专题08 对称图形—圆50道压轴题型专训（10大题型）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题08 对称图形—圆50道压轴题型专训（10大题型） 【题型目录】 题型一 垂径定理压轴题型 题型二 圆周角压轴题型 题型三 直线与圆的位置关系压轴题型 题型四 正多边形与圆压轴题型 题型五 弧长、扇形面积和圆锥侧面积压轴题型 题型六 圆中旋转压轴题型 题型七 圆中翻折压轴题型 题型八 圆中最值压轴题型 题型九 圆中动点压轴题型 题型十 圆与三角形的综合 【经典例题一 垂径定理压轴题型】 1．（2024·江苏泰州·一模）如图，内接于，，，垂足为D． (1)请用无刻度的直尺在上找一点P，使得平分，保留作图痕迹，并说明理由； (2)若，，求的长． 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）是的直径，弦，垂足为H，连接，，． (1)如图1，连接，，若H是的中点，求证：四边形是菱形． (2)如图2，作的平分线，交于点E，求证：E为的中点． (3)如图3，若的半径是1，，求点O到弦的距离． 3．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，是的直径，点是上一点，连接，半径弦， (1)求证：弧弧的长． (2)在如图上，连接、相交于点，与相交于点，连接，若的半径为，，求的长． (3)如图，在的延长线上取一点，使，交弧于点若，，求的长． 4．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）（1）如图1，内接于，若，弦，求半径r的值； （2）如图2，四边形的四个顶点均在上，若，，点为弧上一动点（不与点、点重合）．求证：． 5．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）据《尔雅·释器》记载：“好倍肉，谓之瑗（yuàn）．”如图1，“好”指中间的孔，“肉”指中孔以外的边（阴影部分），“好倍肉”指中孔和环边比例为． (1)观察： “瑗”的主视图可以作两个同心圆，根据图1中的数据，可得小圆与大圆的半径之比是_______； (2)联想： 如图2，在中，，，平分交于点，则_______； (3)迁移： 图3表示一个圆形的玉坯，若将其加工成玉瑗，请利用圆规和无刻度的直尺先确定圆心，再以题（2）的知识为作图原理作出内孔．（不写作法，保留作图痕迹） 【经典例题二 圆周角压轴题型】 6．（2024·江苏盐城·三模）内接于，过点作于点，延长交于点连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，连接，若，试说明线段与的差为定值． 7．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形中，以边为直径的交于点，作，依次交于点，交于点，交于点，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 8．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图1，为的直径，于点E，，与交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)连接，，如图2，求证：． 9．（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，正方形内接于，P是上一动点，连接与交于点Q． (1)如图1，连接，则______；若，则点O到的距离的长为______． (2)如图1，若P为的中点，求证：． (3)如图2，若，求的值． 10．（22-23九年级上·江苏常州·期中）[学习心得] （）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决 例如：如图，在中，，，是外一点，且，长为半径作辅助圆，则两点必在上，则_______． [初步运用] （）如图，在四边形中，，，则_______； [方法迁移] （）如图，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）： [问题拓展] （）如图，已知矩形，，，为边上的点，若满足的点恰好有两个，则的取值范围_______． 如图，在中，，且，，求． 【经典例题三 直线与圆的位置关系压轴题型】 11．（2024·江苏镇江·二模）如图①，四边形是菱形，是的外接圆． (1)求证：圆心O在直线上； (2)如图②，当时，求证：与相切； (3)当与菱形的边有五个公共点时，直接写出的取值范围． 12．（2024·江苏宿迁·二模）在平面直角坐标系中对于已知的点C和图形W，给出如下定义：若存在过点C的直线l，使之与图形W有两个公共点P，Q，且C，P，Q三点中，某一点恰为另两点所连线段的中点，则称点C是图形W的“相合点”． (1)已知点，线段与线段组成的图形记为W； ①点中，图形W的“相合点”是　　　　　　； ②点M在直线上，且点M为图形W的“相合点”，求点M的横坐标m的取值范围； (2)的半径为r，直线与x轴，y轴分别交于点E，F，若在线段上存在外的一点P，使得点P为的相合点，直接写出r的取值范围． 13．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，点为的垂直平分线与的交点，以为圆心，为半径作与的另一个交点为点，且__________，__________． 给出以下信息：①，②，③与相切． (1)请从中选择其中的两个信息作为条件，余下的一个信息作为结论，使之构成真命题，将对应的序号填到下面横线上方，并加以证明． 条件：__________，__________，结论：__________ (2)如图2，在（1）的条件下，点D在上，且，连接，求证∶． 14．（2024·江苏南京·三模）如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M． (1)求证：直线是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 15．（2024·江苏常州·二模）给出如下定义：点，点是平面直角坐标系中不同的两点，且，若存在一个正数，使点、的坐标满足，则称、为一对“斜关点”，叫点、的“斜关比”，记作．由定义可知，．例如：若，，有，所以点、为一对“斜关点”，且“斜关比”为． 如图，已知平面直角坐标系中，点、、、． (1)在点、、、中，写出一对“斜关点”是________，此两点的“斜关比”是________（只需写出一对即可）． (2)若存在点，使得点、是一对“斜关点”，点、也是一对“斜关点”，且，求点的坐标． (3)若的半径是，是上一点，满足的所有点，都与点是一对“斜关点”，且．请直接写出点横坐标的取值范围． 【经典例题四 正多边形与圆压轴题型】 16．（2024·江苏苏州·一模）古建中的数学：古亭探“优”． 【了解】 “江山无限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称，有利于减弱风力、抵御地震，如图①，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形． 【探索】 先将正方形、完全重合，再将正方形绕其中心旋转一定的角度，就得到了正八边形，如图②，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法． （1）旋转的角度最小为_______º； （2）若正八边形的边长为2，则正方形的边长为______； （3）连接，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； 【作图】 （4）如图③，已知正方形请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形，并使其所有顶点均落在正方形的边上．（保留作图痕迹，并写出必要的说明） 17．（2023·陕西西安·一模）如图，正六边形内接于． (1)若P是上的动点，连接，，求的度数； (2)已知的面积为，求的面积． 18．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，等腰内接于，． (1)如图1，若，连接并延长交于点D，交于点H． ①弧的度数为：______；与的数量关系是：______． ②请你仅使用无刻度的直尺在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）； (2)如图2，若，E是的中点，请你仅使用无刻度的直尺在图2中，作一个的内接正五边形（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）． 19．（2023·河北邯郸·二模）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如）始终垂直于水平线l．    (1)________° (2)若，的半径为10，小圆的半径都为1： ①在旋转一周的过程中，圆心M与l的最大距离为________； ②当圆心H到l的距离等于时，求的长； ③求证：在旋转过程中，的长为定值，并求出这个定值． 20．（2023九年级·江苏·专题练习）[阅读与思考]如图①，在正三角形 中，点 ， 是，上的点，且 ，则， 　　； 如图②，在正方形 中，点，是，上的点，且，则， 　　； 如图③，在正五边形 中，点，是，上的点，且，则， 　　； [理解与运用]在正六边形 中，点，是，上的点，且，则， 　　； 在正十边形 中，点，是，上的点，且，则， 　　； [归纳与总结]根据以上规律，在正 边形 中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点，是 ，上的点，且， 与 相交于；也会有类似的结论，你的结论是　　． 【经典例题五 弧长、扇形面积和圆锥侧面积压轴题型】 21．（2024·湖北孝感·模拟预测）四边形内接于是延长线上一点，． (1)求证：是的切线： (2)若，求图中阴影部分的面积． 22．（2024·河北唐山·二模）如图，在正方形中，， 以点C 为圆心，1为半径作圆，交于点E，P 是上的任意一点，将点P 绕点D 顺时针方向旋转，得到点Q，连接，． (1)连接，求证：； (2)当与相切于正方形外部时，求线段被所截弦的长； (3)当时，求劣弧的长度 ． 23．（2024·河南·三模）如图，以的边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与边交于点E，D为上一点，于点O，连接交于F，． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的半径． (3)若，，则阴影部分的面积为 ． 24．（22-23九年级上·广西南宁·期末）综合与实践 问题情境：如图1，将一个底面半径为的圆锥侧面展开，可得到一个半径为，圆心角为的扇形.工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料. (1)探索尝试：图1中，圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长________；（填“相等”或“不相等”）若，，则________. (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求的值，请用含，的式子表示； (3)拓展延伸：图2是一种纸质圆锥形生日帽，，，是中点，现要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，求彩带长度的最小值. 25．（22-23九年级上·江苏镇江·期中）如图，在一张四边形的纸片中，，，，以点为圆心，为半径的圆分别与交于点． (1)求证：与相切； (2)过点B作的切线；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)若用剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？ 【经典例题六 圆中旋转压轴题型】 26．（23-24九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，，，直线经过点．设，于点，将射线绕点按逆时针方向旋转，与直线交于点．    (1)判断：__________； (2)若，求的长； (3)若的外心在三角形内部（不包括边上），直接写出的取值范围． 27．（2024·江苏宿迁·一模）定义：对于平面内的两点、，若点是点绕点旋转度所得到的点，则称点是点关于点的旋转点；是旋转角，若旋转角小于，则称点是点关于点的锐角旋转点．如图1，点是点关于点的旋转点．    (1)已知点，点，在点，，中，是点关于点的锐角旋转点的是________． (2)已知点，点在直线上，若点是点关于点的锐角旋转点，求实数的取值范围． 28．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）“启智”数学兴趣小组对图形的旋转展开进一步探究，总结了一些方法和规律，请你完成相关问题．（画图工具不限，不写画法）    (1)动中有定： 如图1，是边长为的等边三角形． ①将点绕点顺时针旋转一周，点的对应点为点，请在图1中画出点的运动路径，当点不与A、B重合时，可得__________或__________； ②将边绕点顺时针旋转一周，请在图1中画出线段扫过的区域（用阴影表示，画出必要的辅助线），并求出该区域的面积． (2)以静制动： 如图2，中，，，将绕点旋转得，点P是线段上一个动点，点M是的中点． ①线段的最小值是__________，最大值是__________； ②点P到直线的距离为h，当时，求h的取值范围． 29．（21-22九年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知AB⊥MN于点B，且AB＝10cm，将线段AB绕点B按逆时针方向旋转角α（0≤α≤360°）得到线段BC，过点C作CD⊥MN于点D，⊙O是△BCD的内切圆，直线AO、BC相交于点H． (1)若α＝60°，则CD＝ cm． (2)若AO⊥BC ①点H与⊙O的位置关系是 A．点H在⊙O外 B．点H在⊙O上 C．点H在⊙O内 ②求线段AO的长度． (3)线段AB绕点B按逆时针方向旋转90°，求点O运动的路径长． 30．（2022·河北石家庄·三模）如图1，已知AB是半圆O的直径，，点D是线段AB延长线上的一个动点，直线DF垂直于射线AB于点D，在直线DF上选取一点C（点C在点D的上方），使，将射线CD绕点D逆时针旋转，旋转角为． (1)若OD=5，求点C与点O之间距离的最小值； (2)当射线DC与⊙O相切于点C时，求劣弧BC的长度； (3)如图2，当射线CD与半圆O相交于点C，另一交点为E时，连接AE，OC，若AE//OC． ①猜想AE与OD的数量关系，并说明理由； ②求此时旋转角的度数． 