非线性回归模型与回归效果分析课件-2025届高三数学一轮复习

第46讲　数据分析——一元线性回归模型及其应用 第2课时　非线性回归模型与回归效果分析 第九章　 统计 1 视角1　指数型经验回归方程 非线性经验回归方程 举 题 说 法 云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．从中国信息通信研究院发布的《云计算白皮书(2022年)》可知，我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下： 1-1 年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 年份代码x 1 2 3 4 5 云计算市场规模y/亿元 692 962 1 334 2 091 3 229 【解答】 视角2　对数型经验回归方程 某乡村合作社借助互联网直播平台进行农产品销售，众多网红主播参与到直播当中，在众多网红直播中，统计了10名网红直播的观看人次xi和农产品销售量yi(i＝1，2，3，…，10)的数据，得到如图所示的散点图． 1-2 【解答】 某乡村合作社借助互联网直播平台进行农产品销售，众多网红主播参与到直播当中，在众多网红直播中，统计了10名网红直播的观看人次xi和农产品销售量yi(i＝1，2，3，…，10)的数据，得到如图所示的散点图． 1-2 (2) 对数据作出如下处理，得到相关统计量的值如右表： 【解答】 视角1　残差分析 回归效果分析 【解答】 散点图如图所示． 假定产品产量x(单位：千件)与单位成本y(单位：元/件)之间存在相关关系．数据如右： 2-1 x 2 3 4 3 4 5 y 73 72 71 73 69 68 (1) 以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图； 假定产品产量x(单位：千件)与单位成本y(单位：元/件)之间存在相关关系．数据如下： 2-1 x 2 3 4 3 4 5 y 73 72 71 73 69 68 (2) 求y与x之间的经验回归方程，当单位成本为70元/件时，预报产量为多少； 【解答】 【解答】 假定产品产量x(单位：千件)与单位成本y(单位：元/件)之间存在相关关系．数据如下： 2-1 x 2 3 4 3 4 5 y 73 72 71 73 69 68 (3) 计算各组残差，并计算残差平方和． 注：保留两位有效数字． 视角2　决定系数 如图是某企业2016年至2022年的污水净化量(单位：吨)的折线图． 2-2 注：年份代码1～7分别对应年份2016～2022. (1) 由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请建立y关于t的回归方程，并预测2025年该企业的污水净化量； 【解答】 如图是某企业2016年至2022年的污水净化量(单位：吨)的折线图． 2-2 注：年份代码1～7分别对应年份2016～2022. (2) 请用决定系数说明回归方程预报的效果． 随 堂练习 1．下列四幅残差分析与一元线性回归模型拟合精度最高的是 (　　) D 【解析】 由图知D中残差均匀分布在横轴附近，故D中图象与一元线性回归模型拟合精度最高． A B C D 【解答】 2．经验表明，树高y与胸径x具有线性关系，为了解回归方程的拟合效果，利用右面数据计算残差，用来绘制残差图． 【解析】 由表可得，各组数据的残差为18.9－18.6＝0.3，19.4－19.3＝0.1，20.8－21.5＝－0.7，22.8－23＝－0.2，24.8－24.4＝0.4，故残差最大值为0.4，最小值为－0.7. 则残差的最大值和最小值分别是 (　　) A．0.4，－1.8 B．1.8，－0.4 C．0.4，－0.7 D．0.7，－0.4 C 3．某部门统计了某地区今年前7个月在线外卖的规模如下表： 月份代号x 1 2 3 4 5 6 7 在线外卖规模y/百万元 11 13 18 ★ 28 ★ 35 【解析】 【答案】B 4．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点图： 由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是 (　　) A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2 C．y＝a＋bex D．y＝a＋b ln x 【解析】 【答案】D 由散点图可见，数据分布成递增趋势，但是呈现上凸效果，即增加缓慢．对于A，y＝a＋bx是直线型，均匀增长，不符合要求； 对于B，y＝a＋bx2是二次函数型，函数y＝a＋bx2(b≠0)的对称轴为y轴，当b＞0时，图象呈现下凸，增长也较快，不符合要求，当b＜0时，图象呈现上凸，呈递减趋势，不符合要求； 对于C，y＝a＋bex是指数型，爆炸式增长，增长快，不符合要求； 对于D，y＝a＋b ln x是对数型，增长缓慢，符合要求． 配套精练 22 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，其中拟合效果最好的是 (　　) A．模型1的决定系数R2＝0.05 B．模型2的决定系数R2＝0.49 C．模型3的决定系数R2＝0.89 D．模型4的决定系数R2＝0.98 D 【解析】 决定系数R2越大(接近1)，模型的拟合效果越好；决定系数R2越小，模型的拟合效果越差. 模型4的决定系数最大、最接近1，其拟合效果最好． 2．研究变量x，y得到一组样本数据，进行回归分析，以下说法错误的是(　　) A．若变量x和y之间的相关系数为r＝－0.992，则变量x和y之间的负相关很强 B．用决定系数R2来比较两个模型拟合效果，R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 D 【解析】 3．以模型y＝cekx(c＞0)去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝ln y，将其变换后得到经验回归方程z＝2x－1，则k，c的值分别是 (　　) B 【解析】 4．某兴趣小组研究光照时长x(单位：h)和向日葵种子发芽数量y(单位：颗)之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉D(10，2)后，则下列说法正确的是 (　　) A．样本相关系数r变小 B．决定系数R2变小 C．残差平方和变大 D．解释变量x与预报变量y的相关性变强 【解析】 【答案】D 从图中可以看出D(10，2)较其他点偏离直线远，故去掉D(10，2)后，回归效果更好． 对于A，y与x正相关，r＞0，样本相关系数r越接近于1，模型的拟合效果越好，去掉D(10，2)后，样本相关系数r变大，故A错误； 对于B，决定系数R2越接近于1，模型的拟合效果越好，去掉D(10，2)后，决定系数R2变大，故B错误； 对于C，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，去掉D(10，2)后，残差平方和变小，故C错误； 对于D，去掉D(10，2)后，解释变量x与预报变量y的相关性变强，且是正相关，故D正确． 【解析】 【答案】BCD 对于C，在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，说明拟合精度越高，即拟合效果越好，故C正确； 对于D，由决定系数R2的意义可知，R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故D正确． A．由散点图可知，大气压强与海拔高度负相关 B．由方程y1＝－4.0x＋68.5可知，海拔每升高1千米，大气压强必定降低4.0kPa C．由方程y1＝－4.0x＋68.5可知，样本点(11，22.6)的残差为－1.9 D．对比两个回归模型，结合实际情况，方程y2＝132.9e-0.163x的预报效果更好 【解析】 【答案】ACD 对于A，由图象知，海拔高度越高，大气压强越低，所以大气压强与海拔高度负相关，故A正确； 对于B，经验回归方程得到的数据为估计值，而非精确值，故B错误； 对于D，随着海拔高度的增加，大气压强越来越小，但不可能为负数，因此方程y2＝132.9e-0.163x的预报效果更好，故D正确． 三、 填空题 7．若一个样本的观测值与均值的差的平方和为80，残差平方和为60，则决定系数R2＝________． 0.25 【解析】 【解析】 －0.1 9．为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x(单位：dm2)与水生植物的株数y(单位：株)之间的相关关系，收集了4组数据，用模型y＝cekx(c＞0)去拟合x与y的关系，设z＝ln y，x与z的数据如右表所示． 【解析】 x 3 4 6 7 z 2.5 3 4 5.9 e0.35 四、 解答题 10．已知x与y之间的数据如下表： 【解答】 x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 (1) 求y关于x的经验回归方程； 四、 解答题 10．已知x与y之间的数据如右表： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 (2) 完成下面的残差表，并判断(1)中经验回归方程的回归效果是否良好(若R2＞0.9，则认为回归效果良好)． 参考公式及数据： 【解答】 【答案】 11．某公司研制了一种对人畜无害的灭草剂，为了解其效果，通过实验，收集到其不同浓度x(mol/L)与灭死率y的数据，如下表： 【解答】 浓度x(mol/L) 10-12 10-10 10-8 10-6 10-4 灭死率y 0.1 0.24 0.46 0.76 0.94 11．某公司研制了一种对人畜无害的灭草剂，为了解其效果，通过实验，收集到其不同浓度x(mol/L)与灭死率y的数据，如下表： 浓度x(mol/L) 10-12 10-10 10-8 10-6 10-4 灭死率y 0.1 0.24 0.46 0.76 0.94 (2) ①根据(1)的选择结果及表中数据，求出所选经验回归方程； ②依据①中所求经验回归方程，要使灭死率不低于0.8，估计该灭草剂的浓度至少要达到多少mol/L? 【解答】 u －12 －10 －8 －6 －4 y 0.1 0.24 0.46 0.76 0.94 谢谢观赏 9.4 30.3 2 (xi－)2 (ωi－)2 366 6.6 (xi－)(yi－) (ωi－)(yi－) 439.2 66 其中令ωi＝ln xi，＝ωi.根据(1)的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程，并预测当观看人次为280万人时的销售量．,参考数据：ln 2≈0.69，ln 7≈1.95. 参考数据：＝54，(ti－)(yi－)＝21， ≈3.74，(yi－i)2＝. 胸径x/cm 18.2 19.1 22.3 24.5 26.2 树高的观测值y/m 18.9 19.4 20.8 22.8 24.8 树高的预测值/m 18.6 19.3 21.5 23.0 24.4 其中4，6两个月的在线外卖规模数据模糊，但这7个月的平均值为23.若利用经验回归方程＝x＋来拟合预测，且7月相应于点(7，35)的残差为－0.6，则－＝ (　　) A．1.0 B．2.0 C．3.0 D．4.0 8．已知变量x和y的统计数据如下表： x 6 7 8 9 10 y 3.5 4 5 6 6.5 若由表中数据得到经验回归方程为＝0.8x＋，则x＝10时的残差为_________．(注：观测值减去预测值称为残差) x 2 3 4 5 6 yi－i x 2 3 4 5 6 yi－ －0.34 0.03 0.5 0.27 －0.46 $$