21.2.1 配方法(1) 直接开平方法 课件 2024--2025学年人教版九年级数学上册

第二十一章 一元二次方程 21.2.1.1 直接开平方法 by：数理小筑 学习目标 学习目标： 1．会用直接开平方法解一元二次方程，理解配方的 　 基本过程，会用配方法解一元二次方程； 2．在探究如何对比完全平方公式进行配方的过程中， 　 进一步加深对化归的数学思想的理解． 学习重点： 理解配方法及用配方法解一元二次方程． 导入新课 问题1 设计师在设计人体雕像时，使雕像的上部 AC（腰以上）与下部 BC（腰以下）的高度比，等于下部 BC 与全部 AB（全身）的高度比，可以增加视觉美感． 按此比例，如果雕像的高 AB 为 2 m，那么它的下部应设计为多高？ A C B (2 － x ) m x m 解：设雕像的下部高为 x m， 据题意，列方程得 整理得　x 2 + 2x - 4 = 0． x 2 = 2 2 - x ， （　 ） 导入新课 你会解哪些方程？你是如何解的？ 思考：如何解一元二次方程？又有怎样的思想方法呢？ 二元、三元一次方程组 一元一次方程 一元二次方程 消元 降次 探究新课 问题 一桶油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2 dm2，列出方程 整理，得 x2＝25． 即x1＝5，x2＝－5． 因棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm． 根据平方根的意义，得 x＝±5． 用方程解决实际问题时，要考虑所得结果是否符合实际意义． 10×6x2＝1 500． 探究新课 ★解下列方程，并阐述你所用的方法，小组内交流. (1)x2=9 (2)x2=0 (3)x2+5=0 解：根据平方根的意义，得 x1=3，x2=-3. 解：根据平方根的意义，得 x1=x2=0. 解：移项，得x2=-5， 因为负数没有平方根，所以原方程无解. 探究新课 （2）当p＝0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根x1＝x2＝0； （3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程（Ⅰ）无实数根． 一般地，对于方程x2＝p，（Ⅰ） （1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不等的实数根 根据平方根的意义，直接用开平方的方法求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法． 例题讲解 （2）解：移项，得36x2＝1． 即 ． 二次项系数化为1，得x2＝ ． 开平方，得x＝± ． 例1 解下列方程： （2）36x2－1＝0． （1）2x2＝8； （1）解：直接开平方， 得x＋5＝±5， 即x＋5＝5或x＋5＝－5． 所以x1＝0，x2＝－10． 8 探究新课 探究：对照上面的方法，你认为应怎样解方程(x＋3)2＝5？ 由方程x2＝25，得x＝±5．由此想到： 由方程(x＋3)2＝5，① 得 即 或 ② 于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为 解法中，由方程①得到②，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程①转化为我们会解的方程了． 探究新课 1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有x2=p或(x＋n)2= p(p≥0)的形式，那么就可以用直接开平方法求解. 2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明. 能. 例题讲解 例2 解下列方程：4(x－3)2－32＝0． 解：（2）移项，得4(x－3)2＝32． 二次项系数化为1，得(x－3)2＝8． 直接开平方，得x－3＝ ． 即 或 一移 二化 三开 四解 五写 用直接开平方法解一元二次方程的步骤 所以 ， ． 11 课堂练习 1．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是（　　） A．x－6＝－4　　　　　　　　　　　　B．x－6＝4 C．x＋6＝4　　　　　　　　　　　　　D．x＋6＝－4 D 课堂练习 C．4(x－1)2＝9，解方程，得4(x－1)＝±3，x1＝ ，x2＝ D．(2x＋3)2＝25，解方程，得2x＋3＝±5，x1＝1，x2＝－4 2．下列解方程的过程中，正确的是（　　） A．x2＝－2，解方程，得x＝± B．(x－2)2＝4，解方程，得x－2＝2，x＝4 D 课堂练习 （1）方程x2＝0.25的根是___________________． （2）方程2x2＝18的根是________________． （3）方程(2x－1)2＝9的根是_______________． x1＝0.5，x2＝－0.5 x1＝3，x2＝－3 x1＝2，x2＝－1 3．填空： 课堂练习 4．解下列方程： （1）x2－81＝0；　　　（2）2x2＝50；　　　（3）(x＋1)2＝4． 解：（1）x1＝9，x2＝－9． （2）x1＝5，x2＝－5． （3）x1＝1，x2＝－3． 15 课后小结 本节课你有哪些些收获？ 如果一个一元二次方程具有x2=p或(x＋n)2= p(p≥0)的形式，那么就可以用直接开平方法求解. $$