2.3.1 两条直线交点的坐标课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.3.1两条直线交点的坐标 2024.8 教学目标： 教学重点： 教学难点： 会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标； 2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系； 能判定两条直线的位置关系及相关的直线问题． 情境导入 在平面几何中研究了两直线的位置关系，有且只有以下三种几何 特征：①平行；②重合；③相交. (1)在前面的学习中，我们用代数特征描述了两直线的平行与垂直，那么两直线的相交又如何用代数特征描述？ (2)如何求两直线相交时的交点坐标？ 知识点1　两直线的交点坐标 已知两直线 l1: A1x＋B1y＋C1＝0 l2: A2x＋B2y＋C2＝0 几何元素及关系 代数表示 点A 直线l 点A在直线l上 直线l1与l2的交点是A A(a,b) l: Ax＋By＋C＝0 l: Aa＋Bb＋C＝0 l1: A1a＋B1b＋C1＝0 l2: A2a＋B2b＋C2＝0 如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？ 如果两条直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定是它们的方程组成的方程组 的解； l1: A1x＋B1y＋C1＝0 l2: A2x＋B2y＋C2＝0 反之，如果方程组 只有一个解，那么以这个解为坐标的点就是直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0交点 l1: A1x＋B1y＋C1＝0 l2: A2x＋B2y＋C2＝0 自测：（23-24高二上·重庆长寿·期末）直线2x-y+6＝0与直线 x＋y＝3的交点坐标是（   ） A．(3,0) B．(-1,4) C．(-3,6) D．(4,-1) 2x-y+6＝0 x＋y＝3 x=-1, y=4 所以l1与l2的交点坐标为M（-1，4）.(如图所示) O x y 求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程: l1: x-2y＋2＝0; l2: 2x-y-2＝0 解：设直线方程为 x-2y＋2+λ(2x-y-2)＝0, 因为直线过原点(0，0)，将其代入上式可得：λ=1, 即所求直线方程 x-y=0 如何设经过两直线交点的直线系方程 探究3：两直线位置关系与两直线的方程组成的方程组的解的情况有何关系？ 设两条直线方程为 A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0 方程组 的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点个数 一个 ________ 零个 直线l1与l2的位置关系 ______ 重合 ______ 无数个　 相交　 平行　 知识点2　两直线的位置关系 求经过直线 与直线 的交点 M，且分别满足下列条件的直线方程. （1）与直线 平行； （2）与直线 垂直. 解方程组 ，得 , 交点是 M(－1,－2) 与直线 2x＋y－3=0 平行,可设所求直线为2x＋y+m=0 代入 M(－1,－2)得m=4，所求直线为2x＋y+4=0 与直线 2x＋y－3=0 垂直,可设所求直线为x－2y+n=0 代入 M(－1,－2)得n=－3，所求直线为x－2y－3=0 题型一 两直线相交问题 例1　分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点坐标： （1） l1：2 x － y ＝7和 l2：3 x ＋2 y －7＝0； 显然直线 l1和 l2相交， 交点坐标为（3，－1） （2） l1：2 x －6 y ＋4＝0和 l2：4 x －12 y ＋8＝0. l1： x －3 y ＋2＝0 l2： x －3 y ＋2＝0. 表明直线 l1和 l2重合.有无数个解 用代数方法求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方 程，然后联立求解.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组 ，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数个解，则两条直线重合. l1: A1x＋B1y＋C1＝0 l2: A2x＋B2y＋C2＝0 练习：1.已知直线 l1： ax ＋ y ＋1＝0与 l2：2 x － by －1＝0相交于点 M （1，1），则 a ＋ b ＝ ⁠. 将（1，1）代入两个方程得a =－2，b ＝1，所以a ＋ b ＝－1 2．已知直线2x＋y＋2＝0与ax＋4y－2＝0互相垂直，则这两条直线的交点坐标为(　　) 由两条直线互相垂直，则a =－2， 题型二 求过两直线交点的直线 例2　（2024·河源月考）求过两直线2 x －3 y －3＝0和 x ＋ y ＋2＝0的交点且与直线3 x ＋ y －1＝0平行的直线方程. 设所求直线方程为（2 x －3 y －3）＋λ（ x ＋ y ＋2）＝0， （2＋λ） x ＋（λ－3） y ＋（2λ－3）＝0. 与直线3 x ＋ y －1＝0平行， 过直线2x－y＋4＝0与x＋y＋2＝0的交点，且垂直于直线x－2y＋1＝0的直线方程为__________________． 设所求直线方程为2x－y＋4＋λ(x＋y＋2)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－1)y＋4＋2λ＝0， 因为所求直线与x－2y＋1＝0垂直， 所以(2＋λ)×1－2(λ－1)＝0， 所以λ＝4，得2x＋y＋4＝0. 过两条直线交点的直线方程的求法 （1）常规解法（方程组法）：一般是先解方程组求出交点坐标， 再结合其他条件写出直线方程； （2）特殊解法（直线系法）：先设出过两条直线交点的直线系方程，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程. 题型三 直线过定点问题 例3(2024·阳江质检)不论 m 为何值，直线(m －1)x ＋(2 m －1) y ＝ m －5恒过一定点 P ，求点 P 的坐标. m ( x ＋2 y －1)=( x ＋ y －5)， 不论 m 为何值，则 故不论 m 取何值，都过定点 P (9，－4). 解直线恒过定点问题的策略 （1）将方程化为点斜式 y － y0＝ k （ x － x0），其中 k 为参数，求得直线恒过定点（ x0， y0）； （2）赋值法：因为参数可取任意实数，所以给参数任取两次值，得 到关于 x ， y 的二元一次方程组，解方程组可得 x ， y 的值，即为直线过的定点； （3）分离参数法：将方程变形，把 x ， y 作为参数的系数，即有参数的放在一起，没参数的放在一起，因为此式子对任意的参数的值都成立，所以需系数为零，解方程组可得 x ， y 的值，即为直线过的定点. 练习：　无论实数 a 取何值，方程（ a －1） x － y ＋2 a －1＝0表示的直线恒过定点，试求该定点. a （ x ＋2）＝ x ＋ y +1 直线恒过定点(－2，1) $$