得到，求面积最大值转化成求线段的最大值即可，解题的关键是作出辅助线，构造出全等三角形． 【详解】分别延长与 交于点， 作交 延长线于点 ，    ∵平分， ， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点重合时，最大，最大值为3， ∴， 故答案为：7.5． 3、 解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。 19．如图，点C，D在线段BF上，AB∥DE，AB=DF，BC=DE．求证：AC=FE． 【答案】证明见解析 【详解】∵AB∥DE，∴∠B=∠EDF，在△ABC与△DEF中， AB=DF，∠B=∠EDF，BC=DE，∴△ABC≌△DEF(SAS)，∴AC=FE． 20．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，，． 求证： (1)： (2)． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】 （1）由，，可得，，即可得出结论； （2）由（1）可得，根据全等三角形的性质可得，再利用等量代换即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可得，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 21．如图，在中，是的中点，，，垂足分别是、、且．求证：．    【答案】见解析 【分析】 利用“”证明即可得到：． 【详解】解：证明：是边的中点， ， 又，， ， 又∵， 在和中， ． ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定方法，比较简单． 22．补充完成下列推理过程： 如图，在中，D为线段中点，，求的取值范围． 解：作交的延长线于点E． ∵， ．（______） ∵D为线段中点， ∴．（______） ∵在与中 ∴，（______） ∴，．（______） 在中，， ∵， ∴（______）（______）． 【答案】两直线平行，内错角相等；中点定义；对顶角相等；；全等三角形对应边相等；2；7． 【分析】根据平行线的性质得出，证明，得出，．根据三角形三边关系得出，最后代入数据求出结果即可． 【详解】解：作交的延长线于点E． ∵， ．（两直线平行内错角相等） ∵D为线段中点， ∴．（中点的定义） ∵在与中， ∴， ∴，．（全等三角形对应边相等） 在中，， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形三边关系的应用，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 23．课余时间，某同学用橡皮垒了两面与桌面垂直的“墙”，“墙”的高度 两面“墙”之间刚好可以放进一块等腰直角三角形木板（如图），其中 ，点 B 在 CE上，点A，D 分别与两面“墙”的顶端重合． (1)求证∶； (2)求两面“墙”之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是∶ （1）利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质求出，，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， ∴， 即两面“墙”之间的距离为． 24．如图，在中，，为高，且，点为上一点，，连接． (1)求的长； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由； 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）根据是的高，可得，再结合，，即可证得，从而求得的长； （2）根据，可得，再根据三角形外角的性质可将转化为的内角和，再根据，即可求得，从而证得． 【详解】（1）解：是的高， ，即， 又，， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图，延长交于点， ， ， 又， ， 又， ， ． 【点睛】本题考查的是三角形的高的含义，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，四边形内角和，掌握以上知识是解题的关键． 25．如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．利用证明，继而可得出． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． 26．已知和位置如图所示，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，能够正确证明三角形全等是解题的关键． （1）证明，得出对应边相等即可； （2）证出，然后证明，得出对应角相等即可． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ． 27．如图，在中，，，，点为的中点，点在线段上以每秒个单位的速度由点向点运动，同时点在线段上以每秒个单位的速度由点向点运动，设运动时间为秒． (1)若点、的运动速度相等，时，与是否相等？请说明理由； (2)若点、的运动速度不相等，与全等时，求与的值． 【答案】(1)，理由见解析； (2)， 【分析】 本题考查了全等三角形的判定性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）根据题意即可判定，根据全等三角形的性质、平角的定义、三角形内角和定理即可得解； （2）根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 时，，， ， ， ， ，， ， ， ，， ； （2） 解：点、的运动速度不相等， ， 又与全等，， ，， ，， 解得：，． 28．（1）问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是_______； （2）探索延伸： 如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）结论应用： 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间夹角∠EOF=70°，试求此时两舰艇之间的距离． （4）能力提高： 如图4，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，试求出MN的长． 【答案】（1）EF＝BE＋FD；（2）EF＝BE＋FD仍然成立；（3）210；（4）MN＝． 【分析】（1）由△AEF≌△AGF，得EF=GF，又由BE=DG，得EF=GF=DF+DG=DF+BE；（2）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG，再证△AEF≌△AGF，得EF=FG，即可得到答案；（3）连接EF，延长AE，BF相交于点C，根据探索延伸可得EF=AE+FB，即可计算出EF的长度；（4）在△ABC外侧作∠CAD=∠BAM，截取AD=AM，连接CD，DN，证明△ACD≌△ABM，得到CD=BM，再证MN=ND，则求出ND的长度，即可得到答案． 【详解】解：（1）由△AEF≌△AGF，得EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=DF+DG=DF+BE； 故答案为：EF＝BE＋FD （2）EF＝BE＋FD仍然成立． 证明：如答图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG， ∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADG＋∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADG， 在△ABE与△ADG中，AB＝AD，∠B＝∠ADG，BE＝DG， ∴△ABE≌△ADG． ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG． 又∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠FAG＝∠FAD＋∠DAG＝∠FAD＋∠BAE＝∠BAD－∠EAF＝∠BAD－∠BAD＝∠BAD， ∴∠EAF＝∠GAF． 在△AEF与△AGF中，AE=AG，∠EAF＝∠GAF，AF=AF， ∴△AEF≌△AGF． ∴EF＝FG． 又∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF． ∴EF＝BE＋FD． （3）如答图2，连接EF，延长AE，BF相交于点C，在四边形AOBC中， ∵∠AOB＝30°＋90°＋20°＝140°，∠FOE＝70°＝∠AOB， 又∵OA＝OB，∠OAC＋∠OBC＝60°＋120°＝180°，符合探索延伸中的条件， ∴结论EF＝AE＋FB成立． ∴EF＝AE＋FB＝1.5×（60＋80）＝210（海里）． 答：此时两舰艇之间的距离为210海里； （4）如答图3，在△ABC外侧作∠CAD=∠BAM，截取AD=AM，连接CD，DN， 在△ACD与△ABM中，AC=AB，∠CAD=∠BAM，AD=AM， ∴△ACD≌△ABM， ∴CD=BM=1，∠ACD=∠ABM=45°， ∵∠NAD=∠NAC+∠CAD=∠NAC+∠BAM=∠BAC-∠MAN=45°， ∴∠MAD=∠MAN+∠NAD=90°=2∠NAD， 又∵AM=AD，∠NCD+∠MAD=（∠ACD+∠ACB）+90°=180°， ∴对于四边形AMCD符合探索延伸， 则ND=MN， ∵∠NCD=90°，CD=1，CN=3， ∴MN=ND=． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及方向角，全等三角形的判定定理有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．注意：当利用SAS判定两三角形全等时，角必须是两边的夹角． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$