专题04 直线与圆的位置关系重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题04 直线与圆的位置关系重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 判断直线和圆的位置关系 题型二 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围 题型三 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型四 根据直线与圆的位置关系确定交点个数 题型五 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 题型六 求直线平移到与圆相切时运动的距离 题型七 利用直线与圆的位置关系求最值 题型八 直线与圆的位置关系综合 知识点一、直线和圆的位置关系 1. 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 直线与圆没有公共点 直线与相离 相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做 圆的切线，公共点叫做切点 直线与相切 相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做 圆的割线 直线与相交 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示： 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 圆心到直线的距离与半径的关系 公共点名称 交点 切点 — 直线名称 割线 切线 — 【经典例题一 判断直线和圆的位置关系】 【例1】（23-24九年级上·山东聊城·期中）在中，，，，若以C点为圆心、以13为半径画，则直线与的位置关系是（　） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 1．（2024·江西九江·二模）如图，在矩形的对称轴上找点，使得均为直角三角形，则符合条件的点的个数是（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 2．（2022九年级上·全国·专题练习）在中，，，，以点C为圆心，作半径为R的圆，则当 时，和直线相交 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知：中，，以点C为圆心，作半径为的圆.问： (1)当R为何值时，和直线相离？ (2)当R为何值时，和直线相切？ (3)当R为何值时，和直线相交？ 【经典例题二 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围】 【例2】（2024·山东菏泽·一模）在直角三角形中，，，，以点C为圆心作，半径为，已知直线和有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级下·上海崇明·期中）已知在中，，若以C为圆心，r长为半径的圆C与边有交点，那么r的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）在中，，，．以点为圆心，为半径的圆作⊙C，若边与⊙C只有一个公共点，则半径r的取值范围为 ． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知的斜边，直角边，以点为圆心作． (1)当半径为________时，直线与相切； (2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________； (3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________． 【经典例题三 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】 【例3】（2024·河南许昌·二模）如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D 是上的一动点．当点 D 到弦的距离最大时，点D 的坐标是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，连接，，则面积的最小值为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为 ． 3．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为．    (1)求与直线相切时点的坐标． (2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围． 【经典例题四 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】 【例4】（17-18九年级下·全国·单元测试）已知⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为（    ） A．0 B．l C．2 D．法确定 1．（18-19九年级上·全国·期末）已知，中，，斜边上的高为，以点为圆心，为半径的圆与该直线的交点个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与有 个交点． 3．（2020·广东·一模）在平面直角坐标系中，圆心O的坐标为（-3，4），以半径r在坐标平面内作圆， （1）当r 时，圆O与坐标轴有1个交点； （2）当r 时，圆O与坐标轴有2个交点； （3）当r 时，圆O与坐标轴有3个交点； （4）当r 时，圆O与坐标轴有4个交点； 【经典例题五 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】 【例5】（21-22九年级上·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 1．（2021·四川绵阳·一模）如图，⊙O1的直径AB长度为12，⊙O2的直径为8，∠AO1O2＝30°，⊙O2沿直线O1O2平移，当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，令圆心距O1O2＝x，则x的取值范围是（　　） A．2≤x≤10 B．4≤x≤16 C．4≤x≤4 D．2≤x≤8 2．（2023·吉林松原·二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．    3．（16-17九年级上·天津宝坻·期末）如图，已知∠APB=30°，OP=3cm，⊙O的半径为1cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动． （Ⅰ）当圆心O移动的距离为1cm时，说明⊙O与直线PA的位置关系． （Ⅱ）若圆心O的移动距离是d，当⊙O与直线PA相交时，求d的取值范围 【经典例题六 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 【例6】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 1．