第二章 实数 课时训练2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第二章 实数 认识无理数 1 无理数的产生及论述 A.基础夯实 1. 不属于（ ） A. 负数 B. 分数 C. 整数 D. 有理数 2. 下列各数中不是有理数的是（ ） A. B. （相邻两个3之间0的个数逐次加1） C. D. 3.14 3. 面积为6的正方形的边长为（ ） A. 有理数 B. 无理数 C. 整数 D. 分数 4. 如图是面积分别为1，2，3，4，5，6的正方形，其中边长是有理数的正方形有 个，边长不是有理数的正方形有 个. 5. 如图，阴影部分是正方形，则此正方形的面积是 ；此正方形的边长 （填“是”或“不是”）有理数. 第5题图 6. 如图为边长为1的正方形组成的网格图，，两点在格点上，设的长为，则 ，此时 整数， 分数，所以 有理数.（填“是”或“不是”或“也不是”） 第6题图 B.能力提升 7. 图1是一个腰长为2的等腰直角三角形，它的面积是 ，把它沿着斜边上的高线剪开，拼成如图2所示的正方形，则这个正方形的面积等于 ，这个正方形的边长是有理数吗？ （填“是”或“不是”）. 8. 如图，在方格纸中，假设每个小正方形的面积为2，则图中的四条线段中长度是有理数的有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 9. 如图，在中，，，边上的高可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？ C.拓展思维 10. 如图，已知点，每个小正方形的边长为1，请你按要求分别设计，使 ，. （1） 的长为无理数，，的长均为有理数； （2） 的长为有理数，，的长均为无理数； （3） 三边的长均为无理数. 11. 公元前500多年前，数学各学派的学者都认为世界上的数只有整数和分数，直到有一天，大数学家毕达哥拉斯的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若，那么叫1和2的比例中项），他怎么也想不出这个比例中项值.后来，他画了一个边长为1的正方形，设对角线长为，于是由毕达哥拉斯定理，他想代表对角线的长，而，那么必定是确定的数，这时他又为自己提出了几个问题： （1） 是整数吗？为什么？ （2） 是分数吗？若是，能找出来吗？若不是，能说出理由吗？亲爱的同学，你能帮他解答这些问题吗？ 2 平方根 算术平方根的概念及运算 A.基础夯实 1. 的算术平方根为（ ） A. B. C. D. 2. 的算术平方根为（ ） A. 9 B. C. 3 D. 3. 的算术平方根是 ， . 4. 一个正方体的表面积是，那么这个正方体的所有棱长之和是 . 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的值是（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 2或3 7. 一个数的算术平方根是，则比这个数大1的数是（ ） A. B. C. D. B.能力提升 8. 如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 求下列各数的算术平方根： （1） 121，，，1，900，，； （2） ，7，29，，，. 10. 求下列各式的值： （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 11. 已知，，是9的算术平方根，求的算术平方根. C.拓展思维 12. 列方程解答下面问题. 小丽手中有块长方形的硬纸片，其中长比宽多，长方形的周长是. （1） 求长方形的长和宽； （2） 现小丽想用这块长方形的硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为，面积为的新纸片作为他用.试判断小丽能否成功，并说明理由. 13. 喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”.例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6. （1） 请判断：2，8，18这三个数 “和谐组合”（填“是”或“不是”）. （2） 已知9，，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的4倍，求的值. 3 立方根 A.基础夯实 1. 立方根为8的数是（ ） A. 512 B. 64 C. 2 D. 2. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果是的立方根，那么下列结论正确的是（ ） A. 也是的立方根 B. 是的立方根 C. 是的立方根 D. 都是的立方根 4. 若，为实数，且，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 5. （1） 8的立方根是 . （2） 的立方根为 . 6. 如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的棱长为（ ） A. B. C. D. 7. 若，，则的值为（ ） A. 0 B. C. 0或10 D. 8. 已知代数式与是同类项，那么的值为（ ） A. B. 1 C. D. 0 B.能力提升 9. 求下列各数的立方根： （1） ； （2） 0.008； （3） ； （4） . 10. 求下列各式的值： （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 11. 