3.1.2函数的表示法第2课时（求函数解析式方法）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章 函数概念与性质 3.1.2 函数的表示法 第2课时 求函数解析式的方法 学习目标： 1．了解求函数解析式的方法，学会用多种方法来求函数的解析式． 2．经历探索求函数解析式的过程，感悟数与形结合以及积累数学抽象的经验． 3．能选择不同的方法求解函数的解析式，能针对具体问题，灵活运用不同的方法． 学习重点： 对函数的了解，用多种方法来求函数的解析式. 学习难点： 待定系数法、换元法、配凑法等方法的运用． 学习目标——明确方向，把握重、难点 练习：已知函数f(x)=3x2-5x+2,求f(- )，f(-a),f(a+3),f(a)+f(3)的值. 解：∵f(x)=3x²-5x+2 f(-)=3×()²-5×(-)+2=8+5 f(-a)=3×(-a)²-5(-a)+2=3a²+5a+2 f(a+3)=3×(a+3)²-5(a+3)+2=3a²+13a+14 f(a)+f(3)=3a²-5a+2+3×3²-5×3+2=3a²-5a+16 综上所述,结论是:f(-√2)=8+5; f(-a)=3a²+5a+2; f(a+3)=3a²+13a+14; f(a)+f(3)=3a²-5a+16. 问题：若已知f(a+3)=3a²+13a+14 ，你能反过来求出函数f(x)的解析式吗？ 复习回顾 探究一：待定系数法 例1.已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式. 解：设所求的二次函数的解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 因为f(0)=1,所以c=1,则f(x)=ax2+bx+1. 又因为f(x+1)-f(x)=2x, 所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x. 即2ax+a+b=2x, 由恒等式性质，得2a=2, a+b=0, 所以a=1，b=-1. 所以所求二次函数的解析式为f(x)=x2-x+1. 探究一：待定系数法 变式练习1：若f(x)是一次函数，f(0)=1，f(x+1)-f(x)=2,，则函数f(x)的解析式. 解：设f(x)=kx+b(k≠0)， 由f(0)=1,可得b=1,则f(x)=kx+1(k≠0). 因为f(x+1)-f(x)=2, 所以k(x+1)+1-(kx+1)=2，解得k=2, 所以f(x)=2x+1. 总结归纳：已知f(x)的函数类型， 要求f(x)的解析式时，可先根据 函数类型设出其解析式，再结合已知条件确定该解析式的系数即可。 探究二：换元法 例2.已知f(2x-1)=x2+x+1,求f(x). 解：设2x-1=t,则x=, 所以f(t)=()2+ +1= + t + , 即f(x)= x2 + x + . 练习：已知f(2x-1)=x2+x+1,则f(1)= ，f(3)= . 3 7 总结归纳：已知函数 的解析式 ，求 解析式.可先令 ,再求出 的解析式，然后用 代替 解析式中所有的 即可. 探究二：换元法 变式练习2：若f(x+1)=x2-3x+2，求f(x). 解：令t=x+1，则x=t-1， 所以f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6. 所以f(x)=x2-5x+6. 想一想： 本题还有没有其它的方法？ 探究三：配凑法 练习：若f(x)=x2-5x+6，则f(x+1)= . 解：因为f(x)=x2-5x+6 所以f(x+1)=(x+1)2-5(x+1)+6 =x2-3x+2 x2-3x+2 思考：若f(x+1)=x2-3x+2 ，则f(x)= . x2-5x+6 解：因为f(x+1)=x2-3x+2 =(x+1)2-5(x+1)+6 所以f(x)=x2-5x+6 将已知函数解析式中的自变量x,通过一定变形或改写成含有x+1的形式 将x+1代换为x即可 探究三：配凑法 例3.已知f(+1)=x+2，求f(x). 总结归纳：已知f(g(x))的解析式，求f(x)解析式.可从f(g(x)的解析式中配凑出g(x)，即用g(x)来表示，再将解析式的两边的g(x)用x代替即可。一般地利用完全平方公式。 法二：配凑法 解：因为x+2=（+ 1）2-1, 所以f(+1)=（+1）2-1, 又因为+1≥1， 所以f(x)=x2-1(x≥1). 法一：换元法 解：令+1=t(t≥1)，则x=(t-1)2， 所以f(t)=(t-1)2+2=t2-1, 所以f(x)=x2-1(x≥1). 探究三：配凑法 变式练习3.已知f(x+1)=x2+2x+2,求f(x). 解:因为f(x+1)=x2+2x+2=(x+1)2+1, 所以f(x)=x2+1. 巩固练习 1.若f(x)是一次函数，且f(x-1)=3x-5,则f(x)的解析式为( ) A.f(x)=3x+2 B.f(x)=3x-2 C.f(x)=2x+3 D.f(x)=2x-3 2.（多选题）已知函数f(2x+1)=4x2，则下列结论正确的是（ ） A.f(3)=36 B.f(-3)=16 C.f(x)=4x2 D.f(x)=x2-2x+1 巩固练习 3.已知f(2x+1)=4x+4,则f(1)的值为（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 4.若函数f(2x+1)=3x+2，且f(a)=2,则a的值等于（ ） A.8 B.1 C.5 D.-1 5.已知f(x+ )=x2+ ,则f(x)=__________． 巩固练习 6.若函数f(x)为一次函数，且满足f(f(x))=4x-1，求f(x)的解析式. 7.已知函数f(x)满足f(x)-2f( )=2x-1，x≠0，求f(1),f(2)，以及f(x)的解析式. 知识梳理 1.待定系数法 2.换元法 3.配凑法 求函数解析式的常用方法： $$