（21-22九年级上·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆的圆心的坐标为（-3，0），将圆沿轴的正方向平移，使得圆与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．3或6 C．3 D．1或5 2．（22-23九年级上·福建南平·阶段练习）如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为 时，与直线相切． 3．（20-21九年级上·全国·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离． 【经典例题七 利用直线与圆的位置关系求最值】 【例7】（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为 ；的最大值为 ．    1、（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（－1，0），点B（1，0），点M（3，4），以M为圆心，2为半径作⊙M．若点P是⊙M上一个动点，则PA2＋PB2的最大值为 2、（2023·陕西·交大附中分校校考模拟预测）如图，在中，，，，的半径为．在内平移（可以沿边界移动），则点到上的点的距离最大值 ． 3、（2023·四川泸州·统考一模）如图，在中，，，，以边的中点O为圆心，作半圆与相切，点P，Q分别是边（包括端点）和半圆上的动点，连接，则长的最大值与最小值的差是 ．    【经典例题八 直线与圆的位置关系综合】 【例8】（23-24九年级上·江苏南通·开学考试）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以为圆心，1为半径的圆上一动点，连结、．则面积的最大值是（　　）    A． B． C． D． 1．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）如图，已知直线的解析式是，并且与轴、轴分别交于，两点．一个半径为3的，圆心从点开始以每秒2个单位长度的速度沿着轴向下运动，当与直线相切时，则该圆运动的时间为（　　） A．3秒或8秒 B．8秒 C．3秒 D．6秒或16秒 2．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以OA为直径在x轴上方作半圆，直线l的解析式为，若直线l与半圆只有一个公共点，则t的值是 ． 3．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，P是边上一点，过点A、B、P、作 (1)圆心O在上吗？为什么？ (2)当时，判断与的位置关系； (3)当与相切时，求被截得的弦长． 1．（2024·河南许昌·二模）如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D 是上的一动点．当点 D 到弦的距离最大时，点D 的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广西玉林·三模）如图，在矩形中，，，点E、F分别是边上的动点，且，点G是的中点，连结，则四边形面积的最小值为（    ） A．142 B．96 C．192 D．124 3．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，连接，，则面积的最小值为（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·山东菏泽·一模）在直角三角形中，，，，以点C为圆心作，半径为，已知直线和有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级下·福建南平·自主招生）如图，直线与圆心在原点，半径为的圆有公共点，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 6．（2024·上海长宁·二模）我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在中，，如果的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是 ． 7．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为 ． 8．（21-22九年级上·新疆塔城·期末）如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，），，点P的坐标为，与y轴相切于点O，若将沿x轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标 ． 9．（20-21九年级上·江苏徐州·期中）如图，直线、相交于点，半径为1cm的⊙的圆心在直线上，且与点的距离为8cm，如果⊙以2cm/s的速度，由向的方向运动，那么 秒后⊙与直线相切. 10．（2023·吉林松原·二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．    11．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）（1）如图，已知中，是上一点．求作，使得过点，且与相切． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． （2）如图，在中，是边上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在不同的点分别和点、构成直角三角形，直接写出不同的点的个数及对应的的长的取值范围． 12．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知的斜边，直角边，以点为圆心作． (1)当半径为 　　时，直线与相切； (2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为______________； (3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为________________． 13．（2024·河南周口·一模）在中，，连接．    (1)尺规作图：过点A作，交的延长线于点D（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：为的切线； (3)若，，则的半径为______. 14．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为．    (1)求与直线相切时点的坐标． (2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围． 15．（2023·江苏常州·二模）对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“最小距离”，记作. 已知点，，连接．    (1)填空： ______； (2)的半径是r，若，直接写出r的取值范围； (3)的半径是r，若将点B绕点A顺时针旋转，得到点C. ①当时，求此时r的值； ②对于取定的r值，若存在两个不同的值使得，直接写出r的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 直线与圆的位置关系重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 判断直线和圆的位置关系 题型二 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围 题型三 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型四 根据直线与圆的位置关系确定交点个数 题型五 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 题型六 求直线平移到与圆相切时运动的距离 题型七 利用直线与圆的位置关系求最值 题型八 直线与圆的位置关系综合 知识点一、直线和圆的位置关系 1. 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 直线与圆没有公共点 直线与相离 相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做 圆的切线，公共点叫做切点 直线与相切 相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做 圆的割线 直线与相交 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示： 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 圆心到直线的距离与半径的关系 公共点名称 交点 切点 — 直线名称 割线 切线 — 【经典例题一 判断直线和圆的位置关系】 【例1】（23-24九年级上·山东聊城·期中）在中，，，，若以C点为圆心、以13为半径画，则直线与的位置关系是（　） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【分析】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系和勾股定理，先根据题意可求出斜边的长，再过点C作于点，设，则，根据勾股定理列出关于长的等式，求得的长，再根据勾股定理求得的长，与半径相比较，即可得到直线与的位置关系． 【详解】解：，，， ， 如图，过点C作于点，设，则，    此时有，即， 解得：，此时， 半径为13，， 直线与的位置关系是相交， 故选：C． 1．（2024·江西九江·二模）如图，在矩形的对称轴上找点，使得均为直角三角形，则符合条件的点的个数是（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的的轴对称性，圆周角定理等知识，由可以判定以为直径的与矩形的对称轴l有两个交点，由圆周角定理的推论以及矩形的轴对称性判定即可． 【详解】解∶设矩形的对称轴l与相交于，与相交于， 当P与或重合时，是直角三角形， 由对称性知，对应的也是直角三角形； ∵， ∴以为直径的与矩形的对称轴l有两个交点，设为，， ∴当P与或重合时，是直角三角形， 由对称性知，对应的也是直角三角形； 故符合题意的点P有4个， 故选：C． 2．（2022九年级上·全国·专题练习）在中，，，，以点C为圆心，作半径为R的圆，则当 时，和直线相交 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积和直线与圆的位置关系等知识点，注意：已知的半径为，圆心到中线的距离是，①当时，直线与相交，②当时，直线与相切，③当时，直线与相离． 过作于，根据勾股定理求出，根据三角形的面积求出长，再得出答案即可． 【详解】解：过作于，    在中，由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：， ，，， ， 解得：， 以点为圆心，作半径为的圆，则当时，和直线相交， 故答案为：． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知：中，，以点C为圆心，作半径为的圆.问： (1)当R为何值时，和直线相离？ (2)当R为何值时，和直线相切？ (3)当R为何值时，和直线相交？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系．根据题意画出图形，过点C作于点D，由勾股定理求出的长，再求出的长，根据直线与圆的三种位置关系进行解答即可． 【详解】（1）解：过点C作于点D，    ∵中，， ∴， ∴， ∴当，和直线相离； （2）解：当时，和直线相切； （3）解：当时，和直线相交． 【经典例题二 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围】 【例2】（2024·山东菏泽·一模）在直角三角形中，，，，以点C为圆心作，半径为，已知直线和有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，作于D，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，可得以C为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，即可得直线和有交点， 的取值范围． 【详解】解：作于D，如图所示： ∵， ∴， ∵的面积， ∴，即圆心C到的距离， ∴以C为圆心的⊙C与直线有交点，则的取值范围是：． 故选：D． 1．（23-24九年级下·上海崇明·期中）已知在中，，若以C为圆心，r长为半径的圆C与边有交点，那么r的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题注意两种情况：（1）圆与相切时；（2）点在圆内部，点在圆上或圆外时．根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解．本题考查了直线与圆的位置关系和三角形的面积等知识点，解此题的关键是画出符合条件的所有情况． 【详解】解：依题意，， 根据勾股定理求得． 当圆与相切时，此时半径最小，即； 当点在圆上，此时半径最大，即， 综上：即． 故选：D． 2．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）在中，，，．以点为圆心，为半径的圆作⊙C，若边与⊙C只有一个公共点，则半径r的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离． 此题注意考虑两种情况，因为要使圆与斜边只有一个公共点，所以该圆和斜边相切或和斜边相交，但只有一个交点在斜边上. 【详解】解：过点作于点， ∵在中，，，， ， ， 如图，当与和相切时，则的半径为； 当和相交，且只有一个交点在斜边上时，则 ． 故半径r的取值范围是或． 故答案为或． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知的斜边，直角边，以点为圆心作． (1)当半径为________时，直线与相切； (2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________； (3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________． 