求下列各式中的值. （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 12. 已知一个正方体的棱长是，要再做一个正方体，使它的体积是原正方体体积的8倍，求新正方体的棱长. C.拓展思维 13. 已知的平方根是，的立方根是3. （1） 求，的值； （2） 的平方根是多少？ 14. 我们知道时，也成立，若将看成的立方根，看成的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数. （1） 试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立； （2） 若与互为相反数，求的值. 4 用计算器开方 A.基础夯实 1. 利用计算器求的值，正确的按键顺序为（ ） A. B. C. D. 2. 某同学在用计算器估算6的算术平方根时，需要用到以下哪个键（ ） A. B. C. D. 3. 在计算器上按键显示的结果是（ ） A. B. 3 C. 17 D. 33 4. 小明在计算器上按键输入，显示结果为4，则他按键输入，显示结果应为（ ） A. 40 B. 80 C. 400 D. 800 5. 下面是一个简单的数值运算程序，当输入的值为16时，输出的数值为 .（用科学计算器计算或笔算） 6. 用计算器比较，，的大小（用“ ”号连接）： . 7. 用计算器计算： （1） ； （2） ； （3） （结果精确到0.01）； （4） （结果精确到0.01）. 8. 用计算器比较下列各组数的大小： （1） 与； （2） 与； （3） 与. B.能力提升 9. 任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算,……随着开方次数的增加，运算的结果（ ） A. 越来越接近1 B. 越来越接近0 C. 没有什么明显的规律 D. 越来越大 10. 借助计算机可以求得，，， ，仔细观察，你猜想的值为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，某同学利用计算器中的三个按键设置计算程序，以下是这三个按键的功能. ①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将荧幕显示的数变成它的倒数； ③：将荧幕显示的数变成它的平方. 小明输入一个数据后，程序将按照以下步骤进行，依次按照从第一步到第三步循环计算. 若一开始输入的数据为10，那么第2 024步之后，显示的结果是（ ） A. 10 B. 100 C. 0.1 D. 0.01 C.拓展思维 12. （1） 利用计算器计算，将结果填入表中，你发现了什么规律？ … … … … （2） 用计算器计算： （精确到），并用上述规律直接写出： ， ， . 13. （1） 填表： 0.001 1 1 000 1 000 000 （2） 通过以上计算可以发现规律：把一个数的小数点向左移动三位，这个数的立方根的小数点就（ ） A. 向左移动三位 B. 向右移动三位 C. 向左移动一位 D. 向右移动一位 （3） 根据你发现的规律填空：①已知，则 ， ； ②已知，则 . 5二次根式 二次根式的概念性质及化简 A.基础夯实 1. 如果二次根式有意义，那么的值可以是（ ） A. B. C. D. 1 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 设，，则下列运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列化简不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知最简二次根式与的被开方数相同，则 . 7. 化简： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） . B.能力提升 8. 若和，都是二次根式，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 若，则 . 10. 若是整数，则满足条件的最小正整数的值为 . 11. 化简： （1） ; （2） ; （3） ; （4） . 12. 计算与化简： （1） ； （2） ； （3） ； （4） . C.拓展思维 13. 推理能力： （1） 已知,则 ； （2） 当为何值时，有最大值？最大值是多少？ 14. 观察下列各式： ；； ， 请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题： （1） 猜想： ； （2） 归纳：根据你的观察、猜想，请写出一个用为正整数表示的等式： ； （3） 应用：计算. 二次根式的混合运算 A.基础夯实 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则代数式的值为（ ） A. 7 B. 4 C. 3 D. 5. 计算： （1） . （2） . （3） . （4） . 6. 对于正数，，化简的结果是 . 7. 计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 8. 计算： （1） ； （2） . B.能力提升 9. 若，则式子的值为 . 10. 已知，求的值. 11. 在一个边长为的正方形内部挖去一个边长为的正方形，求剩余部分的面积. 12. 已知，. （1） 填空： ， ； （2） 求的值. C.拓展思维 13. 