【经典例题七 圆中翻折压轴题型】 31．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点D，连接．    (1)如图1，若点D与圆心O重合，，求的半径； (2)如图2，若点D与圆心O不重合，，请求出的度数； (3)如图2，如果，，那么的长为____________．（直接写出答案） 32．（23-24九年级上·江苏镇江·期末）如图，等腰中，，点A、C在上，为的直径，将沿翻折，点B的对应点D恰好落在上． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 33．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图1，扇形中，，，点C在半径上，连接．把沿翻折，点O的对称点为点D．    (1)当点D刚好落在弧上，求弧的长； (2)如图2，点D落在扇形内，的延长线与弧交于点E，过点D作，垂足为F，，求的长； (3)若点D落在扇形外，与弧交于点E，过点D作，垂足为F，试探究与之间的数量关系．请直接写出你的结论为：______． 34．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图1，扇形中，，，点P在半径上，连接．    (1)把沿翻折，点O的对称点为点Q． ① 当点Q刚好落在弧上，求弧的长； ② 如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为 H，、求的长； (2)如图3，记扇形在直线上方的部分为图形W，把图形W沿着翻折，点B的对称点为点E，弧与交于点F，若，求的长． 35．（19-20九年级上·安徽淮南·阶段练习）阅读下列材料，回答问题. 材料：求圆外一定点到圆上距离最小值是安徽省中考数学较为常见的一种题型，此类题型试题有时出题者将圆隐藏，故又称为“隐圆问题”.解决这类问题，关键是要找到动点的运动轨迹，即该动点是绕哪一个定点旋转，且能保持旋转半径不变.从而找到动点所在的隐藏圆，进面转换成圆外一点到圆心的距离减半径，求得最小值. 解决问题： （1）如图①，圆O的半径为1，圆外一点A到圆心的距离为3，圆上一动点B，当A、O、B满足条件____________时，有最小值为____________. （2）如图②，等腰两腰长为5，底边长为6，以A为圆心，2为半径作圆，圆上动点P到的距离最小值为__________. （3）如图③，，P、Q分别是射线、上两个动点，C是线段的中点，且，则在线段滑动的过程中，求点C运动形成的路径长，并说明理由. （4）如图④，在矩形中，，，点E是中点，点F是上一点，把沿着翻折，点B落在点处，求的最小值，并说明理由. （5）如图⑤，在中，，，，以边中点O为圆心，作半圆与相切，点P，Q分别是边和半圆上的动点，连接，求长的最小值，并说明理由. 【经典例题八 圆中最值压轴题型】 36．（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图所示，是的直径，，是的两条弦，于点M，于点N，． (1)求的长； (2)若点P为上的动点，请确定点 P 的位置，使得的值最小，并求出最小值 37．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）定义：能完全覆盖平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆． (1)如图①，线段，则线段AB的最小覆盖圆的半径为　　　　； (2)如图②，中，，，，请用尺规作图，作出的最小覆盖圆（保留作图痕迹，不写作法）． (3)如图③，矩形中，，，若用两个等圆完全覆盖该矩形，那么这两个等圆的最小半径为　　　　． 38．（22-23九年级上·江苏淮安·阶段练习）【观察思考】 某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图.其工作原理是：滑块在平直滑道上可以左右滑动，在滑动的过程中，连杆也随之运动，并且带动连杆绕固定点摆动.在摆动过程中，两连杆的接点在以为半径的上运动.数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点作于点，并测得分米，分米，分米. 【解决问题】 (1)点在上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是_________分米. (2)如图3，小明同学说：“当点滑动到点的位置时，与是相切的.”你认为他的判断对吗？为什么？ (3)①小丽同学发现：“当点运动到上时，点到的距离最小.”事实上，还存在着点到距离最大的位置，此时，点到的距离是_________分米； ②当绕点左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数. 39．（21-22九年级上·山东青岛·期末）几何模型： 条件：如图1，A、B是直线l同侧的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小， 方法：作点B关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小． 直接应用： (1)如图2，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且，N是AC上一动点，则的最小值为______． 变式练习： (2)如图3，点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是的中点，P是直径MN上一动点，求的最小值． 深化拓展： (3)如图4，在锐角中，，，的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求的最小值． (4)如图5，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使．（要求：保留作图痕迹，并简述作法．） 40．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）观赏展品时视角越大越理想．如图所示，墙壁上一副展品距地面最高处为点、最低处为点，人观看展品时眼睛可以在水平线上移动． (1)请证明：当过三点的圆与水平线相切于点时，视角最大． (2)若展品距地面最高、最低，小明身高，他站在与墙水平距离多远处，观赏展品最理想？ 【经典例题九 圆中动点压轴题型】 41．（2024·江苏淮安·一模）如图，是的直径，，延长至点C，使．动点P从点A 出发，沿圆周按顺时针方向以每秒个单位的速度向终点B运动，设运动时间为t秒，连接，作点C关于直线的对称点D，连接、、、．    (1)当时． ①求的度数； ②判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求t的值． 42．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）[问题提出]我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ [初步思考] (1)如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则______， _____； (2)如图2，是的弦，圆心角，点是上不与、重合的一点，求弦所对的圆周角的度数为_______________；（用m的代数式表示） [问题解决] (3)如图3，已知线段，点在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形（① 直尺为无刻度直尺；② 不写作法，保留作图痕迹）； [实际应用] (4)如图4，在边长为6的等边三角形中，点、分别是边、上的动点，连接、，交于点，若始终保持，当点E从点A运动到点C时，点P运动的路径长是__________________． 43．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，点E从点A出发以每秒1个单位长度向点B运动，同时点F从点C出发以每秒1个单位长度向点D运动，当点E、F运动到终点时停止运动．设运动的时间为t秒．    (1)当点E、F的距离是点E、A距离的两倍时，求t的值； (2)当以为直径的圆与相切时，求t的值； (3)在运动的过程中，点B到的最远距离为______． 44．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图1，在中，，，厘米，点从点开始沿边向点以每秒2厘米的速度移动，同时点从点开始沿边向点以每秒1厘米的速度移动，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动．求： (1)点从点出发，经过几秒的面积等于1平方厘米？ (2)是否存在以点为圆心、为半径的圆与直线相切，若存在，求出经过几秒相切？若不存在，请说明理由； (3)如图2，点是内的一个动点，且满足，求线段的最小值． 45．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）阅读理解： （1）【学习心得】 学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．    ①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 °． ②类型二，“定角+定弦”：如图，中，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：∵， ∴，∵，∴， ∴ ，（定角） ∴点P在以（定弦）为直径的上，请完成后面的过程． （2）【问题解决】 如图3，在矩形中，已知，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为 ． （3）【问题拓展】 如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P． ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 【经典例题十 圆与三角形的综合】 46．（23-24九年级上·河南三门峡·期末）如图，三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么这个三角形可称为“等中三角形”，探索体验 （1）如图①，点D是线段的中点，请画一个，使其为“等中三角形”． （2）如图②，在 中， ，判断是否为“等中三角形”，并说明理由． 拓展应用 （3）如图③，正方形木板的边长，请探索在正方形木板上是否存在点P，使为面积最大的“等中三角形”？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 47．（2024·山西晋城·三模）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 三角形中线定理 三角形中线定理又称阿波罗尼奥斯定理，是一种平面几何的定理之一，指三角形三边和中线长度关系． 阿波罗尼奥斯（约公元前262-190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德合称为古希腊亚历山大前期的三大数学家． 中线定理：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在中，点D为BC的中点，根据“阿波罗尼奥斯”，可得．下面是该定理的证明过程（部分）： 证明：过点A作于点E，如图2，在中，， 同理可得：，， 证明的方便，不妨设，， … 任务： (1)按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分； (2)如图3，在中，点为的中点，，，，则的长为______； (3)如图4，已知平行四边形中，和相交于点，设，，请直接用含，的代数式表示的值； (4)如图5，已知平行四边形内接于，点为内一点，若，，，，请直接写出的长． 48．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）已知、为圆上两定点，点在该圆上，为弧所对的圆周角． 【知识回顾】 （1）如图1，在中，点、位于直线的异侧，． ①求的度数； ②若的半径为10，，求的长； 【知识应用】 （2）尺规作图：如图2，是的直径，为圆心，在直径上方的半圆上找两点、，使得（保留作图痕迹，不写作法）； 【逆向思考】 （3）如图3，若为圆内一点，且，，．求证：点为该圆的圆心． 49．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知关于的一元二次方程为常数且． (1)求证：方程一定有两个实数根； (2)若方程的两根为、且、都为整数，，求整数的值； (3)在（2）的条件下，如图，平面直角坐标系中，，，以为直径作，与轴交于C、D．点在平面内运动． ①若点在上，求的值； ②若为锐角三角形，直接写出的取值范围． 50．（23-24九年级上·江苏南通·期末）在中，已知，，．    (1)如图①，与的三边都相切，求的半径； (2)如图②，与是内互相外切的两个等圆，且分别与，的两边都相切，求这两个等圆的半径；； (3)如图③，若，若内有个依次外切且都与相切的等圆，、分别与，相切，求这些等圆的半径． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 对称图形—圆50道压轴题型专训（10大题型） 【题型目录】 题型一 垂径定理压轴题型 题型二 圆周角压轴题型 题型三 直线与圆的位置关系压轴题型 题型四 正多边形与圆压轴题型 题型五 弧长、扇形面积和圆锥侧面积压轴题型 题型六 圆中旋转压轴题型 题型七 圆中翻折压轴题型 题型八 圆中最值压轴题型 题型九 圆中动点压轴题型 题型十 圆与三角形的综合 【经典例题一 垂径定理压轴题型】 1．（2024·江苏泰州·一模）如图，内接于，，，垂足为D． (1)请用无刻度的直尺在上找一点P，使得平分，保留作图痕迹，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)图见解析，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查垂径定理和勾股定理： （1）连接并延长交于点P，则点P即为所求作的点． （2）过点O作，垂足为H，求出由勾股定理求出,从而得,在中由勾股定理求出 【详解】（1）解：连接并延长交于点P，则点P即为所求作的点． 