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【分析】（）如图作于，求出的值即可判断； （）当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ； （）当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或， 本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）如图作于，    在中，，，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴当半径时，直线与相切， 故答案为：； （2）观察图形可知， 当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ， 故答案为：或； （3）观察图形可知， 当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或， 故答案为：或． 【经典例题三 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】 【例3】（2024·河南许昌·二模）如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D 是上的一动点．当点 D 到弦的距离最大时，点D 的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点P作于点E，作于点F，延长交于点D，此时 点 D 到弦的距离最大，利用垂径定理，勾股定理计算即可． 本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理是解题的关键． 【详解】解：∵点, ∴, 过点P作于点E，作于点F，延长交于点D，此时点 D 到弦的距离最大， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴点 D 到弦的距离最大为， ∴点D的坐标为， 故选A． ． 1．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，连接，，则面积的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出点在为直径的圆，在矩形内的半圆上运动，则点到的最短距离为，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵，点是矩形内一动点， ∴点在为直径的圆，在矩形内的半圆上运动， ∵矩形中，，， ∴， 如图所示，取的中点，则    ∴点到的最短距离为， ∴面积的最小值为， 故选：C． 2．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．如图，连接，作于，于．由题意，，推出欲求的最大值，只要求出的最小值即可． 【详解】解：如图，连接，作于，于． ， ， ， ，， ， 欲求的最大值，只要求出的最小值即可， ， 点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆， 在中，，， ， ， ， 当，，共线，且与重合时，的值最小， 的最小值为， 的最大值， 故答案为． 3．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为．    (1)求与直线相切时点的坐标． (2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据直线和圆相切应满足圆心到直线的距离等于半径，首先求得点的横坐标，再根据直线的解析式求得点的纵坐标． （2）根据（1）的结论，即可分析出相离和相交时的取值范围． 【详解】（1）解：过作直线的垂线，垂足为； 当点在直线右侧时，，解得； ∴； 当点在直线左侧时，，得， ∴，    ∴当与直线相切时，点的坐标为或． （2）解：由（1）可知当时，与直线相交 当或时，与直线相离． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的不同位置关系应满足的数量关系，根据数量关系正确求解是解题的关键． 【经典例题四 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】 【例4】（17-18九年级下·全国·单元测试）已知⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为（    ） A．0 B．l C．2 D．法确定 【答案】C 【分析】先根据题意判断出直线与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：∵⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为5cm，6cm＞5cm， ∴直线l与⊙O相交， ∴直线l与⊙O有两个交点． 故选：C． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d＜r时，直线与圆相交是解答此题的关键． 1．（18-19九年级上·全国·期末）已知，中，，斜边上的高为，以点为圆心，为半径的圆与该直线的交点个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离． 【详解】解：∵5cm＞4.8cm， ∴d> r. ∴圆与该直线AB的位置关系是相离，交点个数为0， 故选A． 【点睛】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系，关键是掌握d与r的大小关系所决定的直线与圆的位置关系． 2．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与有 个交点． 【答案】0 【分析】本题考查了解一元二次方程，直线与圆的位置关系，解出方程根据圆的半径大于0舍去方程得负数根，根据“圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆无交点；圆心到直线的距离等于半径，则直线与圆相切，有一个交点；圆心到直线的距离小于半径，则直线与圆有两个交点”得到结果，是解题的关键． 【详解】解：解，可得， 的半径是一元二次方程的一个根， 圆的半径为3， 圆心O到直线l的距离为4， 直线l与有0个交点， 故答案为：0． 3．（2020·广东·一模）在平面直角坐标系中，圆心O的坐标为（-3，4），以半径r在坐标平面内作圆， （1）当r 时，圆O与坐标轴有1个交点； （2）当r 时，圆O与坐标轴有2个交点； （3）当r 时，圆O与坐标轴有3个交点； （4）当r 时，圆O与坐标轴有4个交点； 【答案】（1）；（2）；（3）或5；（6）且 【分析】分别根据直线与圆相切、相交的关系进行逐一解答即可． 【详解】解：（1）圆心的坐标为， 当时，圆与坐标轴有1个交点； （2）圆心的坐标为， 当时，圆与坐标轴有2个交点； （3）圆心的坐标为， 当或5时，圆与坐标轴有3个交点； （4）圆心的坐标为， 当且时，圆与坐标轴有4个交点． 故答案为：（1）；（2）；（3）或5；（6）且． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解答此题时要考虑到圆过原点的情况，这是此题易遗漏的地方． 【经典例题五 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】 【例5】（21-22九年级上·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 【答案】D 【分析】分圆P在轴的上方与轴相切和圆P在轴的下方与轴相切两种情况分别求解即可． 【详解】解：当圆P在轴的上方与轴相切时，平移的距离为， 当圆P在轴的下方与轴相切时，平移的距离为， 综上所述，向下平移的距离为1或5． 故选：D． 【点睛】本题考查了相切的定义、平移变换等知识点，注意分类讨论是解答本题的关键． 1．（2021·四川绵阳·一模）如图，⊙O1的直径AB长度为12，⊙O2的直径为8，∠AO1O2＝30°，⊙O2沿直线O1O2平移，当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，令圆心距O1O2＝x，则x的取值范围是（　　） A．2≤x≤10 B．4≤x≤16 C．4≤x≤4 D．2≤x≤8 【答案】D 【分析】由题意得出点O2在点O1的右侧，⊙O2与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，O1O2的最大值和最小值，分别画出图形求解得出x的取值范围，根据对称性可得点O2在点O1的左侧时的结论． 【详解】解：当点O2在点O1的右侧时， 当⊙O2向左移动到与直线AB相切时，如图1所示，设切点为M， 则O2M=4， 又∵∠AO2O1=30°， ∴O1O2=2•O2M=8， 当⊙O2继续向左移动到与⊙O1内切时，如图2所示，此时O1O2=6-4=2， 所以当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，2≤x≤8； 故选：D． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、平移的性质，求出符合条件的x的最大值和最小值是解决问题的关键． 2．（2023·吉林松原·二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．    【答案】/ 【分析】分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离d的取值范围是， 故答案为：．    【点睛】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 3．（16-17九年级上·天津宝坻·期末）如图，已知∠APB=30°，OP=3cm，⊙O的半径为1cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动． （Ⅰ）当圆心O移动的距离为1cm时，说明⊙O与直线PA的位置关系． （Ⅱ）若圆心O的移动距离是d，当⊙O与直线PA相交时，求d的取值范围 【答案】相切;1cm＜d＜5cm 【详解】试题分析：（1）如图，当点O向左移动1cm时，PO′=PO﹣O′O=3﹣1=2cm， 作O′C⊥PA于C， ∵∠P=30度， ∴O′C=PO′=1cm， ∵圆的半径为1cm， ∴⊙O与直线PA的位置关系是相切； （2）如图：当点O由O′向右继续移动时，PA与圆相交， 当移动到C″时，相切， 此时C″P=PO′=2， ∴点O移动的距离d的范围满足1cm＜d＜5cm时相交 考点：直线与圆的位置关系． 【经典例题六 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 【例6】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为解直角三角形的问题是关键．作于点，由垂径定理即可求得的长，根据勾股定理即可求得的长，再分点向上平移与向下平移两种情况进行讨论即可． 【详解】解：连接，作于点，由垂径定理得： ， 在直角中，由勾股定理得：， 即， ， 的半径是2． 将向上平移，当与轴相切时，平移的距离； 将向下平移，当与轴相切时，平移的距离． 故选：D 1．（21-22九年级上·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆的圆心的坐标为（-3，0），将圆沿轴的正方向平移，使得圆与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．3或6 C．3 D．1或5 【答案】D 【分析】分圆P在y轴的左侧与y轴相切、圆P在y轴的右侧与y轴相切两种情况，根据切线的判定定理解答即可求得． 【详解】解：根据题意可得：OP=3，圆P的半径为2， 当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3-2=1， 当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5， 故圆与轴相切，则平移的距离为1或5， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，图形的平移，分类讨论是解决本题的关键． 2．（22-23九年级上·福建南平·阶段练习）如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为 时，与直线相切． 【答案】或 【分析】在射线上或在射线上，设对应的圆的圆心分别在M，根据切线的性质，在中，根据30度的角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得的长，进而求得的长，从而求得由P到M移动的时间；根据，即可求得，也可以求得由P到M移动的时间． 【详解】解：当在射线上，设与相切于点E，P移动到M时，连接． ∵与直线相切， ∴， ∵在中，，， ∴， 则， ∵以的速度沿由A向B的方向移动， ∴移动时与直线相切． 当在射线上时，同理可求移动时与直线相切． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质和直角三角形的性质，注意已知圆的切线时，常用的辅助线是连接圆心与切点，本题中注意到分两种情况讨论是解题的关键． 3．（20-21九年级上·全国·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离． 【答案】1或5． 【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【详解】当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； 当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． 故答案为：1或5． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 【经典例题七 利用直线与圆的位置关系求最值】 【例7】（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为 ；的最大值为 ．    【答案】 【分析】（1）根据等底等高的三角形和矩形面积关系分析求解； （2）结合勾股定理分析可得，当最大时，即最大，通过分析点N的运动轨迹，结合勾股定理确定的最值，从而求得的最大值． 【详解】解：由题意可得的面积等于矩形的一半， ∴的面积为， 在中，， ∴当最大时，即最大， 由题意可得点N是在以D为圆心4为半径的圆上运动，当射线与圆相切时，最大，此时C、N、M三点共线，如图：    由题意可得：，， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，分析点的运动轨迹，证明三角形全等是解决问题的关键． 1、（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（－1，0），点B（1，0），点M（3，4），以M为圆心，2为半径作⊙M．若点P是⊙M上一个动点，则PA2＋PB2的最大值为 【答案】100 【分析】设点P（x，y），表示出PA2＋PB2的值，从而转化为求OP的最值，画出图形后可直观得出OP的最值，代入求解即可． 【详解】解：设P（x，y）， ∵PA2＝（x＋1）2＋y2，PB2＝（x−1）2＋y2， ∴PA2＋PB2＝2x2＋2y2＋2＝2（x2＋y2）＋2， ∵OP2＝x2＋y2， ∴PA2＋PB2＝2OP2＋2， 当点P处于OM与圆的交点P处时，OP取得最大值，如图， ∴OP的最大值为OP＝OM＋PM＝＋2＝7， ∴PA2＋PB2最大值为2×72＋2＝100． 故答案为：100． 【点睛】本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点P坐标，将所求代数式的值转化为求解OP的最大值，难度较大． 2、（2023·陕西·交大附中分校校考模拟预测）如图，在中，，，，的半径为．在内平移（可以沿边界移动），则点到上的点的距离最大值 ． 【答案】 【分析】当与和都相切时，连接并延长交于点D，则为点到上的点的距离最大值． 【详解】解：如图，设与和的切点分别为F，E，连接，，连接并延长交于点D， 则，， 在中，，，， ，， ，，， ， 的半径为， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的定义，角平分线性质定理的逆定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是确定点到上的点的距离取最大值时的位置． 3、（2023·四川泸州·统考一模）如图，在中，，，，以边的中点O为圆心，作半圆与相切，点P，Q分别是边（包括端点）和半圆上的动点，连接，则长的最大值与最小值的差是 ．    【答案】10.5 【分析】设与相切与点E，连接，作垂足为交于，此时垂线段最短，最小值为，当在边上时，与B重合时，经过圆心，经过圆心的弦最长，最大值，即可求解． 【详解】解：设与相切与点E，连接，作垂足为交于，    此时垂线段最短，最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴最小值为； 如图，当在边上时，与B重合时，经过圆心，经过圆心的弦最长，最大值， ∴长的最大值与最小值的差是10.5， 故答案为：10.5． 【点睛】本题考查切线的性质，三角形中位线定理等，正确找到点取得最大值、最小值时的位置是解题关键． 【经典例题八 直线与圆的位置关系综合】 【例8】（23-24九年级上·江苏南通·开学考试）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以为圆心，1为半径的圆上一动点，连结、．则面积的最大值是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出A、B的坐标，根据勾股定理求出，求出点C到的距离，即可求出圆C上点到的最大距离，根据面积公式求出即可． 【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴A点的坐标为，B点的坐标为，， 即，， 由勾股定理得：，    过C作于M，连接， 则由三角形面积公式得：， ∴， ∴， ∴圆C上点到直线的最大距离是：， ∴面积的最大值是， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的面积，直线与圆的位置关系，点到直线的距离的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最大距离，属于中档题目． 1．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）如图，已知直线的解析式是，并且与轴、轴分别交于，两点．一个半径为3的，圆心从点开始以每秒2个单位长度的速度沿着轴向下运动，当与直线相切时，则该圆运动的时间为（　　） A．3秒或8秒 B．8秒 C．3秒 D．6秒或16秒 【答案】A 【分析】由直线的解析式可确定和，由此可得以及；由题可知，当在直线上方与直线相切时，圆心到直线的距离为，则由即可求解此时的长度，进而求解运动时间；在直线下方与直线相切时的求解方法同上． 【详解】解：如图，共有两种相切方式， 由直线的解析式，可得和，则，， 当在直线上方与直线相切时，，则，即C点的运动距离为，则运动时间为； 当在直线下方与直线相切时，，则，即C点的运动距离为，则运动时间为； 故选择：A． 【点睛】本题首先要注意分类讨论，考查了运用切线的性质和三角函数等知识解决问题． 2．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以OA为直径在x轴上方作半圆，直线l的解析式为，若直线l与半圆只有一个公共点，则t的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查圆的切线，一次函数的图象和性质，直线l与x轴的夹角为，与半圆相切时，与半圆只有一个公共点，画出示意图，求出直线l与x轴的交点坐标，即可求解． 【详解】解：如图，当直线l：与半圆相切时，与半圆只有一个公共点，设圆心为B，切点为C，直线l与x轴的交点为D，连接， 点A的坐标为， 点B的坐标为， ， 直线l与半圆相切， ， 直线l：与x轴的夹角为， 是等腰直角三角形， ， ， 点D在x轴的负半轴， 点D的坐标为， 将代入，得， 解得． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，P是边上一点，过点A、B、P、作 (1)圆心O在上吗？为什么？ (2)当时，判断与的位置关系； (3)当与相切时，求被截得的弦长． 【答案】(1)圆心O在上，理由见详解 (2)与相离，理由见详解 (3) 【分析】此题主要考查切线的判定与性质及矩形的性质等知识点的综合运用． （1）根据是圆周角，则是圆的直径； （2）与相离，可以说明到圆心的距离大于半径． （3）因为与相切，则是梯形的中位线．在直角中根据勾股定理就可以得到． 【详解】（1）解：圆心O在上，理由如下： 在矩形中， 根据的圆周角所对的弦是直径，则圆心O在上； （2）过圆心作交、于点、； ， ,, ,, 四边形是矩形， ， ， ， 与相离； （3）连接，交于点， 是直径， ， 又， ， 是的中点， 是的中点， ， 又 ， 与相切，为切点，设，则， 在直角中，， ， 解得：． ，即被截得的弦长为． 1．（2024·河南许昌·二模）如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D 是上的一动点．当点 D 到弦的距离最大时，点D 的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点P作于点E，作于点F，延长交于点D，此时 点 D 到弦的距离最大，利用垂径定理，勾股定理计算即可． 