通过对实数的学习，我们知道是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： （1） 的整数部分是 ，的小数部分是 . （2） 若是的整数部分，是的小数部分.求的值. （3） 若，其中是整数，且，求的值. 14. 阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一：； 方法二：. （1） 请用两种不同的方法化简：； （2） 化简：. 第二章 实数 1 认识无理数 无理数的产生及论述 A.基础夯实 1．C 2．B 3．B 4．； 4 5．； 不是 6．； 不是； 也不是； 不是 B.能力提升 7．； 2； 不是 8．B 【解析】根据正方形的面积公式得每个小正方形的边长的平方是2.再根据勾股定理，得，，，，其中是有理数的有 和，共2条.故选B. 9．解：在 中，为斜边，，， . 答：高 不可能是整数；不可能是分数；不可能是有理数. C.拓展思维 10．（1） 解：如图1所示. （2） 如图2所示. （3） 如图3所示.（画法不唯一，合理即可） 11．（1） 解：不是，，而，， 在1和2之间不存在另外的整数，不是整数. （2） 不是， 任何分数的平方不可能是整数，不是分数. 2 平方根 算术平方根的概念及运算 A.基础夯实 1．A 2．C 3．； 4 4． 5．D 6．D 7．C B.能力提升 8．B 【解析】 用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形， 大正方形的面积为，则大正方形的边长为.，， 大正方形的边长最接近的整数是4. 故选B. 9．（1） 解：121的算术平方根为；的算术平方根为；的算术平方根为；1的算术平方根为；900的算术平方根为；的算术平方根为；的算术平方根为. （2） 1.96的算术平方根为；7的算术平方根为；29的算术平方根为；的算术平方根为；的算术平方根为；的算术平方根为. 10．（1） 解：原式. （2） 原式. （3） 原式. （4） 原式. 11．解：，，. 是9的算术平方根，，，的算术平方根是. C.拓展思维 12．（1） 解：设，则，依题意有，.答：长方形的长为，宽为. （2） 设新长方形的长为，宽为，则，，即新长方形的长为，宽为. ，，即，故小丽不能成功. 答：小丽不能用这块长方形硬纸片裁出符合要求的新纸片. 13．（1） 是 【解析】对于2，8，18，，， ，4，6，12都是整数，所以2，8，18是“和谐组合”，故答案为是. （2） 解：分三种情况：①当 时，，解得（不合题意）； ②当 时，，解得（不合题意）； ③当 时，，解得， 综上所述，. 3 立方根 A.基础夯实 1．A 2．B 3．C 4．B 5．（1） 2 （2） 6．D 7．C 8．A B.能力提升 9．（1） 解：. （2） . （3） . （4） . 10．（1） 解：. （2） . （3） . （4） . 11．（1） 解：，.. （2） ，，. （3） ，，，. （4） ，，，. 12．解：设新正方体的棱长为，则新正方体的体积为， 依题意得，. 答：新正方体的棱长为. C.拓展思维 13．（1） 解：的平方根是，，解得. 的立方根是3，，. （2） 由①得，9的平方根是，的平方根是. 14．（1） 解：，而且，，有， 结论成立， 即“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数”是成立的. （2） 由（1）验证的结果知，，， .. 4用计算器开方 A.基础夯实 1．D 2．A 3．A 4．A 5． 6． 7．（1） 解：. （2） . （3） . （4） . 8．（1） 解：，，. （2） ,，. （3） ，. B.能力提升 9．A 【解析】设这个数为，，当 无限大时，无限趋近于0，故.故选A. 10．A 11．D C.拓展思维 12．（1） 0.25； 0.791； 2.5； 7.91； 25； 79.1； 250； 解： 规律：被开方数扩大为原来的100倍时，算术平方根扩大为原来的10倍. （2） 2.236； ； 22.36； 223.6 13．（1） 0.01； 0.1； 1； 10； 100 （2） C （3） ； ； 5二次根式 二次根式的概念性质及化简 A.基础夯实 1．D 2．D 3．B 4．A 5．A 6． 7．（1） 解：21. （2） . （3） . （4） . （5） . （6） . （7） . （8） . B.能力提升 8．C 【解析】由题意得，，，异号. ，，，，故选C. 9． 【解析】，且，，，.故答案为16. 10． 【解析】，是整数， 满足条件的最小正整数.故答案为6. 11．（1） 解：. （2） . （3） . （4） . 12．（1） 解：. （2） . （3） （4） . C.拓展思维 13．（1） （2） 解：当 最小时，最大，此时. 解得.所以当 时，有最大值,是1. 14．（1） ； （2） （3） 解：. 二次根式的混合运算 A.基础夯实 1．D 2．C 3．D 4．C 5．（1） （2） 1 （3） 3 （4） 6． 7．（1） 解：. （2） . （3） . （4） . 8．（1） 解：原式. （2） 原式. B.能力提升 9． 【解析】，.故答案为2 024. 10．解：，. 11．解：由题意可得，剩余部分的面积为 . 12．（1） 4； （2） 解： . C.拓展思维 13．（1） 3； （2） 解：，是 的整数部分，. ，的整数部分为1. 是 的小数部分，，. （3） ，，即，其中 是整数，且，，，. 14．（1） 解：方法一：； 方法二：. （2） 原式 . 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $$