专题02 角平分线的性质重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题02 角平分线的性质重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 作已知角的角平分线 题型二 角平分线性质定理及证明 题型三 角平分线的判定定理 题型四 利用角平分线的性质求角度 题型五 利用角平分线的性质求长度 题型六 利用角平分线的性质求面积 题型七 角平分线辅助线添加问题（作垂直） 题型八 角平分线的性质的实际应用 题型九 角平分线性质的综合应用 【知识点1 角平分线的性质】 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 【知识点2 角平分线的判定】 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 【知识点3 角平分线的作法】 ①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. ②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. ③画射线OC.即射线OC即为所求. 【经典例题一 作已知角的角平分线】 【例1】（23-24八年级下·四川雅安·期末）如图，在中，以A为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点D、E，再分别以D、E为圆心，相同长为半径作弧，分别交、于点F、G，连接、，交于点H，连接并延长交于点I，则线段是（    ） A．的高 B．的中线 C．的角平分线 D．以上都不对 1．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N； ②再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点O； ③作射线，交于点E． 已知，，则的面积为（    ） A．5 B．7 C．9 D．14 2．（2024·浙江台州·二模）如图，在中，，进行如下操作：①以点B 为圆心，以小于长为半径作弧，分别交于点E、F；② 分别以点E、F 为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点 M；③ 作射线交于点D，则的度数为 ．    3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，于点． (1)尺规作图：作的平分线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的度数． 【经典例题二 角平分线性质定理及证明】 【例2】（21-22八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，的外角的平分线CE与内角的平分线BE交于点E，若，则的度数为（    ） A．65° B．60° C．55° D．50° 1.（2021七年级下·全国·专题练习）在直角三角形中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，过点作平行，过点作交于点．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（22-23八年级下·广东茂名·期中）如图，在中，，，，有下列结论：①；②；③连接DE，则．其中正确的结论有 ．    3．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图所示，，在两边上且，是内部的一条射线且于点， (1)求证平分； (2)分别作和的平分线，相交于，求证P同时也在的平分线上． 【经典例题三 角平分线的判定定理】 【例3】（23-24八年级上·广西南宁·开学考试）已知，如图，是内部的一条射线，P是射线上任意点，，下列条件中：①，②，③，④，能判定是的角平分线的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（23-24八年级上·重庆永川·期末）如图，在中，，，的平分线与的外角平分线交于点，连接，则的大小等于 ． 3．（23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）如图所示，在外作和，使，且，连接相交于P点． (1)求证：； (2)______（用含的代数式表示）； (3)求证：点A在的平分线上． 【经典例题四 利用角平分线的性质求角度】 【例4】（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，四边形中，，，平分，平分，则的值是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在中，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（    ） A．②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 2．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，中，点、是与三等分线的交点，则的度数是 ． 3．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，平分，，于E，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【经典例题五 利用角平分线的性质求长度】 【例5】（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）如图，在四边形中，，连接，，垂足为，并且，，，，点是边上一动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，中，为的角平分线，交于点E，交于点F．若面积为，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图所示，在中，平分，于点，的面积为，，则的长为 ． 3．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，是AD中点，平分．    (1)若，求证：平分． (2)若，求证：． 【经典例题六 利用角平分线的性质求面积】 【例6】（23-24八年级下·重庆南岸·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和26，则的面积为（    ） A．11 B．22 C．26 D．37 1．（2024·四川资阳·二模）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点．若，，点为线段上的一个动点，当最短时，的面积是（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 2．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，在中，，按以下步骤作图：①以顶点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M、N；②分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P；③作射线，交边于点D，若的面积为4，则的面积为 ． 3．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图，在中，，，垂足为，平分． (1)若，求的度数； (2)若，，求的面积． 