本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理是解题的关键． 【详解】解：∵点, ∴, 过点P作于点E，作于点F，延长交于点D，此时点 D 到弦的距离最大， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴点 D 到弦的距离最大为， ∴点D的坐标为， 故选A． ． 2．（2024·广西玉林·三模）如图，在矩形中，，，点E、F分别是边上的动点，且，点G是的中点，连结，则四边形面积的最小值为（    ） A．142 B．96 C．192 D．124 【答案】A 【分析】本题考查矩形中的动点问题，连接，过B作于H，以B为圆心，为半径作圆，交于，由四边形是矩形，得，又，点G是的中点，即得，故G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到时，最小，此时四边形面积最小，最小值即为四边形的面积，根据，，可得，，，可得，从而，得四边形面积的最小值是142． 【详解】解：连接，过B作于H，以B为圆心，为半径作圆，交于，如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∵，点G是的中点， ∴， ∴G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到时，最小，此时四边形面积最小，最小值即为四边形的面积， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即四边形面积的最小值是142． 故选：A． 3．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，连接，，则面积的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出点在为直径的圆，在矩形内的半圆上运动，则点到的最短距离为，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵，点是矩形内一动点， ∴点在为直径的圆，在矩形内的半圆上运动， ∵矩形中，，， ∴， 如图所示，取的中点，则    ∴点到的最短距离为， ∴面积的最小值为， 故选：C． 4．（2024·山东菏泽·一模）在直角三角形中，，，，以点C为圆心作，半径为，已知直线和有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，作于D，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，可得以C为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，即可得直线和有交点， 的取值范围． 【详解】解：作于D，如图所示： ∵， ∴， ∵的面积， ∴，即圆心C到的距离， ∴以C为圆心的⊙C与直线有交点，则的取值范围是：． 故选：B． 5．（22-23九年级下·福建南平·自主招生）如图，直线与圆心在原点，半径为的圆有公共点，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等面积法算出坐标原点到直线的距离，根据圆与直线有交点可判断圆半径范围； 【详解】   解：过原点作交于点C， 直线与坐标轴的交点为A、B两点， 令解得，故A点坐标为： 令解得，故B点坐标为： 故直线到坐标原点的距离为：， 直线与圆有公共点， 故； 故选：C． 【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 6．（2024·上海长宁·二模）我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在中，，如果的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本主要考查三角形重心以及点与圆的位置关系，根据重心的性质得由勾股定理求出，运用面积法求出，从而得出结论 【详解】解：设点O为的重心， ∵为中线， ∴ 连接则 ∴, 过点作于点E，F， ∴ ∵, ∴ ∴ ∴的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是或 故答案为：或 7．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．如图，连接，作于，于．由题意，，推出欲求的最大值，只要求出的最小值即可． 【详解】解：如图，连接，作于，于． ， ， ， ，， ， 欲求的最大值，只要求出的最小值即可， ， 点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆， 在中，，， ， ， ， 当，，共线，且与重合时，的值最小， 的最小值为， 的最大值， 故答案为． 8．（21-22九年级上·新疆塔城·期末）如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，），，点P的坐标为，与y轴相切于点O，若将沿x轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标 ． 【答案】（-2,0）（-3,0）（-4,0） 【分析】先分别求得与直线l相切时点P的坐标，然后再判断与直线l相交时点P的横坐标x的取值范围，即可求得坐标为整数的点P的坐标． 【详解】如图，与分别切AB于D、E． 由，，易得，则A点坐标为． 连接、，则、，则在中，， 同理可得，，则的横坐标为，的横坐标为， 当与直线l相交时，点P的横坐标x的取值范围为， 横坐标为整数的点P的坐标为、、． 故答案为：(-2，0)、(-3，0)、(-4，0)． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，分别求得与直线l相切时点P的坐标是解题的关键． 9．（20-21九年级上·江苏徐州·期中）如图，直线、相交于点，半径为1cm的⊙的圆心在直线上，且与点的距离为8cm，如果⊙以2cm/s的速度，由向的方向运动，那么 秒后⊙与直线相切. 【答案】3或5 【分析】分类讨论：当点P在当点P在射线OA时⊙P与CD相切，过P作PE⊥CD与E，根据切线的性质得到PE=1cm，再利用含30°的直角三角形三边的关系得到OP=2PE=2cm，则⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（8-2）cm后与CD相切，即可得到⊙P移动所用的时间；当点P在射线OB时⊙P与CD相切，过P作PE⊥CD与F，同前面一样易得到此时⊙P移动所用的时间． 【详解】当点P在射线OA时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与E， ∴PE=1cm， ∵∠AOC=30°， ∴OP=2PE=2cm， ∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（8-2）cm后与CD相切， ∴⊙P移动所用的时间==3（秒）； 当点P在射线OB时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与F， ∴PF=1cm， ∵∠AOC=∠DOB=30°， ∴OP=2PF=2cm， ∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（8+2）cm后与CD相切， ∴⊙P移动所用的时间==5（秒）． 故答案为3或5． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系：直线与有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质．解题关键是熟练掌握以上性质. 10．（2023·吉林松原·二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．    【答案】/ 【分析】分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离d的取值范围是， 故答案为：．    【点睛】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 11．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）（1）如图，已知中，是上一点．求作，使得过点，且与相切． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． （2）如图，在中，是边上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在不同的点分别和点、构成直角三角形，直接写出不同的点的个数及对应的的长的取值范围． 【答案】（1）图见解析（2）见解析 【分析】（1）根据题意，确定圆心的位置，再以为半径画圆即可； （2）当以为直径的圆与相切时，求出此时圆的半径，分四种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）作的角平分线，交于点，过点作，交于点，以为圆心，以为半径画圆，即为所求，如图： （2）当以为直径的圆与相切时：如图 ∵， ∴， 设的半径为，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当存在1个点时，此时与相离，或B、D两点重合，， 当存在2个点时，此时与相切，， 当存在3个点时，此时与相交，， 【点睛】本题考查复杂作图—作圆，含30度角的直角三角形的性质，切线的判定和性质，直线与圆的位置关系，掌握尺规作角平分线，作垂线的方法，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 12．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知的斜边，直角边，以点为圆心作． (1)当半径为 　　时，直线与相切； (2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为______________； (3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为________________． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查直线与圆的位置关系、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）如图作于．求出的值即可判断； （2）观察图形可知，当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或； （3）观察图形可知，半径的取值范围为或， 【详解】（1）如图作于． 在中，，，， ， ， ， 当半径时，直线与相切． 故答案为：． （2）观察图形可知，当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或， 故答案为：或； （3）观察图形可知，当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或， 故答案为：或． 13．（2024·河南周口·一模）在中，，连接．    (1)尺规作图：过点A作，交的延长线于点D（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：为的切线； (3)若，，则的半径为______. 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 (3)2 【分析】本题考查了圆的综合，熟悉相关的知识点是解题的关键，（1）以A为圆心，长为半径画弧，以C为圆心长为半径画弧交于点P，连接，延长交于点D即可；（2）连接并延长交于点M，证明是线段的垂直平分线即可；（3）证明即可． 【详解】（1）如图所示：    （2）如图连接并延长交于点M，    ∵，； ∴是线段的垂直平分线； ∴； ∵； ∴； ∴为的切线． （3）设，； ∵； ∴； ∵； ∴； 即； 解得：； ∴； ∴； ∴； 故答案为：2． 14．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为．    (1)求与直线相切时点的坐标． (2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据直线和圆相切应满足圆心到直线的距离等于半径，首先求得点的横坐标，再根据直线的解析式求得点的纵坐标． （2）根据（1）的结论，即可分析出相离和相交时的取值范围． 【详解】（1）解：过作直线的垂线，垂足为； 当点在直线右侧时，，解得； ∴； 当点在直线左侧时，，得， ∴，    ∴当与直线相切时，点的坐标为或． （2）解：由（1）可知当时，与直线相交 当或时，与直线相离． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的不同位置关系应满足的数量关系，根据数量关系正确求解是解题的关键． 15．（2023·江苏常州·二模）对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“最小距离”，记作. 已知点，，连接．    (1)填空： ______； (2)的半径是r，若，直接写出r的取值范围； (3)的半径是r，若将点B绕点A顺时针旋转，得到点C. ①当时，求此时r的值； ②对于取定的r值，若存在两个不同的值使得，直接写出r的取值范围． 【答案】(1)3 (2) (3)①，② 【分析】（1）由题意得出轴，则可根据“最小距离”的定义得出答案； （2）根据题意画出图形，由直角三角形的性质及“最小距离”的定义得出答案； （3）①过点C作于点H，由直角三角形的性质可得出答案； ②由题意可知线段在旋转过程中与有两个交点，画出图形即可得出答案． 【详解】（1）∵，， ∴轴， ∴， 故答案为：3； （2）如图所示，表示与线段有交点，    此时, ∴； （3）①当时，点C恰好落在x轴上，如图，    过点C作，垂足为H， ，， ，， 点C落在x轴上， ， ； ②存在两个不同的值使得，即线段在旋转的过程中与有两个交点，如图，    此时，， ∴． 【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“最小距离”的概念，旋转的性质，直角三角形的性质及分类讨论思想的运用等知识点． 学科网（北京）股份有限公司 $$