5.1.1从算式到方程课件 2024—2025学年人教版数学七年级上册

5.1.1从算式到方程 第五章 一元一次方程 学习目标 理解并掌握方程、一元一次方程的概念； 理解解方程与方程的解的概念与区别； 能够根据实际问题列出正确的方程，培养方程的应用意识. 情境导入 甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发.甲队从距大本营1 km 的一号营地出发，每小时行进1.2 km；乙队从距大本营3 km的二号营地出发，每小时行进0.8 km. 多长时间后，甲队在途中追上乙队? 你能试着利用列算式的方法解决这个问题吗? (3 - 1) ÷ (1.2 - 0.8) = 5 h 甲乙两队起始相差的距离÷甲队每小时比乙队多行进的距离 我们还能用其他方法解决该问题吗？ 情境导入 【问题】阅读题干，哪些量是已知的，哪些量是未知的？ 甲、乙两队的行进速度是已知的，甲、乙两队到大本营的距离也是已知的，行进的时间和路程是未知的. 甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发.甲队从距大本营1 km 的一号营地出发，每小时行进1.2 km；乙队从距大本营3 km的二号营地出发，每小时行进0.8 km. 多长时间后，甲队在途中追上乙队? 探究新知 路程 = 速度×时间 甲队行进路程为1.2x 乙队行进路程为 0.8x 甲队距大本营的路程：(1.2x+1) km 乙队距大本营的路程：(0.8x+3) km 设两队行进的时间为 x h， 甲行进速度1.2 km/h 乙行进速度0.8km/h 【思考】甲队追上乙队时，他们距大本营的路程之间有什么关系？ 探究新知 大本营 一号营地 二号营地 峰顶 1km 3km 追上地点 1.2x 0.8x 甲队追上乙队时，他们距大本营的路程相等. 甲队距大本营的路程：(1.2x+1) km 乙队距大本营的路程：(0.8x+3) km (1.2x+1) km = (0.8x+3) km 含有未知数的等式 探究新知 用买12个大水杯的钱，可以买16个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元？ 阅读题干，你能找到题中的等量关系吗? 12个大水杯的总价 = 16个小水杯的总价. 设大水杯的单价为 x 元，那么小水杯的单价为 (x-5) 元. 单价×数量=总价 12x = 16(x - 5) 含有未知数的等式 探究新知 如图是一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周年纪念币，其面积是 4 000 mm2. 长和宽的比为8:5（即宽是长的 ）. 这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米？ 设这枚纪念币的长为x mm，则纪念币的宽可以表示为 x mm. 因此，长方形的面积为 x2 已知纪念币的面积是 4 000 mm2 x2 = 4 000. 含有未知数的等式 归纳总结 x2 = 4 000. 12x = 16(x - 5) 1.2x+1 = 0.8x+3 像这样，先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程. 【注意】方程必须具备两个条件： (1)是等式；(2)含有未知数. 两者缺一不可. 在我国古代，一般用“天元”“地元”“人元”“物元”等表示未知数.17世纪，法国数学家笛卡儿最早使用x，y，z 等字母表示未知数，这种做法一直沿用至今. 溯源 汉语中“方程”一词源于讨论含多个未知数的等式的问题.我国古代数学著作《九章算术》中有专门的“方程”章，其中以一些实际应用问题为例，给出了由几个一次方程组成的方程组的解法，称为“方程术”.19世纪50年代，清代数学家李善兰翻译外国数学著作时，开始将equation(指含有未知数的等式)一词译为“方程”. 例题练习 根据下列问题，设未知数并列出方程： （1）某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这所学校有多少名学生？ 解：(1)设这所学校的学生数为x，那么女生数为0.52x，男生数为(1-0.52)x. 女生人数 - 男生人数 = 80. 题干中的等量关系是？ 0.52x - (1 - 0.52)x = 80. 列方程，得 例题练习 根据下列问题，设未知数并列出方程： (2)如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5 m，扩大后的绿地面积是500 m2，求正方形绿地的边长. 解： (2) 设正方形绿地的边长为 x m. x x+5 扩大后的绿地面积 = 长×宽 = 500 m2. x(x+5) = 500 即 x2+5x=500. 归纳总结 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法. 这个过程可以表示如下： 设未知数，用含有未知数的等式表示相等关系 实际问题 方程 探究新知 列方程是解决实际问题的重要方法，要想得到实际问题的解，还需要求出方程中未知数的值. 对于根据本章引言中的问题列出的方程1.2x+1 = 0.8x+3，可以发现，当x = 5时，左边 = 1.2×5+1 = 7， 右边 = 0.8×5+3 = 7， 这时方程左、右两边的值相等. 归纳总结 一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解.例如，x = 5 就是方程 1.2x+1 = 0.8x+3 的解. 求方程的解的过程，叫作解方程. 【注意】方程的解是一个数值，解方程是一个过程，方程的解是通过解方程求得的. 方程的解的意义：代入方程后，使得方程的左右两边相等 例题练习 (1) x = 2，x = 是方程 2x = 3 的解吗？ 