【经典例题七 角平分线辅助线添加问题（作垂直）】 【例7】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，点O是、的平分线的交点，且，，则点O到边的距离为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，为的中点，平分，，与相交于点，若的面积比的面积大，则的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，四边形中，，点E是上一点，且分别平分．若，则四边形的面积是 ．    3．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教村96页的部分内容． 已知：如图．是的平分线，P是上任意一点，，，垂足分别为点D和点E． 求证：． 分析： 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等便可证得． 【问题解决】请根据教材分析，结合图①与出证明的过程． 【类比探究】 （1）如图②，是的平分线，P是上任意一点，点M，N分别在和上，连接和，若，求证：； （2）如图③，的周长是12；、分别平分和，于点D，若的面积，则长为________． 【经典例题八 角平分线的性质的实际应用】 【例8】（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（    ） A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 1．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为，，，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 2．（23-24八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在 的边 上取点 ，连接 平分 平分 ，若 的面积是2，的面积是9，则 的周长是 ． 3．（2023八年级上·江苏·专题练习）已知：如图，直线，，表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问： (1)可选择的地点有几处？ (2)你能画出塔台的位置吗？ 【经典例题九 角平分线性质的综合应用】 【例9】（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图，在和中，，，，．连接，交于点M，连接．下列结论： ①，②，③平分，④平分．其中正确的结论个数有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 1．（23-24七年级下·河南周口·期末）如图，在中，交于D，平分交于E，F 为延长线上一点，交的延长线于点M，交的延长线于点 G，的延长线交于点 H，连接，则下列结论∶①；②；③；④若，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级下·广东河源·期末）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍． 【问题提出】（1）尺规作图：如图1，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是_________； 【问题探究】（2）①构距离，造全等 如图2，在四边形中，，和的平分线交于边上一点．过点作于点．若，则_________； ②巧翻折，造全等 如图3，在中，是的角平分线，请说明；小明在上截取．连接，则．请继续完成小明的解答． 【问题解决】（3）如图4，在中，是的两条角平分线，且交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 3．（23-24八年级下·广东河源·期末）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍． 【问题提出】（1）尺规作图：如图1，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是_________； 【问题探究】（2）①构距离，造全等 如图2，在四边形中，，和的平分线交于边上一点．过点作于点．若，则_________； ②巧翻折，造全等 如图3，在中，是的角平分线，请说明；小明在上截取．连接，则．请继续完成小明的解答． 【问题解决】（3）如图4，在中，是的两条角平分线，且交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 1．（22-23八年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，，，平分，交于点，于点，且，则的周长为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图， 在中，，的平分线交于点E，于点 D， 若 的周长为12，则 的周长为 4 ，则为 （　　） A．3 B．4 C．6 D．8 3．（23-24八年级下·湖南张家界·期末）如图，点是的三个内角平分线的交点，若的周长为，面积为，则点P到边的距离是（ ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·湖南娄底·期中）如图，在和中，，，，．连接，交于点M，连接．下列结论： ①，②，③平分，④平分．其中正确的结论个数有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 5．（22-23八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，平分，过点P作，分别交，的延长线于点M，N，连接，平分．则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．①④ B．①③ C．①②④ D．①②③④ 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 6．（22-23八年级上·甘肃兰州·期末）如图，平分交于点，于点，若，，，则的长为 ． 7．（2024·四川达州·模拟预测）如图，在中，于E，于F，为的平分线，的面积是，，， ． 8．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图， 在中，，是角平分线，是边上的高， 延长与外角的平分线交于点．以下四个结论：①；②； ③，④．其中结论正确的个数是 ． 9．（2024·重庆·三模）如图，四边形中，平分，于点E，，则的长为 ．    10．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，且平分．若，则的度数为 ． 三、解答题 11．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，垂足分别为A、D，分别平分交点 E恰好在上． (1)成立吗？ 为什么？ (2)求证：． 12．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，是中的平分线，于点E，于点F，，，，求的长． 13．（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，为边上一点，于点，于点，． (1)求证：平分； (2)若，，，则的长为 ． 14．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，中，是的角平分线，于点． (1)若，，求的度数； (2)若，求的面积． 15．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：把三角形的一条内角平分线与其不相邻的两个外角的平分线的交点叫做三角形的“幸福点”．如图1，平分，平分的外角，平分的外角，则点E为的“幸福点”． 