理由：连接， ∵， ∴ 又， ∴ ∴ 又∵， ∴垂直平分， 由垂径定理：点P是的中点， ∴平分． （2）解：过点O作，垂足为H， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∵ ∴， ∴ 又 ∴ ∴． 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）是的直径，弦，垂足为H，连接，，． (1)如图1，连接，，若H是的中点，求证：四边形是菱形． (2)如图2，作的平分线，交于点E，求证：E为的中点． (3)如图3，若的半径是1，，求点O到弦的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了圆的综合题，题目较为简单，合理运用垂径定理和勾股定理是本题解题的关键． （1）根据垂径定理可知，然后根据菱形的判定定理解答即可； （2）连接，根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质，得出，然后根据圆心角与弧的关系解答即可； （3）根据垂径定理和勾股定理，依次求出的长，最后可以求出到弦的距离. 【详解】（1）证明: ∵是的直径, ， ， 又∵是中点, ∴四边形中，对角线互相垂直平分， ∴四边形为菱形； （2）证明: 连接，如图: ， ， ∵是 的角平分线， ， ， ∴， ， ， 又∵为直径， ， ∴是的中点， （3）， ， ， ， 又， ， ∴到的距离． 3．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，是的直径，点是上一点，连接，半径弦， (1)求证：弧弧的长． (2)在如图上，连接、相交于点，与相交于点，连接，若的半径为，，求的长． (3)如图，在的延长线上取一点，使，交弧于点若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) (3) 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理等，熟练并灵活利用它们进行计算是本题的关键． （1）连接．由半径弦，可证得，利用垂径定理即可证明弧弧的长； （2）在中，利用勾股定理求出，再利用中位线定理求出，进而求出，然后在中利用勾股定理即可求出； （3）设分别交于点E、F，连接．设，则．利用平行线的性质和三角形外角的性质证明，利用垂直平分线的性质得到，在中利用勾股定理求出，再在中利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：连接． ∥，， ， 弧弧的长． （2）， ． 由（1）可知，， ． 又， 点和分别是和的中点， ， ． ， ． （3）连接、、． 设，则． ， ． ， ， ， ． 垂直平分， ． ， ， ． 4．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）（1）如图1，内接于，若，弦，求半径r的值； （2）如图2，四边形的四个顶点均在上，若，，点为弧上一动点（不与点、点重合）．求证：． 【答案】（1）4 （2）见解析 【分析】 （1）本题连接、，过点作于点，利用垂径定理推出，再根据圆周角定理推出，利用等腰三角形性质得出，，结合所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，即可解题． （2）本题在上取点，使，连接、，证明为等边三角形，利用圆周角定理，推出，证明为等边三角形，再利用等边三角形的性质证明，即可解题． 【详解】（1）解：如图1，连接、，过点作于点， ， ， ， ， ， ，， ，即，整理得， 解得或（舍去）， ， 故答案为：4； （2）证明：如图2，在上取点，使，连接、， ，， 为等边三角形， ，， 四边形为圆的内接四边形， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ，即， ， ， ． 【点睛】 本题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形性质、所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质和判定，解题的关键在于根据定理性质画辅助线，构造直角三角形、等边三角形和全等三角形，即可解题． 5．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）据《尔雅·释器》记载：“好倍肉，谓之瑗（yuàn）．”如图1，“好”指中间的孔，“肉”指中孔以外的边（阴影部分），“好倍肉”指中孔和环边比例为． (1)观察： “瑗”的主视图可以作两个同心圆，根据图1中的数据，可得小圆与大圆的半径之比是_______； (2)联想： 如图2，在中，，，平分交于点，则_______； (3)迁移： 图3表示一个圆形的玉坯，若将其加工成玉瑗，请利用圆规和无刻度的直尺先确定圆心，再以题（2）的知识为作图原理作出内孔．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) (2) (3)作图见解析 【分析】（1）根据图1中的数据可确定小圆和大圆的半径，即可得出答案； （2）根据直角三角形两锐角互余可得，根据角平分线的定义可得，再根据等角对等边和角的直角三角形可得，，可得出答案； （3）作直线交圆于点，，作的垂直平分线交圆于点，，作的垂直平分线交圆于点，，交于点，过点作，以点为圆心，为半径画弧交圆于点，连接并延长交于点，作的平分线交于点，以点为圆心，为半径画圆，根据垂径定理的推论和垂直平分线的性质可确定点为大圆的圆心，证明为等边三角形，得到，从而得到，再结合（2）的结论可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，小圆半径是：，大圆半径是：， ∴小圆与大圆的半径之比是：， 故答案为：； （2）∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：； （3）作直线交圆于点，，作的垂直平分线交圆于点，，作的垂直平分线交圆于点，，交于点，过点作，以点为圆心，为半径画弧交圆于点，连接并延长交于点，作的平分线交于点，以点为圆心，为半径画圆， ∵垂直平分，是圆的弦， ∴线段为圆的直径， ∵垂直平分于点， ∴点为大圆的圆心，， ∵以点为圆心，为半径画弧交圆于点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， 由（2）知：，， 则小即为所作． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，考查了利用尺规作垂直平分线、过一点作垂线、作一个角的角平分线、作一条线段等于已知线段，垂径定理的推论，垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，角的直角三角形，等角对等边等知识点．解题的关键是理解题意，利用数形结合思想解决问题． 【经典例题二 圆周角压轴题型】 6．（2024·江苏盐城·三模）内接于，过点作于点，延长交于点连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，连接，若，试说明线段与的差为定值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据垂径定理即可得到结论； （2）如图2，首先求出的度数，运用圆周角定理即可解决问题； （3）如图3，作辅助线，首先证明，得到，，进而判断为的中位线，即可解决问题． 【详解】（1）证明：于点， ， ； （2）解：如图2，连接、， ，， ，而， ∴ ， ； （3）解：如图3，分别延长、，交于点； 平分， ； 在与中， ， ， ， ， ， 为的中位线， ， ． 【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识．正确作出辅助线是解题的关键． 7．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形中，以边为直径的交于点，作，依次交于点，交于点，交于点，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由圆周角定理得出，根据等角的余角相等得，由圆周角定理得出，可得； （2）证出，得出，由勾股定理得出，即，解得或，由题意得出，，根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， 又， ； （2）解：由（1）得：， ∵， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ，即， 解得：或， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式等知识；熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 8．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图1，为的直径，于点E，，与交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)连接，，如图2，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）由为的直径，于点得，又由，得到，从而得到，即，即可得证； （2）连接，由（1）得：，，从而得到，则，设，则，在中，，即，即可得到答案； （3）连接交于，则，通过证明，得到，再由等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可得到，最后由，即可得到答案． 【详解】（1）证明：为的直径，于点， ， ， ， ，即， ； （2）解：如图所示：连接， 由（1）得：， ， ， 为的直径，于点， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， 的长为； （3）解：如图所示：连接交于， ， ， 在和中， ， ， ， ， 为半径， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，添加恰当的辅助线是解题的关键． 9．（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，正方形内接于，P是上一动点，连接与交于点Q． (1)如图1，连接，则______；若，则点O到的距离的长为______． (2)如图1，若P为的中点，求证：． (3)如图2，若，求的值． 【答案】(1)，1 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质和圆周角定理可求得；根据垂径定理可求得，再根据等腰直角三角形的判定与性质可求解； （2）根据等弧所对的弦相等可证得结论； （3）先根据等边对等角得到，进而利用正方形的性质和三角形的内角和定理求得，由圆周角定理得，利用含30度角的直角三角的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵四边形正方形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴，， ∴， 故答案为：；1； （2）证明：∵四边形正方形， ∴，则， ∵P为的中点， ∴， ∴，则； （3）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴，则， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、圆周角定理、垂径定理、弦和弧的关系、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角的性质、三角形的内角和定理等知识，涉及知识点较多，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 10．（22-23九年级上·江苏常州·期中）[学习心得] （）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决 例如：如图，在中，，，是外一点，且，长为半径作辅助圆，则两点必在上，则_______． [初步运用] （）如图，在四边形中，，，则_______； [方法迁移] （）如图，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）： [问题拓展] （）如图，已知矩形，，，为边上的点，若满足的点恰好有两个，则的取值范围_______． 如图，在中，，且，，求． 【答案】（）；（）；（）见解析；（）；． 【分析】（）由圆周角定理可得出答案； （）取的中点，连接，由直角三角形的性质证明点共圆，由圆的性质得出，则可得出答案； （）作出等边三角形，由圆周角定理作出图形即可； （）在上截取，连接 ，以为直径，由图形可知 ，由勾股定理求出和 的长，则可得出答案； 作的外接圆，过圆心作 于点，作于点，连接，由圆周角定理及勾股定理可得出答案． 【详解】解：（）∵是的圆心角，是的圆周角，， ∴； 故答案为：； （）如图，取的中点，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴点共圆， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （）作图如下： 由图知，，同理． （）在上截取，连接，交于，连接，过作的切线交于，交于， ∵， ∴， ∴的半径为，即， ∵， ∴， ∴， ∴，﹣4， ∴ ∵满足的点恰好有两个， ∴， ∴， 故答案为：； 如图，作的外接圆，过圆心作于，作OF⊥AD于点F，连接， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵，为圆心， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、圆周角定理、作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质、垂径定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 【经典例题三 直线与圆的位置关系压轴题型】 11．