解：(1) 当x = 2时，方程2x = 3的左边 = 2×2 = 4，右边 = 3， 方程左、右两边的值不相等，所以 x = 2 不是方程 2x = 3 的解； 当x = 时，方程 2x = 3 的左边 = 2× = 3，右边 = 3， 方程左、右两边的值相等，所以 x = 是方程2x = 3的解. 例题练习 (2) x = 10，x = 20是方程 12x = 16(x - 5) 的解吗？ 解：当x = 10时，方程12x = 16(x - 5)的左边 = 12×10 = 120， 右边 = 16×(10-5) = 80，方程左、右两边的值不相等，所以 x = 10不是方程12x = 16(x-5)的解； 当x = 20时，方程12x = 16(x - 5)的左边 = 12×20 = 240， 右边 = 16×(20 - 5) = 240，方程左、右两边的值相等，所以x = 20是方程12x = 16(x-5)的解. 归纳总结 检验一个数是不是方程的解的方法： 把这个数代入方程的左、右两边 左边=右边 左边右边 是方程的解 不是方程的解 探究新知 【探究】观察方程1.2x + 1 = 0.8x + 3，3x = 4(x - 5)， 0.52x - (1 - 0.52)x = 80，回答下列问题. (1) 每个方程中，各含有几个未知数？ (2) 每个方程中未知数的次数是? (3) 等号两边的式子有什么共同点？ 1个 1次 都是整式 归纳总结 一般地，如果方程中只含有一个未知数(元)，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程. 【注意】一元一次方程成立的条件： ①等式两边都是整式；②只含有一个未知数； ③未知数的次数都是1. 溯源 用“元”表示未知教，源于我国宋元时期的“天元术”. 天元术指的是用“天元”表示未知数，进而列出方程. 现存的使用天元术的最早著作是这一时期我国数学家李冶（1192-1279）于1248年所著的《测圆海镜》，书中的“立天元一”相当于现在的“设未知数x”. 后来在研究涉及多个未知数的问题时，又引入“地元”“人元”“物元”等表示多个未知数. B A A 小结 方程： 含有未知数的等式叫做方程. 一元一次方程： 只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程. 解方程与方程的解： 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解. 求方程的解的过程，叫作解方程. 列方程的步骤： ①设未知数；②确定等量关系；③列出方程. 37 练习1在下列各式中：① ；② ；③ ； ④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ， 是方程的有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 练习2.在下列各式中：① ；② ； ③ ；④ ；⑤ ；⑥ ； ⑦ .其中是方程的有( )个. A.3 B.4 C.5 D.6 解析：① ；② ；⑦ 是方程 ③ 是代数式； ④ ；⑤ 是不等式； ⑥ 是等式；故选：A. 练习3在下列各方程中，① ，② ， ③ ，④ ，其中一元一次方程的个数为( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析：① 是二元一次方程，不是一元一次方程， ② 分母中含有未知数，不是整式方程，所以不是 一元一次方程， ③ 符合一元一次方程的定义，是一元一次方程， ④ 最高次数是2次不是1次，不是一元一次方程， 所以只③是一元一次方程，有1个，故选：A. 练习4 用方程表示下列语句所表示的相等关系： (1)七年级学生人数为n，其中男生占，女生有人； (2)一种商品每件的进价为a元，售价为进价的倍，现每 件又降价10元，现售价为每件 元. 解：（1）根据题意， （2）根据题意， . 练习5根据下列题干设未知数并列方程，然后判断它是 不是一元一次方程. （1）从60 cm长的木条上截去两段同样长的木条，还剩 下10cm长的木条，截下的每段木条的长为多少厘米？ （2）小红对小敏说：“我是6月份出生的，我的年龄的2 倍加上10，正好是我出生的那个月的总天数，你猜我几岁？” 解：（1）设截下的每段木条的长为x cm， 由题意得 ，是一元一次方程. （2）设小红x岁， 由题意得 ，是一元一次方程. 练习6 检验下列括号中的数是否为对应方程的解. （1） （ ， ）； （2） （ ， ）. 解析：（1）把 代入方程的左、右两边， 左边 ，右边 ，左边 右边， 所以 不是方程 的解； 把 代入方程的左、右两边，左边 ， 右边 ，左边=右边， 所以 是方程 的解. 解：（2）把 代入方程的左、右两边，左边 右边 ，左边=右边， 所以 是方程 的解； 把 代入方程的左、右两边，左边 ， 右边 ，左边 右边， 所以 不是方程 的解. 练习7在一次植树活动中，甲班植树的棵数比乙班多 ， 乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵.设乙班植树x棵. (1)列两个不同的含x的式子来表示甲班植树的棵数； (2)根据题意列出含未知数x的方程； (3)检验乙班、甲班植树的棵数是不是分别为25棵和35棵. 解：（1）根据甲班植树的棵数比乙班多 ， 得甲班植树的棵数为 棵； 根据乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵， 得甲班植树的棵数为 棵. （2） . 解：（3）把 分别代入（2）中方程的左边和右边， 得左边 ，右边 . 因为左边=右边，所以 是方程 的解， 即乙班植树的棵数是25棵. 由上面的检验过程可得甲班植树的棵数是30棵，而不是35棵. $$