根据定义，解决下列问题． (1)判断下列三个关于“幸福点”的命题的真假．（直接在横线上填写“真”或“假”） ①每个三角形都有3个“幸福点”；（ 命题） ②三角形的“幸福点”一定在三角形的外部；（ 命题） ③三角形的“幸福点”到三角形三边的距离相等；（ 命题） (2)如图2，若点I是的“幸福点”，设，，试猜想α和β之间的数量关系（用含α的代数式表示β），并证明你的猜想； (3)如图3，在中，，点D是的一个“幸福点”，过D作，交的延长线于点E，若，，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 角平分线的性质重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 作已知角的角平分线 题型二 角平分线性质定理及证明 题型三 角平分线的判定定理 题型四 利用角平分线的性质求角度 题型五 利用角平分线的性质求长度 题型六 利用角平分线的性质求面积 题型七 角平分线辅助线添加问题（作垂直） 题型八 角平分线的性质的实际应用 题型九 角平分线性质的综合应用 【知识点1 角平分线的性质】 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 【知识点2 角平分线的判定】 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 【知识点3 角平分线的作法】 ①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. ②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. ③画射线OC.即射线OC即为所求. 【经典例题一 作已知角的角平分线】 【例1】（23-24八年级下·四川雅安·期末）如图，在中，以A为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点D、E，再分别以D、E为圆心，相同长为半径作弧，分别交、于点F、G，连接、，交于点H，连接并延长交于点I，则线段是（    ） A．的高 B．的中线 C．的角平分线 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 根据题意利用可证，即可得，再利用可证，即可得，用可证明，即可得，即可得． 【详解】解：由作图可知，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 故选：C． 1．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N； ②再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点O； ③作射线，交于点E． 已知，，则的面积为（    ） A．5 B．7 C．9 D．14 【答案】B 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质得到点E到和的距离相等，点E到的距离等于的长度，利用三角形面积公式即可得到答案． 【详解】解：由基本作图得到平分B， ∴点E到和的距离相等， ∴点到的距离等于的长度，即点到的距离为， ∴． 故选：B． 2．（2024·浙江台州·二模）如图，在中，，进行如下操作：①以点B 为圆心，以小于长为半径作弧，分别交于点E、F；② 分别以点E、F 为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点 M；③ 作射线交于点D，则的度数为 ．    【答案】/120度 【分析】本题考查了复杂作图，掌握三角形的内角和定理及外角定理是解题的关键．先根据三角形的内角和求出，再根据角平分线的性质及外角定理求解． 【详解】解：，， ， 由作图得：平分， ， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，于点． (1)尺规作图：作的平分线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图—基本作图，角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识点． （1）根据要求作出图形即可； （2）由角平分线的定义得出，再求出的度数从而得出的度数，即可得解． 【详解】（1）解：如图， 射线即为所求， （2）解：， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 【经典例题二 角平分线性质定理及证明】 【例2】（21-22八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，的外角的平分线CE与内角的平分线BE交于点E，若，则的度数为（    ） A．65° B．60° C．55° D．50° 【答案】D 【分析】过点E作EF ⊥BA交BA延长线于点F，EM⊥AC于点M，EN⊥BC交BC延长线于点N，设∠ECD=x°，根据角平分线的性质定理，可得EF = EM，再由三角形外角的性质，可得∠BAC = 80°，从而得到∠CAF = 100°，再由Rt△EFA≌Rt△EMA，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作EF ⊥BA交BA延长线于点F，EM⊥AC于点M，EN⊥BC交BC延长线于点N， 设∠ECD=x°，∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE = ∠ECD = x°，EM = EN， ∵BE平分ABC， ∴ ∠ABE =∠EBC，EF = EN， ∴EF = EM， ∵∠BEC= 40°， ∴ ∠ABE =∠EBC =∠ECD–∠BEC=(x-40)°，∴ ∠BAC =∠ACD–∠ABC = 2x°- (x° - 40°) - (x° - 40°) = 80°，∴∠CAF = 100°， 在Rt△EFA和Rt△EMA中，∵EA=EA，EM = EF， ∴ Rt△EFA≌Rt△EMA (HL)， ∴∠FAE = ∠EAC = 50°． 故选：D 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 1.（2021七年级下·全国·专题练习）在直角三角形中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，过点作平行，过点作交于点．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可判断①正确；由平行线的性质及角平分线的定义即可判断②正确；根据等角的余角相等即可判断④正确；根据已知条件无法判断③，所以错误，综上所述即可得出答案． 【详解】在直角三角形中，， ∴+=90°， ∵平分，平分， ∴∠FAB=，∠ABE=∠EBC=， ∴∠FAB+∠ABE =（+）=45°， ∴， ∴①正确； ∵， ∴ ∵∠EBC=， ∴∠EBC=， ∴， ∴②正确； ∵的度数不确定， ∴根据已知条件无法证明平分， ∴③不正确； ∵，, ∴∠BGD=90°，, ∴, 又∵DG∥AB， ∴, ∴, 又∵, ∴, 又∵BE平分, ∴ ∴, 即， ∴④正确； 综上，正确的结论为①②④，共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义及等角的余角相等，解题关键是熟练运用这些知识点． 2．（22-23八年级下·广东茂名·期中）如图，在中，，，，有下列结论：①；②；③连接DE，则．其中正确的结论有 ．    【答案】①②③ 【分析】①根据证明；②由，得到角相等，从而推出；③连接，过点D作，过点D作，根据角平分线的性质，即可判断． 【详解】解：∵在与中，，， ∴故①正确； ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴故②正确； 如图，连接，过点D作，过点D作，    ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∴故③正确； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查几何问题，涉及到角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，灵活运用所学知识是关键． 3．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图所示，，在两边上且，是内部的一条射线且于点， (1)求证平分； (2)分别作和的平分线，相交于，求证P同时也在的平分线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定和性质是解题的关键； （1）根据等腰三角形的性质及，证得，即可得出结论 （2）过P作，，，利用角平分线的点到角两边的距离相等得，再利用角平分线的逆定理即可得结论． 【详解】（1）， ， ， 在和中 ， 平分； （2）如图：过P作，，， ，平分，平分， ，， ， 点P在的平分线上． 平分， 点P在的平分线上． 【经典例题三 角平分线的判定定理】 【例3】（23-24八年级上·广西南宁·开学考试）已知，如图，是内部的一条射线，P是射线上任意点，，下列条件中：①，②，③，④，能判定是的角平分线的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的判定、全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据角平分线的定义可判断①的正误；由角平分线的判定定理可判断②的正误；证明可判断③的正误；证明，可判断④的正误． 【详解】解：∵， ∴是的角平分线，故①符合要求； ∵，， ∴是的角平分线，故②符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴是的角平分线，故③符合要求； ∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线，故④符合要求； 故选：D． 1．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、角平分线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，，故①正确；由三角形的外角性质得，易得，故②正确；作于，于，首先证明，易得，进而证明平分，当时，才平分，假设，可证明，可得，进而可得，而与矛盾，故③错误；没有条件可以证明平分，故④错误． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，，，故①正确； 由三角形的外角性质得， ∴，故②正确； 作于，于，如图所示， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴当时，平分， 假设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，与矛盾，故③错误； ∵没有条件可以证明平分， ∴④错误． 综上所述，正确的个数有2个． 故选：C． 2．（23-24八年级上·重庆永川·期末）如图，在中，，，的平分线与的外角平分线交于点，连接，则的大小等于 ． 【答案】/34度 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，先根据角平分线的判定与性质得出平分，然后利用三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：过点D作于H，于E，于F， ∵的平分线与的外角平分线交于点， ∴，， ∴平分， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）如图所示，在外作和，使，且，连接相交于P点． (1)求证：； (2)______（用含的代数式表示）； (3)求证：点A在的平分线上． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的判定定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）根据角的和差可得，然后根据即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再根据三角形内角和定理即可解答； （3）作于G，于H，由全等三角形的性质可得，再根据角平分线的判定定理即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． （2）解：设与交于点O， 由（1）可得：， ∵， ∴． 故答案为：． （3）证明：作于G，于H， 由（1）知， ∴， ∵， ∴平分，即点A在的平分线上． 【经典例题四 利用角平分线的性质求角度】 【例4】（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，四边形中，，，平分，平分，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由四边形的内角和可得，由角平分线的性质可得，最后由三角形的外角的定义进行计算即可得到答案． 【详解】解：四边形中，，， ， 平分，平分， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了四边形的内角和、角平分线的性质、三角形外角的定义，熟练掌握四边形的内角和、角平分线的性质、三角形外角的定义，是解题的关键． 1．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在中，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（    ） A．②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质等知识，熟练掌握知识点是解题的关键． 由角平分线的定义，即三角形外角的性质可得，进而判定①；由角平分线的定义和平角的定义可求，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定②；利用角平分线的定义可判定③；由角平分线的性质及判定可得为外角的平分线，结合角平分线的定义及三角形外角的性质即可证明，再利用平行线的性质可判定④． 【详解】∵平分，， ∴， ∵， ∴，即，故①错误； ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵平分，平分， ∴为外角的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确； 故选：B． 2．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，中，点、是与三等分线的交点，则的度数是 ． 【答案】/52度 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理． 过点N作于G，于E，于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出平分，然后根据三角形内角和等于求出再根据角的三等分求出的度数，然后利用三角形内角和定理求出的度数，从而得解． 【详解】解：如图，过点N作于G，于E，于F， ∵点、是与三等分线的交点， ∴平分，平分， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∴． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，平分，，于E，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法， （1）根据角平分线的性质得出，证明，得出即可； （2）根据角平分线的定义得出，根据锐角三角形两锐角互余得出，根据，得出的度数即可． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴． 【经典例题五 利用角平分线的性质求长度】 【例5】（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）如图，在四边形中，，连接，，垂足为，并且，，，，点是边上一动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质定理，垂线段的定义等知识点，由三角形的内角和定理和角的和差求出，角平分线的性质定理得，垂线段定义证明最短，求出长的最小值为． 重点掌握角平分线的性质定理，难点是作垂线段找线段的最小值． 【详解】解：过点作交于点，如图所示： ， ， 又，，，， ， 是的角平分线， 又，， ， 又， ， 又点是直线外一点， 当点在上运动时，点运动到与点重合时最短，其长度为长等于， 即长的最小值为． 故选：． 1．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，中，为的角平分线，交于点E，交于点F．若面积为，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形面积公式，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，再根据列式求解即可． 【详解】解：为的角平分线，，， ， ， ， 解得， 故选：A． 2．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图所示，在中，平分，于点，的面积为，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，过点作于，由角平分线的性质可得，进而由的面积即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作于， ∵平分，，， ∴， ∵的面积为， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，是AD中点，平分．    (1)若，求证：平分． (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，灵活做辅助线是解题的关键． （1）过点E作，垂足为H，根据角平分线性质可得，再由角平分线判定即可得出结论； （2）在上截取，连接．先证明可得，再证可得即可证明结论． 【详解】（1）证明：过点E作，垂足为H，    ∵平分，， ∴， 又∵是中点，即， ∴， ∵，， ∴：平分． （2）解：如图：在上截取，连接．   平分， ． 在和中， ， ，． 是的中点， ． 又， ， ， ， 在和中 ． ， ， ， ∴ 【经典例题六 利用角平分线的性质求面积】 【例6】（23-24八年级下·重庆南岸·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和26，则的面积为（    ） A．11 B．22 C．26 D．37 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据角平分线的性质得到，证明，，根据题意列方程，解方程即可． 【详解】解：如图，作于， 是的角平分线，，， ， 在和中， ， ， 同理，， 设的面积为，由题意得， ， 解得， 即的面积为11， 故选：A 1．（2024·四川资阳·二模）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点．若，，点为线段上的一个动点，当最短时，的面积是（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】B 【分析】本题考查的是作图-基本作图，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．根据“垂线段最短”可得，根据角平分线的性质得到，证明，求出的长，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵点E为线段上的一个动点，最短， ∴， 如图，过点D作于点E， 由基本尺规作图可知，是的角平分线， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积， 故选：B． 2．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，在中，，按以下步骤作图：①以顶点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M、N；②分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P；③作射线，交边于点D，若的面积为4，则的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查角平分线性质．根据题意过点作交延长线于点，，利用角平分线性质可求出，继而求出本题答案． 【详解】解：过点作交延长线于点，于Ｆ，    ∵是的平分线， ∴， ∵的面积为4， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：16． 3．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图，在中，，，垂足为，平分． (1)若，求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据垂直的定义得，由直角三角形两锐角互余可得，又角度和差可得，最后根据角平分线的定义即可求解； （）过点作，垂足为，根据角平分线的性质得，再由三角形面积公式即可求解； 本题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义和两角和差，角平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∵ 平分， ∴； （2）过点作，垂足为， ∵平分，， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【经典例题七 角平分线辅助线添加问题（作垂直）】 【例7】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，点O是、的平分线的交点，且，，则点O到边的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，正确表示出三角形面积是解题的关键．利用角平分线的性质结合三角形的面积得出答案． 【详解】解：过点作，垂足分别为，连接， ，，， ， 是、的平分线，， ， ， ， （）， 故选：B． 1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，为的中点，平分，，与相交于点，若的面积比的面积大，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理和三角形中线，以及利用方程思想解决三角形的面积问题，作于，于，得，则，设的面积为，则，由为的中点，从而，根据的面积比的面积大，列出方程即可求解，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】作于，于， ∵平分， ∴， ∴， 设的面积为，则， ∵为的中点， ∴， ∵的面积比的面积大， ∴的面积比的面积大， ∴， ∴， ∴ 故选：． 2．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，四边形中，，点E是上一点，且分别平分．若，则四边形的面积是 ．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的判定和性质等知识，过点作于，过点作于，过点作的延长线于，根据分别平分，得出，根据可得，，根据得，，即可得，，经过推理变形得，即可求解． 【详解】解：过点作于，过点作于，过点作的延长线于，   分别平分， ， ， 分别平分， ∴四边形面积为15 故答案为：． 3．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教村96页的部分内容． 已知：如图．是的平分线，P是上任意一点，，，垂足分别为点D和点E． 求证：． 分析： 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等便可证得． 【问题解决】请根据教材分析，结合图①与出证明的过程． 【类比探究】 （1）如图②，是的平分线，P是上任意一点，点M，N分别在和上，连接和，若，求证：； （2）如图③，的周长是12；、分别平分和，于点D，若的面积，则长为________． 【答案】问题解决：见解析；（1）见解析；（2）3 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形全等的判定和性质， [问题解决]利用角角边定理证明，根据全等三角形的性质证明结论； [类比探究]（1）过点P作于E，于F，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过O作与E，于F，利用角平分线的性质可得，，然后再利用面积的计算方法可得答案． 【详解】[问题解决]证明：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， , ∴()， ∴； [类比探究]（1）证明：如图②，过点P作于E，于F， ∵是的平分线，，， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）过O作与E，于F， ∵、分别平分和， ∴，， ∴， ∵的周长是， ∴ ， ∵的面积为18，且， ∴， 即， 故答案为：3． 【经典例题八 角平分线的性质的实际应用】 【例8】（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（    ） A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 【详解】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处． 故选：A． 1．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为，，，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】C 【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，内部被河水填满无法施工，可得三角形内角平分线的交点不满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有3个． 【详解】解： ∵内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，内部被河水填满无法施工， ∴内角平分线的交点不满足条件； 如图：点P是两条外角平分线的交点， 过点P作，，， ∴，， ∴， ∴点P到的三边的距离相等， ∴两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个； 综上，到三条公路的距离相等的点有3个． ∴可供选择的地址有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心别漏解． 2．（23-24八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在 的边 上取点 ，连接 平分 平分 ，若 的面积是2，的面积是9，则 的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，过作与， 于，于，连接，利用角平分线的性质和三角形的面积可得，根据的面积的面积的面积的面积，进行计算即可求出，进而得到的周长，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过作与， 于，于，连接， ∵平分， 平分， ∴，， ∴， ∵，的面积， ∴， ∴， ∵的面积，的面积， ∴的面积的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 3．（2023八年级上·江苏·专题练习）已知：如图，直线，，表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问： (1)可选择的地点有几处？ (2)你能画出塔台的位置吗？ 【答案】(1)4处 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质得出符合条件的点，即可得到答案； （2）作出相交组成的角的平分线，平分线的交点就是所求的点． 【详解】（1）解：可选择的地点有4处，如图： 、、、，共4处． （2）解：能，如图，根据角平分线的性质，作三条直线相交的角的平分线，平分线的交点就是所求的点． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角平分线的交点，这一结论在以后的学习中经常遇到． 【经典例题九 角平分线性质的综合应用】 【例9】（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图，在和中，，，，．连接，交于点M，连接．下列结论： ①，②，③平分，④平分．其中正确的结论个数有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；由证明，得到，由三角形的外角性质得：，得出，①正确；根据全等三角形的性质得出，，②正确；作于G，于H，则，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，，②正确； ∴， 由三角形的外角性质得：， ∴，①正确； 作于G，于H，如图所示： 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，④正确； ∵， ∴当时，才平分， 假设 ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴ 与矛盾， ∴③错误； 正确的有①②④； 故选：B． 1．（23-24七年级下·河南周口·期末）如图，在中，交于D，平分交于E，F 为延长线上一点，交的延长线于点M，交的延长线于点 G，的延长线交于点 H，连接，则下列结论∶①；②；③；④若，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定，余角的性质等知识，利用余角的性质可判定①、②；利用角平分线的性质可判断③；利用全等三角形的判定可判定④． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 而无法判断， ∴无法判断，故①错误； ∵，， ∴，， ∴，故②正确； ∵平分， ∴E到、的距离相等，设这个距离为 ∴，故③正确； 在和中， ， ∴，故④正确， 故选：C． 2．（23-24八年级下·广东河源·期末）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍． 【问题提出】（1）尺规作图：如图1，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是_________； 【问题探究】（2）①构距离，造全等 如图2，在四边形中，，和的平分线交于边上一点．过点作于点．若，则_________； ②巧翻折，造全等 如图3，在中，是的角平分线，请说明；小明在上截取．连接，则．请继续完成小明的解答． 【问题解决】（3）如图4，在中，是的两条角平分线，且交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②见解析；（3），见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的作法、角平分线性质定理、三角形的外角性质以及全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． （1）直接利用证明即可得出； （2）①如图：过点作，垂足为点，利用角平分线的性质证得，即为的中点，进而求得的长即可； ②在上截取．连接，根据全等三角形的判定和性质，利用三角形的外角性质即可解答； （3）在上截取，连接；再证明得到，；再证明，最后利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：（1）证明：根据作图可得，又， ， ， 即； 故答案为：； （2）①如图：过点作，垂足为点， 和的平分线交于点， ，即， ； ②如图：在上截取．连接， 是的角平分线， ， 又， ． ， 又， ； （3），理由如下： ， 是的两条角平分线，且交于点． ， ； 在上截取，连接，则， ， ， ， 又， ， 是的角平分线， ， ， ， ． 3．（23-24八年级下·广东河源·期末）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍． 【问题提出】（1）尺规作图：如图1，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是_________； 【问题探究】（2）①构距离，造全等 如图2，在四边形中，，和的平分线交于边上一点．过点作于点．若，则_________； ②巧翻折，造全等 如图3，在中，是的角平分线，请说明；小明在上截取．连接，则．请继续完成小明的解答． 【问题解决】（3）如图4，在中，是的两条角平分线，且交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②见解析；（3），见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的作法、角平分线性质定理、三角形的外角性质以及全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． （1）直接利用证明即可得出； （2）①如图：过点作，垂足为点，利用角平分线的性质证得，即为的中点，进而求得的长即可； ②在上截取．连接，根据全等三角形的判定和性质，利用三角形的外角性质即可解答； （3）在上截取，连接；再证明得到，；再证明，最后利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：（1）证明：根据作图可得，又， ， ， 即； 故答案为：； （2）①如图：过点作，垂足为点， 和的平分线交于点， ，即， ； ②如图：在上截取．连接， 是的角平分线， ， 又， ． ， 又， ； （3），理由如下： ， 是的两条角平分线，且交于点． ， ； 在上截取，连接，则， ， ， ， 又， ， 是的角平分线， ， ， ， ． 1．（22-23八年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，，，平分，交于点，于点，且，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的性质与判定，熟记性质并准确识图是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出的周长． 【详解】解：平分，，， ， 在和中， ， ， ， 的周长， ， ， ， ， ， ， 的周长为． 故选：B 2．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图， 在中，，的平分线交于点E，于点 D， 若 的周长为12，则 的周长为 4 ，则为 （　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质、全等三角形的性质与判定，根据角平分线的性质可得，，证得，可得，再根据三角形周长可得，即可求解． 【详解】解：∵平分，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵ 的周长为 4 ， 的周长为12， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 3．（23-24八年级下·湖南张家界·期末）如图，点是的三个内角平分线的交点，若的周长为，面积为，则点P到边的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点P作于D，于E，于F，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：过点P作于D，于E，于F，如图， ∵点P是的内角平分线的交点， ∴， 又的周长为，面积为， ∴， ∴ ∴ ∴点P到边的距离是3cm 故选：A． 4．（22-23八年级上·湖南娄底·期中）如图，在和中，，，，．连接，交于点M，连接．下列结论： ①，②，③平分，④平分．其中正确的结论个数有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由证明，得到，由三角形的外角性质得：，得出，①正确；根据全等三角形的性质得出，，②正确；作于G，于H，则，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，，②正确； ∴， 由三角形的外角性质得：， ∴，①正确； 作于G，于H，如图所示： 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，④正确； ∵， ∴当时，才平分， 假设 ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴ 与矛盾， ∴③错误； 正确的有①②④； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 5．（22-23八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，平分，过点P作，分别交，的延长线于点M，N，连接，平分．则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．①④ B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由平分，，，可得，如图，作于，由，平分，可得，则，证明，则，，，即平分，可判断①的正误；同理，，则，，，即，可判断④的正误；由，，可得，可判断②的正误；由平分，平分，则，，设，，则，，，，可得，可判断③的正误． 【详解】解：∵平分，，， ∴， 如图，作于， 又∵，平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，，即平分，①正确，故符合要求； 同理，， ∴，， ∴，即，④正确，故符合要求； ∴， ∵， ∴，②正确，故符合要求； ∵平分，平分， ∴，， 设，，则，， ∴，， ∴，③正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 6．