（2024·江苏镇江·二模）如图①，四边形是菱形，是的外接圆． (1)求证：圆心O在直线上； (2)如图②，当时，求证：与相切； (3)当与菱形的边有五个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）如图①，连接，由菱形，可得，，由是的外接圆，可得，则是线段的垂直平分线，即，由，可知三点共线，进而结论得证； （2）如图②，连接，证明是等边三角形，，，同理（1）可知，是线段的垂直平分线，则，，即，进而结论得证； （3）由（2）可知，当时，与菱形的边有3个公共点，当四边形为正方形时，四边形的边与共有4个公共点，进而可知当时，与菱形的边有五个公共点． 【详解】（1）证明：如图①，连接， ∵菱形， ∴，， ∵是的外接圆， ∴， ∴是线段的垂直平分线，即， ∵， ∴三点共线，即圆心O在直线上； （2）证明：如图②，连接， ∵菱形，， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， 同理（1）可知，是线段的垂直平分线， ∴， ∴，即， 又∵是半径， ∴与相切； （3）解：由（2）可知，当时，与菱形的边有3个公共点， 当四边形为正方形时，四边形的边与共有4个公共点， ∴当时，与菱形的边有五个公共点， ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的判定，等边三角形的判定与性质，切线的判定，外接圆，正方形的性质等知识．熟练掌握菱形的性质，垂直平分线的判定，等边三角形的判定与性质，切线的判定，外接圆，正方形的性质是解题的关键． 12．（2024·江苏宿迁·二模）在平面直角坐标系中对于已知的点C和图形W，给出如下定义：若存在过点C的直线l，使之与图形W有两个公共点P，Q，且C，P，Q三点中，某一点恰为另两点所连线段的中点，则称点C是图形W的“相合点”． (1)已知点，线段与线段组成的图形记为W； ①点中，图形W的“相合点”是　　　　　　； ②点M在直线上，且点M为图形W的“相合点”，求点M的横坐标m的取值范围； (2)的半径为r，直线与x轴，y轴分别交于点E，F，若在线段上存在外的一点P，使得点P为的相合点，直接写出r的取值范围． 【答案】(1)①；②或 (2)或 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系，坐标与图形： （1）根据点C是图形W的“相合点”的定义结合图形判断即可． （2）如图2中，图形W的“相合点”的分布情形：①在第一象限，矩形上或内部．②在第二象限，矩形上或内部．③第四象限，矩形上或内部．结合图形判断即可． （3）如图3中，以O为圆心，为半径作圆，当直线与图中圆环有交点时，满足条件．求出几种特殊情形的r的值，即可判断． 【详解】（1）解：①如图，观察图象可知是的中点，Q是的中点．是的中点，故图形W的“相合点”是，，． 故答案为：． ②如图，图形W的“相合点”的分布情形： ①在第一象限，矩形上或内部． ②在第二象限，矩形上或内部． ③第四象限，矩形上或内部． 结合图形可知，直线上图形W的“相合点”M的横坐标为或． （2）解：如图，以O为圆心，为半径作圆，当直线与图中圆环有交点时，满足条件． 当直线在第一象限与大圆相切时，则， 解得，， 当直线经过时，，解得， 观察图象可知，满足条件的r的值为：， 当直线经过时，，解得， 结合图象可知，满足条件的的值为：． 13．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，点为的垂直平分线与的交点，以为圆心，为半径作与的另一个交点为点，且__________，__________． 给出以下信息：①，②，③与相切． (1)请从中选择其中的两个信息作为条件，余下的一个信息作为结论，使之构成真命题，将对应的序号填到下面横线上方，并加以证明． 条件：__________，__________，结论：__________ (2)如图2，在（1）的条件下，点D在上，且，连接，求证∶． 【答案】(1)选择①②作为条件，③作为结论或选择①③作为条件，②作为结论或选择②③作为条件，①作为结论，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，弧与圆周角之间的关系，圆周角定理，切线的性质与判定，等边对等角等等： （1）选择①②作为条件，③作为结论，根据圆周角定理和等边对等角得到，则可证明；选择①③作为条件，②作为结论，根据圆周角定理和切线的性质推出即可证明结论；选择②③作为条件，①作为结论，根据切线的和圆周角定理得到，则； （2）根据弧与圆周角之间的关系求出，则，由垂径定理的推论即可得到． 【详解】（1）解：选择①②作为条件，③作为结论，证明如下： 如图所示，连接， ∵点O在的垂直平分线上， ∴， ∴点C在圆O上， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是圆O的半径， ∴是圆O的切线； 选择①③作为条件，②作为结论，证明如下： ∵是圆O的切线； ∴， ∵， ∴， ∴； 选择②③作为条件，①作为结论，证明如下： ∵是圆O的切线； ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（2024·江苏南京·三模）如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M． (1)求证：直线是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，则，则，得到，由得到，从而得证结论； （2）由线段是的直径，得到，从而，，因此，得证． （3）由，，得到，从而是等边三角形，，进而，则，由得到． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线是的切线． （2）证明：∵线段是的直径， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵在等边中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，等腰三角形的判断及性质，等边三角形的判定及性质，含角的直角三角形的性质，综合运用相关知识是解题的关键． 15．（2024·江苏常州·二模）给出如下定义：点，点是平面直角坐标系中不同的两点，且，若存在一个正数，使点、的坐标满足，则称、为一对“斜关点”，叫点、的“斜关比”，记作．由定义可知，．例如：若，，有，所以点、为一对“斜关点”，且“斜关比”为． 如图，已知平面直角坐标系中，点、、、． (1)在点、、、中，写出一对“斜关点”是________，此两点的“斜关比”是________（只需写出一对即可）． (2)若存在点，使得点、是一对“斜关点”，点、也是一对“斜关点”，且，求点的坐标． (3)若的半径是，是上一点，满足的所有点，都与点是一对“斜关点”，且．请直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】(1)、，（答案不唯一） (2)点的坐标为或 (3) 【分析】本题考查圆的综合应用，解题的关键是弄清楚新定义，熟练掌握圆与直线的关系，绝对值方程的解法，数形结合． （1）根据定义通过计算求解即可得到答案； （2）设，由根据“斜关点”定义列方程求解即可得到答案； （3）作直线满足与两轴的夹角为，在直线右侧作直线且与相距一个单位，设交于点，连接，作轴于点，交于，作于，设直线交于，以、为圆心，为半径作圆，则两圆分别与直线和相切，利用勾股定理求出，再设，利用列出方程，求出，即可求解； 【详解】（1）解：满足的为正数， ，， ，， 点、、、， 只能是与或与形成“斜关点”， 当与形成“斜关点”时，， ， 故答案为：、，（答案不唯一）； （2）设点， 点，，点、是一对“斜关点”， 点、也是一对“斜关点”，且， ，， ， 解得：， ， ， 点的坐标为或； （3）如图即为，作直线满足与两轴的夹角为，在直线右侧作直线且与相距一个单位，设交于点，连接，作轴于点，交于，作于，设直线交于，以、为圆心，为半径作圆， 两圆分别与直线和相切， ， 点在以为圆心，1为半径的圆上， ， 点需在直线的右侧（可以在直线上）， ， 点需在的左侧，则满足题意得点的横坐标应在点和点之间（不与点重合）， ，， ， 设， ， ， ， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ． 【经典例题四 正多边形与圆压轴题型】 16．（2024·江苏苏州·一模）古建中的数学：古亭探“优”． 【了解】 “江山无限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称，有利于减弱风力、抵御地震，如图①，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形． 【探索】 先将正方形、完全重合，再将正方形绕其中心旋转一定的角度，就得到了正八边形，如图②，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法． （1）旋转的角度最小为_______º； （2）若正八边形的边长为2，则正方形的边长为______； （3）连接，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； 【作图】 （4）如图③，已知正方形请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形，并使其所有顶点均落在正方形的边上．（保留作图痕迹，并写出必要的说明） 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4）见解析 【分析】（1）设正方形、的中心为Q，连结、、、、、、、，可证得，得出，同理，可得； （2）由题意得，再由、、均为等腰直角三角形，即可求得答案； （3）由，，，可得，，即可求得答案； （4）连结、交于点，跟别以四个顶点为圆心，以、、、为半径画圆，圆与四条边的八个交点即为正八边形的顶点． 【详解】（1）解：如图设正方形、的中心为，连结、、、、、、、， 则、、、经过点，， ，， 四边形、是正方形， ， 是正八边形， ，， ， ， 同理， ， ； （2）正八边形的边长为2， ， 由（1）知：、、均为等腰直角三角形， ，， ； （3），理由如下： 由（2）知：，，， 可得，， ， ； （4）如图： 连结、交于点，跟别以四个顶点为圆心，以、、、为半径画圆，圆与四条边的八个交点即为正八边形的顶点． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，尺规作图等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 17．（2023·陕西西安·一模）如图，正六边形内接于． (1)若P是上的动点，连接，，求的度数； (2)已知的面积为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了圆内解正六边形问题，解题的关键是掌握圆内解正六边形的性质及弦和圆周角之间的关系． （）在取一点，连接，利用弦和圆周角的关系即可求出的值； （）证明是等边三角形，利用三角函数求出，，再根据的面积为求出圆的半径，即可求出面积． 【详解】（1）如图所示，在取一点，连接 ， ∵六边形是正六边形， ∴ ，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴是等边三角形， ∴； ∴，， ∴， ∴， 即的半径为． 面积为： 18．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，等腰内接于，． (1)如图1，若，连接并延长交于点D，交于点H． ①弧的度数为：______；与的数量关系是：______． ②请你仅使用无刻度的直尺在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）； (2)如图2，若，E是的中点，请你仅使用无刻度的直尺在图2中，作一个的内接正五边形（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）． 【答案】(1)①；②见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，正多边形和圆以及复杂作图等知识． （1）①连接根据垂径定理逆定理证明，再证明是等边三角形可得可得 从而可得结论；②连接延长交于点根据等边三角形的性质得可得，故可得正六边形； （2）根据圆周角的定理及同弧所对的圆周角相等得到，再根据是中点得到，得根据三线合一性得到弧相等，弦相等，最后即可得到五边形即为所求． 【详解】（1）①连接    ∵ ∵过圆心 ∴ ∵ 是等边三角形， ∴ ∴ ∴． 故答案为：； ②如图，正六边形即为所作；    （2）如图，正五边形即为所求作．    19．（2023·河北邯郸·二模）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如）始终垂直于水平线l．    (1)________° (2)若，的半径为10，小圆的半径都为1： ①在旋转一周的过程中，圆心M与l的最大距离为________； ②当圆心H到l的距离等于时，求的长； ③求证：在旋转过程中，的长为定值，并求出这个定值． 【答案】(1)60 (2)①25；②；③的长为定值，定值为10． 【分析】（1）将平均分6份即可； （2）①当圆心M在的延长线上时，圆心M与l有最大距离，据此即可求解； ②设的挂点为K，过点H作于点T，先证四边形是矩形，再用勾股定理解即可； ③先证是等边三角形，再证是平行四边形，可得． 【详解】（1）解：， 故答案为：60； （2）解：①当圆心M在的延长线上时，圆心M与l有最大距离， 最大距离为， 故答案为：25； ②如图，设的挂点为K，过点H作于点T，    ∵挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l， ∴K，H，T在同一直线上， ∵圆心H到l的距离等于， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； ③证明：如图所示，连接，，    由（1）知， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵小圆的半径都为1，挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的长为定值． 【点睛】本题考查圆的基本知识，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是根据题意抽象出数学模型． 20．（2023九年级·江苏·专题练习）[阅读与思考]如图①，在正三角形 中，点 ， 是，上的点，且 ，则， 　　； 如图②，在正方形 中，点，是，上的点，且，则， 　　； 如图③，在正五边形 中，点，是，上的点，且，则， 　　； [理解与运用]在正六边形 中，点，是，上的点，且，则， 　　； 在正十边形 中，点，是，上的点，且，则， 　　； [归纳与总结]根据以上规律，在正 边形 中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点，是 ，上的点，且， 与 相交于；也会有类似的结论，你的结论是　　． 【答案】 ； ； ； ；；以上所求的角恰好等于正n边形的内角 【分析】根据等边三角形的性质得出，，进而利用全等三角形的判定与性质得出，； 根据正方形的性质以及全等三角形的判定与性质得出：； 根据正五边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出： ； 根据以上所求结论即可得正六边形中，； 根据以上所求结论即可得正十边形中，； 根据以上所求得出在正n边形中，类似的结论． 【详解】解：阅读与思考: ∵在正三角形中，点M，N是，上的点，且， ∵在 和 中 故答案为： ； ∵在正方形中，点M，N是 ， 上的点，且 在 和中 答案为：； ∵在正五边形 中，点M，N是 ，上的点，且 ，则 ∵在和中， 故答案为：； 理解与运用： ∵正三角形的内角度数为：；正方形的内角度数为：；正五边形的内角度数为：； ∴同理可得： 在正六边形中，点M，N是 ，上的点，且 ，则， ； 故答案为： ； 同理可得： 在正十边形中，点M，N是 ，上的点，且，则 ，； 故答案为：； 归纳与总结： 根据以上所求的角恰好等于正n边形的内角， 所以所求的角恰好等于正n边形的内角 故答案为：以上所求的角恰好等于正n边形的内角 【点睛】此题主要考查了正多边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练利用三角形的外角性质是解题关键． 【经典例题五 弧长、扇形面积和圆锥侧面积压轴题型】 21．（2024·湖北孝感·模拟预测）四边形内接于是延长线上一点，． (1)求证：是的切线： (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接并延长交于点，连接，则，由，可得，根据直径所对的圆周角是直角可推出，进而得到，即可求解； （2）由（1）可得，结合，可得，，，再根据勾股定理求出，最后根据，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于点，连接，则． 是的直径， ， ， ， 即， 又是半径 是的切线； （2）解： ． 【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及圆周角定理、切线性质、扇形面积的计算，熟练掌握圆周角定理、切线性质是解题的关键． 22．（2024·河北唐山·二模）如图，在正方形中，， 以点C 为圆心，1为半径作圆，交于点E，P 是上的任意一点，将点P 绕点D 顺时针方向旋转，得到点Q，连接，． (1)连接，求证：； (2)当与相切于正方形外部时，求线段被所截弦的长； (3)当时，求劣弧的长度 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)劣弧的长度为 【分析】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定与性质、圆的切线的性质及勾股定理的应用， （1）直接证明即可证明结论； （2）设与交于点F，连接，证明，根据勾股定理求出即可； （3）作交延长线于点H，设，则，在中， ，列方程并求出，进而求出，即可求出结论． 【详解】（1）证明：如图： 在正方形中，， ， ， ， ； （2）设与交于点F，连接， 与相切于点P， 在中， ； （3）如下图，作交延长线于点H， 设，则， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， 劣弧的长度． 23．（2024·河南·三模）如图，以的边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与边交于点E，D为上一点，于点O，连接交于F，． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的半径． (3)若，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为6 (3) 【分析】本题考查了垂径定理、切线的判定与性质、圆周角定理、扇形面积的求法、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． （1）如图：连接，利用垂径定理的推论得到，再利用得到，然后利用角度的代换可证明则从而证明结论； （2）设的半径为r，则，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可； （3）先根据勾股定理求得,再利用圆周角定理得到，则，接着在中计算出，然后用一个直角三角形的面积减去一个扇形的面积去计算阴影部分的面积即可解答． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴是的切线． （2）解：设的半径为r，则， 在中，，解得：或（舍去）， ∴的半径为6． （3）解：设的半径为r，则 ∵，， ∴,即，解得：（舍弃负值）， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴，， ∴阴影部分的面积． 故答案为． 24．（22-23九年级上·广西南宁·期末）综合与实践 问题情境：如图1，将一个底面半径为的圆锥侧面展开，可得到一个半径为，圆心角为的扇形.工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料. (1)探索尝试：图1中，圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长________；（填“相等”或“不相等”）若，，则________. (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求的值，请用含，的式子表示； (3)拓展延伸：图2是一种纸质圆锥形生日帽，，，是中点，现要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，求彩带长度的最小值. 【答案】(1)相等， (2) (3) 【分析】（1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等，得出之间的关系，进而即可求解； （2）根据，即可求解； （3）根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等； ∵，，， ∴， 故答案为：相等，． （2）由圆锥的底面周长等于扇形的弧长 得： ∴ （3）∵，， ∴， ∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为 ∴ ∵ ∴ ∴在中，， ∴彩带长度的最小值为 【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键． 25．（22-23九年级上·江苏镇江·期中）如图，在一张四边形的纸片中，，，，以点为圆心，为半径的圆分别与交于点． (1)求证：与相切； (2)过点B作的切线；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)若用剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)能，理由见解析 【分析】（1）过点作于点，勾股定理求得可得是的半径，即可得证； （2）作线段的垂直平分线，交于点，作直线，则即为所求，根据作图可得，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可求解； （3）根据弧长公式求得的长，继而求得圆锥的底面半径，连接交于点，过点作于点，交于点，过点作于点，则与相切，继而求得的半径，比较与的大小，进而比较与圆锥底面半径的大小即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵的半径为， ∴是的半径， 又， ∴是的切线； （2）如图，作线段的垂直平分线，交于点，作直线，则即为所求， 理由，∵， ∴ ∴是直角三角形，且 ∴是的切线； （3）解：∵ ∴， ∴ 则圆锥的底面圆的半径为 如图，连接交于点，过点作于点，交于点，过点作于点，则与相切， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 由（1）可知之间的距离为， ∴, ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ 设的半径为，则， ∴ 解得 ∴, ∴， ∴， ， ∵， 又， ∴， 即， ∵． ∴能从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面． 【点睛】本题考查了切线的判定，角平分线的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 【经典例题六 圆中旋转压轴题型】 26．（23-24九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，，，直线经过点．设，于点，将射线绕点按逆时针方向旋转，与直线交于点．    (1)判断：__________； (2)若，求的长； (3)若的外心在三角形内部（不包括边上），直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得，在四边形中，根据四边形内角和求解即可； （2）由旋转的性质可知，利用互余关系可得，再由，，可得，进而可证明，可得，再利用勾股定理求解即可； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别判断的形状即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在四边形中，， 故答案是：； （2）由旋转可知，， 又∵， ∴，， ∴． 由（1）知，而， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵，则是等腰直角三角形， ∴； （3）由（2）可知， 当时，则为直角三角形，外心在其斜边上， 当时，则为钝角三角形，外心在其外部， 当时， ∵，，， ∴，则， ∴， ， 则为锐角三角形，外心在其内部， 故：． 【点睛】本题考查的是四边形的内角和，三角形的外接圆的性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关图形的性质定理是解决问题的关键． 27．（2024·江苏宿迁·一模）定义：对于平面内的两点、，若点是点绕点旋转度所得到的点，则称点是点关于点的旋转点；是旋转角，若旋转角小于，则称点是点关于点的锐角旋转点．如图1，点是点关于点的旋转点．    (1)已知点，点，在点，，中，是点关于点的锐角旋转点的是________． (2)已知点，点在直线上，若点是点关于点的锐角旋转点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角旋转点的定义，圆的知识，解题的关键是学会找特殊点，特殊位置解决问题． （1）根据锐角旋转点的定义，进行解答，即可； （2）以原点为圆心，为半径，作，交正半轴于点，当经过点时，；求出的值；当经过点时，则，则点；当时，绕点逆时针旋转锐角时，点一定落在某条直线上， 当与相切且切点在第四象限时，连接，此时时，有最小值，根据勾股定理，求出，再根据等面积法，即可． 【详解】（1）∵点，点， ∴， ∵点，，， ∴，，， ∴， 如图：， ∴是点关于点的锐角旋转点． 故答案为：．    （2）以原点为圆心，为半径，作，交正半轴于点， ∵点， ∴， 当经过点时，； ∴， 当经过点时，则 ∴点； 当时，绕点逆时针旋转锐角时，点一定落在某条直线上， 当与相切且切点在第四象限时，连接，此时时，有最小值， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴实数的取值范围为：．    28．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）“启智”数学兴趣小组对图形的旋转展开进一步探究，总结了一些方法和规律，请你完成相关问题．（画图工具不限，不写画法）    (1)动中有定： 如图1，是边长为的等边三角形． ①将点绕点顺时针旋转一周，点的对应点为点，请在图1中画出点的运动路径，当点不与A、B重合时，可得__________或__________； ②将边绕点顺时针旋转一周，请在图1中画出线段扫过的区域（用阴影表示，画出必要的辅助线），并求出该区域的面积． (2)以静制动： 如图2，中，，，将绕点旋转得，点P是线段上一个动点，点M是的中点． ①线段的最小值是__________，最大值是__________； ②点P到直线的距离为h，当时，求h的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)①；② 【分析】（1）①根据题意以为圆心，为半径作圆，进而根据圆周角定理以及圆内接四边形对角互补，即可求解； ②过点作于点，勾股定理求得，进而根据题意，可得线段扫过的区域为圆环的面积，根据圆的面积公式，即可求解； （2）①过点分别走的垂线，垂足分别为，勾股定理求得，等面积法求得，进而根据题意，与重合，且在线段上时，取的最大值；当时，且重合时，取的最小值，结合图形，即可求解； ②分别以为半径，以为圆心作圆，过作的垂直平分线，交为半径的圆于点，交为半径的圆于点，当点在点时，最小，当点在点时，最大，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：①如图所示，    当在优弧上时，， 当在上时，， 故答案为：，． ②如图所示，过点作于点，    ∵的边长为， 则，， 线段扫过的区域为； （2）解：①依题意，过点分别走的垂线，垂足分别为，    ∵中，，， ∴， ∵， ∴ ∵是线段上一个动点，点M是的中点，则 ∴与重合，且在线段上时，取的最大值；如图所示，    此时， 当时，且重合时，取的最小值，此时如图所示， ∴是的中位线，    ∴ ②如图所示，分别以为半径，以为圆心作圆，过作的垂直平分线，交为半径的圆于点，交为半径的圆于点，    ∵是上一点， ∴当点在点时，最小，当点在点时，最大， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，旋转的性质，圆内接四边形对角互补，一点到圆上的距离的最值问题，勾股定理，垂直平分线的性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 29．（21-22九年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知AB⊥MN于点B，且AB＝10cm，将线段AB绕点B按逆时针方向旋转角α（0≤α≤360°）得到线段BC，过点C作CD⊥MN于点D，⊙O是△BCD的内切圆，直线AO、BC相交于点H． (1)若α＝60°，则CD＝ cm． (2)若AO⊥BC ①点H与⊙O的位置关系是 A．点H在⊙O外 B．点H在⊙O上 C．点H在⊙O内 ②求线段AO的长度． (3)线段AB绕点B按逆时针方向旋转90°，求点O运动的路径长． 【答案】(1)5 (2)①B；②10cm (3)πcm 【分析】（1）由旋转的性质知BC=BA=10cm，则CD=BC=5cm； （2）①若⊙O与BC相切于P，则OP⊥BC，则点P与H重合，可得答案； ②延长AO交BD于E，利用∠A=∠CBD=90°-α，用α的代数式表示∠AOB和∠ABO，从而解决问题； （3）在直线BD上取BG=BC，连接OG，以BG为斜边在等腰直角△BFG，利用SAS证明△BOG≌△BOC，得∠BOC=∠BOG，而∠BOC=135°，从而确定点O的运动路径． 【详解】（1）解：∵线段AB绕点B按逆时针方向旋转角α（0≤α≤360°）得到线段BC， ∴BC=BA=10cm， 当α=60°时，∠CBD=30°， ∴CD=BC=5cm， 故答案为：5； （2）①当AO⊥BC时， 则OH⊥BC， 若⊙O与BC相切于P， 则OP⊥BC， ∴点P与H重合， ∴点H在⊙O上， 故选：B； ②延长AO交BD于E， ∵AO⊥BC， ∴∠A=∠CBD=90°-α， ∵⊙O是△BCD的内切圆， ∴BO平分∠CBD， ∴∠OBC=∠CBD=45°-α， ∴∠AOB=90°-∠OBC=90°-（45°-α）=45°+α， ∵∠ABO=∠ABC+∠CBO=α+45°-α=45°+α， ∴∠AOB=∠ABO， ∴AO=AB=10cm； （3）如图，在直线BD上取BG=BC，连接OG，以BG为斜边在等腰直角△BFG， ∵∠OBG=∠OBC，OB=OB， ∴△BOG≌△BOC（SAS）， ∴∠BOC=∠BOG， ∵∠BCD+∠CBD=90°， ∴∠BCO+∠OBC=45°， ∴∠BOC=135°， ∴∠BOG=135°， ∴点O在以F为圆心、BF为半径的圆上运动， ∵BG=BC=10cm， ∴BF=cm， ∴当线段AB绕点B按逆时针方向旋转90°时，O运动的路径长为=πcm． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了三角形内切圆的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，切线的性质等知识，构造全等三角形得出点O的运动路径是解题的关键，属于中考压轴题． 30．（2022·河北石家庄·三模）如图1，已知AB是半圆O的直径，，点D是线段AB延长线上的一个动点，直线DF垂直于射线AB于点D，在直线DF上选取一点C（点C在点D的上方），使，将射线CD绕点D逆时针旋转，旋转角为． (1)若OD=5，求点C与点O之间距离的最小值； (2)当射线DC与⊙O相切于点C时，求劣弧BC的长度； (3)如图2，当射线CD与半圆O相交于点C，另一交点为E时，连接AE，OC，若AE//OC． ①猜想AE与OD的数量关系，并说明理由； ②求此时旋转角的度数． 【答案】(1)点C与点O之间距离的最小值为3 (2) (3)①AE=OD，理由见解析；②旋转角α=54°． 【分析】（1）当点C在线段OD上时，点C与点O之间的距离最小，据此作图即可求解； （2）连接OC，根据切线的性质求得∠DOC=45°，利用弧长公式即可求解； （3）连接OE，①证明△AOE≌△OCD，即可得AE=OD；②利用等腰三角形及平行线的性质，根据三角形内角和定理构建方程可求得∠ODC的度数，即可解决问题； 【详解】（1）解：（1）如解图①，当点C在线段OD上时，点C与点O之间的距离最小， ∵CD=OA=2，OD=5， ∴OC=3． 即点C与点O之间距离的最小值为3； （2）解：如解图②，连接OC， ∵OC=OA，CD=OA， ∴OC=CD． ∴∠ODC=∠COD ∵CD是⊙O的切线， ∴∠OCD=90°， ∴∠DOC=45°，劣弧的长度为； （3）解：如图，连接OE． ∵CD=OA，CD=OC=OE=OA， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∵AE∥OC，∴∠2=∠3， 设∠1=x，则∠2=∠3=∠4=x， ∴∠AOE=∠OCD=180°−2x， ①AE=OD． 理由： 在△AOE与△OCD中， ， ∴△AOE≌△OCD(SAS)． ∴AE=OD； ②∵∠6=∠1+∠2=2x，OE=OC， ∴∠5=∠6=2x， ∵AE∥OC， ∴∠4+∠5+∠6=180°， 即x+2x+2x=180°， ∴x=36°， ∴∠ODC=36°， ∴旋转角α=90°−36°=54°． 【点睛】本题考查了切线性质，全等三角形，等腰三角形的性质以及平行线的性质等，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题． 【经典例题七 圆中翻折压轴题型】 31．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点D，连接．    (1)如图1，若点D与圆心O重合，，求的半径； (2)如图2，若点D与圆心O不重合，，请求出的度数； (3)如图2，如果，，那么的长为____________．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)∠ACD=38° (3) 【分析】（1）设D在原来弧上的对应点为，连接、，根据折叠的地性质得出，，在根据垂径定理得出，设， 根据勾股定理得出，列出方程求解即可； （2）设D在原来弧上的对应点为，连接，易得，则，根据圆内接四边形的性质得出，再根据折叠的性质得出，最后根据三角形内角和即可求解； （3）过点C作于点H，易得，则，，通过证明，得出，则，，先根据勾股定理得出，再根据勾股定理得出，即可求解． 【详解】（1）解：设D在原来弧上的对应点为，连接、， ∵点D和点关于对称， ∴，， ∵点D与圆心O重合， ∴， 设， 在中，， 即， 解得：（舍去）， ∴求出半径为．    （2）解：设D在原来弧上的对应点为，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由沿折叠得到， ∴， ∴．    （3）解：过点C作于点H， ∵，， ∴，则， ∴， ∵，， ∴，则， ∵， ∴， ∴，， 在中，根据勾股定理可得：， 在中，根据勾股定理可得：， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相关知识点，正确作出辅助线，构造直角三角形，掌握折叠前后对应角相等，圆内接四边形对角互补． 32．（23-24九年级上·江苏镇江·期末）如图，等腰中，，点A、C在上，为的直径，将沿翻折，点B的对应点D恰好落在上． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)长为 【分析】（1）连接，先证明，根据圆周角定理得到，从而可证得，根据切线判定定理即可得到结论； （2）过点A作于点F，于点H，连接，先证明四边形为矩形． 得到，．再由勾股定理和等腰三角形的性质求得，从而得，．然后设半径为r，则，，．得用勾股定理，得，求得r值即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴． 由翻折，得， ∴， ∴， ∵， ∴ ． ∵是直径， ∴． ∴． ∴． 即， ． ∴为的切线； （2）解：过点A作于点F，于点H，连接． ∴， ∴四边形为矩形． ∴，． ∵，， ∴，， ∴，． 设半径为r， 则，，． 在中，由勾股定理得：， 解得， ∴长为 【点睛】本题考查切线的判定，翻折的性质，圆满周角定理，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质．熟练掌握切线的判定和圆满周角定理是解题的关键． 33．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图1，扇形中，，，点C在半径上，连接．把沿翻折，点O的对称点为点D．    (1)当点D刚好落在弧上，求弧的长； (2)如图2，点D落在扇形内，的延长线与弧交于点E，过点D作，垂足为F，，求的长； (3)若点D落在扇形外，与弧交于点E，过点D作，垂足为F，试探究与之间的数量关系．请直接写出你的结论为：______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了折叠的性质，垂径定理，三角形全等的判定和性质．熟练掌握相关知识点，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，通过证明为等边三角形，得出，进而得出，根据弧长公式即可求解； （2）过点O作于点G，通过证明，得出，再根据垂径定理即可求解； （3）根据题意补全图形，过点O作于点H，通过证明，得出，再根据垂径定理即可得出． 【详解】（1）解：连接， ∵沿翻折得到， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴．    （2）解：过点O作于点G， ∵沿翻折得到， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴．    （3）解：如图：过点O作于点H， ∵沿翻折得到， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：．    34．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图1，扇形中，，，点P在半径上，连接．    (1)把沿翻折，点O的对称点为点Q． ① 当点Q刚好落在弧上，求弧的长； ② 如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为 H，、求的长； (2)如图3，记扇形在直线上方的部分为图形W，把图形W沿着翻折，点B的对称点为点E，弧与交于点F，若，求的长． 【答案】(1)①AQ弧长为；② (2) 【分析】（1）①连接，根据折叠的性质可得是等边三角形，可得，再根据弧长公式即可求解； ②过点O作，垂足为点G，则，根据可得，由此即可求解； （2）将沿着翻折得△AQP，过点Q作，垂足为点H，过点P作，垂足为点D，则四边形是矩形，中，可求出，在中，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）连接，由翻折得    ∵， ∴为等边三角形 ∴ ∴弧长为： ②过O作    ∴ ∵翻折 ∴ 在与中 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ （2）如图所示，将沿着翻折得 过点Q作，垂足为点H，过点P作，垂足为点D    ∵ ∴四边形是矩形 由折叠和 (1) 可知， ∵， ∴ ∴， 中， ∴的长为． 【点睛】本题考查圆的几何图形的综合，掌握折叠的性质，圆的基础知识，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 35．（19-20九年级上·安徽淮南·阶段练习）阅读下列材料，回答问题. 材料：求圆外一定点到圆上距离最小值是安徽省中考数学较为常见的一种题型，此类题型试题有时出题者将圆隐藏，故又称为“隐圆问题”.解决这类问题，关键是要找到动点的运动轨迹，即该动点是绕哪一个定点旋转，且能保持旋转半径不变.从而找到动点所在的隐藏圆，进面转换成圆外一点到圆心的距离减半径，求得最小值. 解决问题： （1）如图①，圆O的半径为1，圆外一点A到圆心的距离为3，圆上一动点B，当A、O、B满足条件____________时，有最小值为____________. （2）如图②，等腰两腰长为5，底边长为6，以A为圆心，2为半径作圆，圆上动点P到的距离最小值为__________. （3）如图③，，P、Q分别是射线、上两个动点，C是线段的中点，且，则在线段滑动的过程中，求点C运动形成的路径长，并说明理由. （4）如图④，在矩形中，，，点E是中点，点F是上一点，把沿着翻折，点B落在点处，求的最小值，并说明理由. （5）如图⑤，在中，，，，以边中点O为圆心，作半圆与相切，点P，Q分别是边和半圆上的动点，连接，求长的最小值，并说明理由. 【答案】（1）A，B，O在一条直线上（或）；2；（2）2；（3），见解析；（4），见解析；（5）1，见解析. 【分析】（1）根据最小距离等于圆外一点到圆心的距离减去半径可得到最小值，这时A，B，O在一条直线上； （2）作AD⊥BC于点D，利用等腰三角形的性质及勾股定理求出AD的长度，用AD的长度减去半径即为圆上动点P到的距离最小值； （3）根据点C与点O之间的距离永远不变说明点C的运动轨迹为圆，利用弧长公式求路径长即可； （4）先根据EB为定值，确定点B’的运动轨迹，然后当D,B’,E三点共线时，DB’最小，利用勾股定理求出DE的长度，再减去半径即可； （5）过O点作，利用三角形中线的性质得出OP,OQ 的长度，从而求出PQ的最小值. 【详解】（1）根据最小距离等于圆外一点到圆心的距离减去半径可得到最小值，有最小值为3-1=2此时A，B，O在一条直线上（或）；   （2）如图，作AD⊥BC于点D ∵ 由勾股定理得 点P到的距离最小值为 （3）如图，连接， ∵，C是中点，，∴所以C是以O为圆心，半径为2的圆上，所以 （4）如图，连接DE 因为点E是定点，，所以的轨迹为以E为圆心，2为半径的圆上.，∴的最小值为 （5）如图，过O点作，交圆O于点Q， 由三角形中线的性质得，，所以最小值为1 【点睛】本题主要考查根据材料求最小距离，找到动点的运动轨迹是解题的关键. 【经典例题八 圆中最值压轴题型】 36．（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图所示，是的直径，，是的两条弦，于点M，于点N，． (1)求的长； (2)若点P为上的动点，请确定点 P 的位置，使得的值最小，并求出最小值 【答案】(1) (2)点P位置建详解； 【分析】（1）连接，分别求出和的长，进而即可求解； （2）连接交于点P，连接，作于点G，的长即为的最小值． 【详解】（1）连接， ∵，，是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）连接交于点P，连接，作于点G，则四边形是矩形， ∴， ∴． ∵，是的直径， ∴， ∴． ∴，即的值最小值为． 【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键． 37．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）定义：能完全覆盖平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆． (1)如图①，线段，则线段AB的最小覆盖圆的半径为　　　　； (2)如图②，中，，，，请用尺规作图，作出的最小覆盖圆（保留作图痕迹，不写作法）． (3)如图③，矩形中，，，若用两个等圆完全覆盖该矩形，那么这两个等圆的最小半径为　　　　． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3) 【分析】（1）根据最小覆盖圆的定义可知，当为圆的直径时，此圆即为最小覆盖圆； （2）根据最小覆盖圆的定义可知，直角三角形的最小覆盖圆即为该直角三角形的外接圆，据此求解即可； （3）根据最小覆盖圆的定义可知；分别取的中点G，H，连接交于E，连接交于F，连接，则四边形，四边形都是矩形，同理可得圆E和圆F分别是四边形，四边形的最小覆盖圆，同理求出即可． 【详解】（1）解：如图所示，∵， ∴（O为AB中点，）， ∴当为圆的直径时，此圆即为最小覆盖圆， ∴线段的最小覆盖圆的半径为， 故答案为：； （2）解：由题意可知的最小覆盖圆即为的外接圆， 作线段的垂直平分线交于D，点D即为最小覆盖圆圆心， （3）解：如图所示，分别取的中点G，H，连接交于E，连接交于F，连接，则四边形，四边形都是矩形， 同理可得圆E和圆F分别是四边形，四边形的最小覆盖圆， 在中，， ∴， ∴， ∴这两个等圆的最小半径为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形外接圆以及四边形的外接圆的相关知识，矩形的性质，勾股定理，正确理解最小覆盖圆的定义是解题的关键． 38．（22-23九年级上·江苏淮安·阶段练习）【观察思考】 某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图.其工作原理是：滑块在平直滑道上可以左右滑动，在滑动的过程中，连杆也随之运动，并且带动连杆绕固定点摆动.在摆动过程中，两连杆的接点在以为半径的上运动.数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点作于点，并测得分米，分米，分米. 【解决问题】 (1)点在上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是_________分米. (2)如图3，小明同学说：“当点滑动到点的位置时，与是相切的.”你认为他的判断对吗？为什么？ (3)①小丽同学发现：“当点运动到上时，点到的距离最小.”事实上，还存在着点到距离最大的位置，此时，点到的距离是_________分米； ②当绕点左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数. 【答案】(1)6 (2)不对，理由见解析 (3)①3，②所求最大圆心角的度数为 【分析】（1）当O、P、Q三点共线时，在中，由勾股定理可求得，即可求解； （2）显然不对，当Q、H重合时，，显然构不成直角三角形，故与不相切； （3）①当P到直线l的距离最长时，这个最大距离为，此时直线l； ②当P到直线l的距离最大时，无法再向下摆动，若设点P摆动的两个极限位置为P、，连接，则四边形是矩形，设OH与交于点D，那么，则，在中，，则，，由此得解． 【详解】（1）解：当O、P、Q三点共线时， 在中， 由勾股定理可求得， ∴点在上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是分米. 故答案为：6； （2）解：不对． ∵， ∵当Q、H重合时，， ∵，即， ∴与不垂直．∴与不相切； （3）解：①因为的值永远是3，只有时，点P到直线l的距离最大，此时最大的距离是3分米； ②由①知，在上存在点P，到l的距离为3，此时，将不能再向下转动， 如图．在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是． 连接，交于点D， ∵均与l垂直，且， ∴四边形是矩形， ∴． 由，得． ∴． ∴所求最大圆心角的度数为． 【点睛】此题结合实际问题考查了数学相关知识的应用，涉及的知识点有：勾股定理、切线的判定、矩形的判定和性质、垂径定理等重要知识． 39．（21-22九年级上·山东青岛·期末）几何模型： 条件：如图1，A、B是直线l同侧的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小， 方法：作点B关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小． 直接应用： (1)如图2，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且，N是AC上一动点，则的最小值为______． 变式练习： (2)如图3，点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是的中点，P是直径MN上一动点，求的最小值． 深化拓展： (3)如图4，在锐角中，，，的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求的最小值． (4)如图5，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使．（要求：保留作图痕迹，并简述作法．） 【答案】(1)10 (2)的最小值为 (3)的最小值为4 (4)见解析 【分析】（1）连接BN，根据AC是对角线为对称轴，得出BN=DN，根据两点之间距离得出DN+NM=BN+NM≥BM，当B、N、M三点共线时DN+NM最短=BM，然后利用勾股定理求解即可； （2）作点B关于NM的对称点B′，连接PB′，OB′，可得PB=PB′，根据两点之间距离得出PA+PB=PA+PB′≥AB′，当A、P、B′，三点共线时PA+PB最小=AB′，然后求出∠AOB′=90°，再利用勾股定理AB′=即可； （3）作BE⊥AC于E，作点N关于AD的对称点N′，连接MN′根据AD平分∠CAB，点N在AB上，得出点N′在AC上，根据对称性得出MN=MN′，，当点M，N′在BE上时最小=BE，可证△AEB为等腰直角三角形，根据勾股定理求出即可； （4）作点B关于AC对称点B′，作射线DB′交AC与P，连接BP，根据点B与点B′关于AC对称，得出PB=PB′，根据等腰三角形三线合一性质得出PE平分∠BPB′即可． 【详解】（1）解：连接BN， ∵四边形ABCD为正方形，AC是对角线为对称轴， ∴BN=DN， ∴DN+NM=BN+NM≥BM ∴当B、N、M三点共线时DN+NM最短=BM， ∵DM=2，DC=BC=8， ∴CM=DC-DM=8-2=6， 在Rt△BCM中，BM=， ∴DN+NM最小=10； 故答案为10； （2）解：作点B关于NM的对称点B′，连接PB′，OB′， 则PB=PB′， ∴PA+PB=PA+PB′≥AB′， ∴当A、P、B′，三点共线时PA+PB最小=AB′ ∵点A是半圆上（半径为1）的三等分点， ∴的度数为60°， ∵B是的中点， ∴的度数为30°， ∴的度数为60°+30°=90°， ∴∠AOB′=90°， ∵OA=OB′=1， ∴AB′=， ∴PA+PB最小=； （3）解：作BE⊥AC于E，作点N关于AD的对称点N′，连接MN′ ∵AD平分∠CAB，点N在AB上， ∴点N′在AC上， MN=MN′，， ∴当点M，N′在BE上时最小=BE， ∵∠CAB=45°，BE⊥AC ∴∠EBA=180°-90°-45°=45°=∠CAB， ∴AE=BE， ∴△AEB为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴最小=4； （4）作点B关于AC对称点B′，作射线DB′交AC与P，连接BP， ∵点B与点B′关于AC对称， ∴PB=PB′， ∵PE⊥BB′ ∴PE平分∠BPB′， ∴∠APB=∠APD． 【点睛】本题考查尺规作图，轴对称性质，两点之间线段最短，正方形性质，勾股定理，圆心角，圆周角弧弦的关系，等腰直角三角形判定与性质，掌握尺规作图，轴对称性质，两点之间线段最短，正方形性质，勾股定理，圆心角，圆周角弧弦的关系，等腰直角三角形判定与性质是解题关键． 40．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）观赏展品时视角越大越理想．如图所示，墙壁上一副展品距地面最高处为点、最低处为点，人观看展品时眼睛可以在水平线上移动． (1)请证明：当过三点的圆与水平线相切于点时，视角最大． (2)若展品距地面最高、最低，小明身高，他站在与墙水平距离多远处，观赏展品最理想？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，外角性质，切线性质定理，矩形判定及性质，勾股定理等． （1）过点水平线上取异于点的，连接交圆于点，连接，，利用外角性质可知，利用圆周角定理可知，继而得到本题答案； （2）连接，过点作于点，可得四边形是矩形，利用线段和差可得，再利用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】（1）解：过点水平线上取异于点的，连接交圆于点，连接，， ， ∵是的外角， ∴， 又∵， ∴， ∴在点处视角最大，即视角最大； （2）解：∵由题意得：，，设与交于点，圆心为 由题意知：， ∴，， 连接，过点作于点， ， ∵与水平线相切于点， ∴， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 即站在与墙水平距离处最理想． 【经典例题九 圆中动点压轴题型】 41．（2024·江苏淮安·一模）如图，是的直径，，延长至点C，使．动点P从点A 出发，沿圆周按顺时针方向以每秒个单位的速度向终点B运动，设运动时间为t秒，连接，作点C关于直线的对称点D，连接、、、．    (1)当时． ①求的度数； ②判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求t的值． 【答案】(1)①；②与相切，理由见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，圆的相关性质，勾股定理的逆定理，弧长公式等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）①由题意可知，，根据弧长公式，设，当时，，求解即可； ②连接，由①可知，，，可知为等边三角形，则，再证，则，得，即可求得，可证得与相切； （2）由（1）可知，，，由轴对称可知，，，根据勾股定理的逆定理可证明，则，再由弧长公式得，即可求得． 【详解】（1）解：①∵是的直径，， ∴， 设，当时， ∴，即：； ②与相切，理由如下： 连接，    由①可知，，， ∴为等边三角形，则，， 又∵， ∴，则， ∴，则， ∴与相切； （2）由（1）可知，，， 由轴对称可知，，， 在中，，， ∴， ∴，则， 则，解得：． 42．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）[问题提出]我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ [初步思考] (1)如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则______， _____； (2)如图2，是的弦，圆心角，点是上不与、重合的一点，求弦所对的圆周角的度数为_______________；（用m的代数式表示） [问题解决] (3)如图3，已知线段，点在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形（① 直尺为无刻度直尺；② 不写作法，保留作图痕迹）； [实际应用] (4)如图4，在边长为6的等边三角形中，点、分别是边、上的动点，连接、，交于点，若始终保持，当点E从点A运动到点C时，点P运动的路径长是__________________． 【答案】(1)50，130 (2)或 (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据圆周角定理计算的度数，然后根据圆内接四边形的性质求的度数； （2）与（1）的求法一样（注意分类讨论）； （3）先作的垂直平分线得到的中点，再以为直径作圆交的垂直平分线于，然后以点为圆心，为半径作，则在内的弧为满足条件的点所组成的图形； （4）由等边三角形的性质证明可以得出，点的路径是一段弧，由题目不难看出当为的中点的时候，点经过弧的中点，此时为等腰三角形，且，由弧线长公式就可以得出结论． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：50，130； （2）解：当在优弧上时，， 当在劣弧上时，， 故答案为：或； （3）解：如图3， 劣弧（实线部分且不包含、两个端点）就是所满足条件的点所组成的图形； （4）解：如图4：作于， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， 点的路径是一段弧，由题目不难看出当为的中点时，点经过弧的中点， 此时为等腰三角形．且， ， ， ， ， 点的路径是：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、圆内接四边形性质、等边三角形的性质的运用、全等三角形的判定及性质的运用、弧线长公式的运用，解题关键是证明三角形全等，本题还考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 43．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，点E从点A出发以每秒1个单位长度向点B运动，同时点F从点C出发以每秒1个单位长度向点D运动，当点E、F运动到终点时停止运动．设运动的时间为t秒．    (1)当点E、F的距离是点E、A距离的两倍时，求t的值； (2)当以为直径的圆与相切时，求t的值； (3)在运动的过程中，点B到的最远距离为______． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定性质，勾股定理，直线和圆的位置关系，解方程等知识点，灵活运用性质解题及方程思想的运用是解题的关键． （1）过点作于点，由题意可知，由矩形的性质及勾股定理可得出答案； （2）连接，与交于点，过点作于点，证明，得出，即的中点为矩形的中心，由勾股定理可得出答案； （3）由勾股定理可得出答案． 【详解】（1）过点作于点，由题意可知， ∵四边形是矩形， 是矩形，    （2）连接，与交于点，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即的中点为矩形的中心， 以为直径的圆与相切， ∴圆的半径， 则， 在中，由（1）得 由勾股定理可得：， 解之得． 综上：或；    （3）由（2）可知，经过矩形的中心， 当时，点到的距离有最大值， ∵， ∴， ∴点到的最远距离为． 故答案为：．    44．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图1，在中，，，厘米，点从点开始沿边向点以每秒2厘米的速度移动，同时点从点开始沿边向点以每秒1厘米的速度移动，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动．求： (1)点从点出发，经过几秒的面积等于1平方厘米？ (2)是否存在以点为圆心、为半径的圆与直线相切，若存在，求出经过几秒相切？若不存在，请说明理由； (3)如图2，点是内的一个动点，且满足，求线段的最小值． 【答案】(1)经过1秒的面积等于平方厘米； (2)经过秒相切； (3)线段的最小值 【分析】（1）首先设经过x秒的面积等于平方厘米，然后利用面积列出方程，求解即可； （2）首先假设存在以点为圆心、为半径的圆与直线相切，然后根据相切的性质和勾股定理，列出方程，求解即可； （3）首先由得出，将其转化为点M在以为直径的圆在内的弧上，则当B，M，O三点共线时最小，即可得解. 【详解】（1）设经过x秒的面积等于平方厘米，则，，, 由题意，得 ∴ 化简得： ∴． 答：经过1秒的面积等于平方厘米； （2）假设存在以点为圆心、为半径的圆与直线相切，如图设其切点为H， ∵与圆P相切， ∴ ∵ ∴ ∴， 在中， ∴ 解得： 由于点P的运动时间最大为2秒，故x2舍去 所以经过秒相切； （3）∵ ∵， ∴ ∴点M在以为直径的圆在内的弧上，如图所示： ∴当B，M，O三点共线时最小 ， ∴ 即线段的最小值． 【点睛】此题主要考查勾股定理、切线的性质、一元二次方程的应用和圆的综合问题，解题关键是利用动点构建方程，求解即可． 45．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）阅读理解： （1）【学习心得】 学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．    ①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 °． ②类型二，“定角+定弦”：如图，中，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：∵， ∴，∵，∴， ∴ ，（定角） ∴点P在以（定弦）为直径的上，请完成后面的过程． （2）【问题解决】 如图3，在矩形中，已知，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为 ． （3）【问题拓展】 如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P． ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 【答案】（1）① 28度；②见解析；（2）4；（3）①相等且垂直，见解析；② 【分析】(1) ①根据圆的定义，构造辅助圆，运用圆周角定理计算即可；②根据直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上，构造辅助圆，运用圆的性质计算即可． (2) 根据圆的定义，构造辅助圆，运用圆得性质计算即可． (3) 根据直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上，构造辅助圆，运用圆的性质，弧长公式计算即可． 本题主要考查圆的基础知识，熟练掌握圆的定义，构造辅助圆的基本方法是解题的关键． 【详解】（1）①∵，， ∴点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上，    如图1，． （2），， ，，， 点在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点，此时最小，    点是的中点，， 在中，，，， ，． 最小值为4． （2）如图3，连接，    点，点关于直线对称， ，点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 当点在线段上时，有最小值， ，，， ∴的最小值为． （3）①结论：， 理由：∵四边形是正方形， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴，， ，，， ，． ②如图4，连接，交于点O， ∵点P在运动中保持，    ∴点P的运动路径是以为直径的圆的， ∴点P的运动路径长为． 【经典例题十 圆与三角形的综合】 46．（23-24九年级上·河南三门峡·期末）如图，三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么这个三角形可称为“等中三角形”，探索体验 （1）如图①，点D是线段的中点，请画一个，使其为“等中三角形”． （2）如图②，在 中， ，判断是否为“等中三角形”，并说明理由． 拓展应用 （3）如图③，正方形木板的边长，请探索在正方形木板上是否存在点P，使为面积最大的“等中三角形”？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）是“等中三角形”，理由见解析（3）存在，的长3． 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理等： （1）以D为圆心，的长为半径画圆；在圆上任意取一点C（直线与的交点除外），连接，则就是所求作的“等中三角形”； （2）取的中点D，连接，根据勾股定理可求出的长，从而得到，即可； （3）分三种情况，结合“等中三角形”的定义，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，以D为圆心，的长为半径画圆；在圆上任意取一点C（直线与的交点除外），连接，则就是所求作的“等中三角形”； （2）是“等中三角形”．理由如下： ∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形较短直角边上的中线大于较长直角边， ∴取的中点D，连接，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是“等中三角形”； （3）存在． 当中线长时，如图，在正方形内任意取一点P，连接，取的中点E；以 E为圆心，以为半径画圆，当圆E经过点B时，是等中三角形； 当中线长时，如图，在正方形内任意取一点P，连接，取中点E；以 E为圆心，以为半径画圆，当圆E经过点A时，是等中三角形； 当中线长时，取中点E，以E为圆心，以为半径画圆，交于P，此时； 根据题意可得：当中线长时，点P到的距离最大， 即当中线长时，是面积最大的等中三角形， 此时：，四边形为矩形， 此时． 47．（2024·山西晋城·三模）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 三角形中线定理 三角形中线定理又称阿波罗尼奥斯定理，是一种平面几何的定理之一，指三角形三边和中线长度关系． 阿波罗尼奥斯（约公元前262-190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德合称为古希腊亚历山大前期的三大数学家． 中线定理：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在中，点D为BC的中点，根据“阿波罗尼奥斯”，可得．下面是该定理的证明过程（部分）： 证明：过点A作于点E，如图2，在中，， 同理可得：，， 证明的方便，不妨设，， … 任务： (1)按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分； (2)如图3，在中，点为的中点，，，，则的长为______； (3)如图4，已知平行四边形中，和相交于点，设，，请直接用含，的代数式表示的值； (4)如图5，已知平行四边形内接于，点为内一点，若，，，，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，勾股定理，平行四边形的性质，矩形的性质； （1）用线段的和差关系以及等量代换即可证明． （2）直接利用阿波罗尼奥斯定理，即可求解． （3）根据平行四边形的性质以及阿波罗尼奥斯定理，即可求解； （4）根据题意得出是矩形，进而根据阿波罗尼奥斯定理，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵在中，点为的中点，，，， ∴， 根据“阿波罗尼奥斯”，可得 ∴ 解得：； （3）∵四边形是平行四边形， ∴ ∵，， ∴ 在中，是中线， 根据“阿波罗尼奥斯”，可得 ∴ ∴； （4）∵平行四边形内接于，是直径， ∴ ∴四边形是矩形，， ∴ ∴ 在中，根据“阿波罗尼奥斯”，可得 ∴, 解得：． 48．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）已知、为圆上两定点，点在该圆上，为弧所对的圆周角． 【知识回顾】 （1）如图1，在中，点、位于直线的异侧，． ①求的度数； ②若的半径为10，，求的长； 【知识应用】 （2）尺规作图：如图2，是的直径，为圆心，在直径上方的半圆上找两点、，使得（保留作图痕迹，不写作法）； 【逆向思考】 （3）如图3，若为圆内一点，且，，．求证：点为该圆的圆心． 【答案】（1）①，②（2）见解析（3）见解析 【分析】（1）①根据，结合圆周角定理求的度数；②连接，过A作，垂足为M，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可； （2）分别以点E，F为圆心，大于的长度为半径画弧，连接弧交点，作直线，直线即为的垂直平分线，直线交与两点，在上任取一点，在上任取一点，连接，由圆周角定理得到，根据四边形是的内接四边形，即可得到，则点、为所求； （3）延长交圆于点N，连接，则，由，，推出，得到点P到圆上A、B和另一点的距离相等即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴， ∴． ②连接，过A作，垂足为M， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ， ∵，的半径为10， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在直角三角形中，， ， ，即， （舍去，不符合题意）或， ， ∴， ； （2）如图，分别以点E，F为圆心，大于的长度为半径画弧，连接弧交点，作直线，直线即为的垂直平分线，直线交两点，在上任取一点，在上任取一点，连接，点、为所求； 是的直径， ， ， 四边形是的内接四边形， ； （3）证明：延长交圆于点N，连接，则， ∵， ∴， ∴，即 ∵， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴P为该圆的圆心． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，圆周角，勾股定理，等腰直角三角形的性质，理解题意是解本题的关键． 49．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知关于的一元二次方程为常数且． (1)求证：方程一定有两个实数根； (2)若方程的两根为、且、都为整数，，求整数的值； (3)在（2）的条件下，如图，平面直角坐标系中，，，以为直径作，与轴交于C、D．点在平面内运动． ①若点在上，求的值； ②若为锐角三角形，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①或②或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，及其根的整数性，点与圆的位置，锐角三角形的特征． （1）证明一元二次方程根的判别式大于等于零即可． （2）因式分解法求得方程的两个根，根据根的整数性，分类讨论计算即可． （3）①根据确定，得到，，从而得到，，根据点在上，则，计算即可． ②分点P在上，内，外，外部时，再分在的左侧和，之间，在的右侧和，之间求解即可． 【详解】（1）∵方程一元二次方程为常数且，， ∴， ∴方程一定有两个实数根． （2）∵方程一元二次方程为常数且， ∴， 解得． ∵方程的两根为、且、都为整数，，k为整数， ∴，且， 当时，都不满足， 故． （3）①∵， ∴的两个根为， ∴，， ∴， ∴，，的半径为3， ∵点在上， ∴， ∴， ∴， 解得， 故或． ②当点P在上时，根据①得或，为直径，此时 ，三角形都是直角三角形； 当点P在内时，连接，延长交于点N，连接，，则, ，是钝角，此时三角形是钝角三角形，不符合题意； 当点P在外部时，作于点A，于点B， 此时，三角形都是直角三角形；根据，， 此时或； 当点P在的左侧和的右侧时，显然此时，此时的三角形是钝角三角形； 当点P在，之间和，之间是符合题意的锐角三角形， 故a的取值范围是或． 50．（23-24九年级上·江苏南通·期末）在中，已知，，．    (1)如图①，与的三边都相切，求的半径； (2)如图②，与是内互相外切的两个等圆，且分别与，的两边都相切，求这两个等圆的半径；； (3)如图③，若，若内有个依次外切且都与相切的等圆，、分别与，相切，求这些等圆的半径． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接三角形的内心和三角形的各个顶点，根据三角形的总面积等于分割成的三个小三角形的面积，进行计算； （2）连接两圆的圆心和每个圆的圆心和三角形的三个顶点，把大三角形分割成了三个三角形和一个梯形，根据三角形的总面积等于四部分的面积的和，进行计算； （3）连接第一个圆和最后一个圆的圆心，以及两个圆的圆心和三角形的三个顶点，根据（2）的思路进行计算． 【详解】（1）解：（1）在中，，，， ． 如图①，设与的边，，分别切于点，，．    连接，，，，，． 于是，，． ，， ∵ ， ． （2）如图③，连接，，，，，则    ． 等圆，外切， ，且． 过点作于点，交于点，则 ，． ． ， 解得． （3）如图③，连接，，，，，则    ，， 等圆，，，依次外切，且均与边相切， ，，，均在直线上，且， ． 过点作于点，交于点， 则，， ． 解得． 【点睛】本题考查圆的有关知识，三角形内切圆，两圆位置关系等知识，解决此题的方法是根据三角形的面积的不同计算方法进行计算，学会利用面积法求直角三角形斜边上的高，属于中考压轴题． 学科网（北京）股份有限公司 $$