（22-23八年级上·甘肃兰州·期末）如图，平分交于点，于点，若，，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形面积公式，作于，由角平分线的性质定理得出，再结合，，计算即可得出答案，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于， ， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2024·四川达州·模拟预测）如图，在中，于E，于F，为的平分线，的面积是，，， ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据的面积是，列式得，即可得到答案． 【详解】解：在中，于E，于F，为的平分线， ， 的面积是， ，即， ， ， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图， 在中，，是角平分线，是边上的高， 延长与外角的平分线交于点．以下四个结论：①；②； ③，④．其中结论正确的个数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线与高的含义，三角形的外角的性质，灵活运用三角形的外角的性质解决问题是关键．由三角形的角平分线的含义可判断①，由三角形的高的含义可判断②，根据题意可知，，，，可判断③，由，，可得，从而可判断④，即可得答案． 【详解】解：是角平分线 ，故①符合题意； 是边上的高，即 ，故②符合题意； 是角平分线，平分 ， ， 由②可知， ，故③不符合题意； ， ，故④符合题意； 故答案为：3． 9．（2024·重庆·三模）如图，四边形中，平分，于点E，，则的长为 ．    【答案】 【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，过点C作交的延长线于点F，证明，则，证明，则，得到，即可得到的长． 【详解】解：过点C作交的延长线于点F，    ∵平分，于点E，于F， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为： 10．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，且平分．若，则的度数为 ． 【答案】/18度 【分析】 本题考查了三角形的外角的性质和角平分线的性质．分别延长，，过点作，，，然后根据三角形的外角的性质和角平分线的性质进行解答即可． 【详解】 解：分别延长，，过点作，，， ，， ， ， ，， 又平分， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，垂足分别为A、D，分别平分交点 E恰好在上． (1)成立吗？ 为什么？ (2)求证：． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质： （1）过点作，证明，，得到，即可得证； （2）根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】（1）解：成立，理由如下： 过点作， ∵分别平分 ∴，， 又∵， ∴，， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴，即：， ∴． 12．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，是中的平分线，于点E，于点F，，，，求的长． 【答案】 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质得到，根据即可求出的长． 【详解】解：∵是中的平分线，于点E，于点F， ∴． ∵ ∴， ∴． 13．（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，为边上一点，于点，于点，． (1)求证：平分； (2)若，，，则的长为 ． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质和判定，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）连接，证明，得，再利用角平分线的性质即可解决问题； （2）结合（1），根据，代入值计算即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图，连接， 于点，于点， ， 在和中， ， ， ， 于点，于点， 平分； （2）解：， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：4． 14．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，中，是的角平分线，于点． (1)若，，求的度数； (2)若，求的面积． 【答案】(1)的度数为 (2)的面积为27 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的特征，角的平分线的性质定理，熟练掌握直角三角形的特征和性质定理是解题的关键． （1）先利用内角和定理计算，再利用角的平分线计算．最后利用直角三角形的特征计算即可． （2）过点D作于点F，利用角的平分线的性质定理，结合面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． （2）解：过点D作于点F，如图，    ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴的面积为． 15．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：把三角形的一条内角平分线与其不相邻的两个外角的平分线的交点叫做三角形的“幸福点”．如图1，平分，平分的外角，平分的外角，则点E为的“幸福点”． 根据定义，解决下列问题． (1)判断下列三个关于“幸福点”的命题的真假．（直接在横线上填写“真”或“假”） ①每个三角形都有3个“幸福点”；（ 命题） ②三角形的“幸福点”一定在三角形的外部；（ 命题） ③三角形的“幸福点”到三角形三边的距离相等；（ 命题） (2)如图2，若点I是的“幸福点”，设，，试猜想α和β之间的数量关系（用含α的代数式表示β），并证明你的猜想； (3)如图3，在中，，点D是的一个“幸福点”，过D作，交的延长线于点E，若，，，求的长． 【答案】(1)真，真，真 (2) (3) 【分析】（1）根据“幸福点”的定义和角平分线的性质进行判断即可； （2）根据“幸福点”的定义可得，，求得，再根基三角形内角和定理求得，即可得，即可求解； （3）过点D作的延长线于点G，连接，根据“幸福点”的定义可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质得，，设，则，，由（2）得，，过点D作交的延长线于点G，，可得，证明，可得，，即可求解． 【详解】（1）解：①每个三角形都有3个“幸福点”，是真命题； ②三角形的“幸福点”一定在三角形的外部，是真命题； ③三角形的“幸福点”到三角形三边的距离相等，是真命题； 故答案为：真，真，真； （2）解：∵点I是的“幸福点”， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∵，， 又∵，， ∴，， 即，， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点D作的延长线于点F，连接， ∵点D是的一个“幸福点”， ∴平分， ∵，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得，， ∴， 设，则， ∴， 由（2）得，， ∴， 过点D作交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∵， ∴， ∴， 解得， 即． 【点睛】本题考查命题与定理、新定义、角平分线的性质、三角形内角和定理、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，理解新定义，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$