2024-2025学年高二上学期数学阶段检测（二）（人教A版（2019）选择性必修第一册）

2024-2025学年第一学期阶段检测（二） 高二数学试题 注意事项： 1．试卷共19题，满分150分，考试时间120分钟。 2. 答卷前，考生务必将自己的考号、姓名等相关信息填写在答题卡上。 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的指定区域，写在本试题卷上无效。 4．试卷包括试题卷（共4页）和答题卡（共6页）两部分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 5. 本套试卷的范围：选择性必修一全册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如图，空间四边形中，，，，在线段上，且，点为中点，则 A． B． C． D． 2．“”是“直线与直线平行”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是 A．24 B．0 C．20 D． 4．双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为 A．2 B．1 C． D． 5．已知棱长为2的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为 A． B． C． D． 6．曲线：上到直线距离最短的点坐标为 A． B． C． D． 7．已知抛物线的焦点为，直线过点且倾斜角为，若抛物线上存在点与点关于直线对称，则抛物线的准线方程为 A． B． C． D． 8．已知椭圆的右焦点为，过点作圆的切线与椭圆相交于两点，且，则椭圆的离心率是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 9．已知曲线的方程为，则 A．当时，曲线为圆 B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为 C．当时，曲线为焦点在轴上的椭圆 D．当时，曲线为双曲线，其焦距为 10．下列说法正确的有 A．直线的倾斜角为 B．直线必过定点 C．方程与方程表示同一条直线 D．经过点，且在轴上截距相等的直线方程为 11．如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的为 A．在中点时，平面平面 B．异面直线所成角的余弦值为 C．在同一个球面上 D．，则点轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知空间四点，，，共面，则 ． 13．已知点P是直线上的一个动点，过点P作圆的两条切线，与圆切于点，则的最小值是 ． 14．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，.过点的直线与轴交于点，与交于点，且，点在以为直径的圆上，则的渐近线方程为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题满分13分） 已知双曲线的焦距为为双曲线的右焦点，且点到渐近线的距离为4． （1）求双曲线的方程； （2）若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值． 16．（本题满分15分） 已知以点为圆心的圆与______，过点的动直线l与圆A相交于M，N两点．从①直线相切；②圆关于直线对称．这2个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题． （1）求圆A的方程； （2）当时，求直线l的方程． 17．（本题满分15分） 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，. （1）证明：平面平面； （2）若为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值. 18．（本题满分17分） 已知椭圆的右焦点为F，点在椭圆C上．且离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）直线l斜率存在，交椭圆C于A，B两点，A，B，F三点不共线，且直线和直线关于PF对称． （i）证明：直线l过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 19．（本题满分17分） 如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“孪生”曲线，若双曲线与椭圆是“孪生”曲线，且椭圆，（分别为曲线的离心率） （1）求双曲线的方程； （2）设点分别为双曲线的左、右顶点，过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为 ①是否存在实数，使得，若存在求出的值；若不存在，请说明理由； ②试探究的取值范围． 答案第1页，共2页 高二数学试题卷 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$高二数学答题卡 第 1页 共 6 页 高二数学答题卡 第 2页 共 6 页 高二数学答题卡 第 3页 共 6 页 2024-2025 学年第一学期阶段检测（二） 高二数学答题卡 姓名： 班级： 学校： 准考考号 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得 6 分，选对但不全得部分分，有选错的得 0分. 9[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 13. 14. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13 分） 16.（15 分） 17.（15 分） 贴 条 码 粘 贴 区 考生禁填 缺考标记 缺考考生由监考员贴条形码， 并用 2B 铅笔填涂该缺考标记。 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号 填写清楚。 2、选择题填涂时，必须使用 2B 铅笔按 图 示填涂；非选择题必须用 0.5 毫米黑色签字笔 书写。 3、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超 出范围的答案无效，在草稿纸、试题卷上作答 无效。 4、保持卡面清洁，不折叠、不破损。 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 高二数学答题卡 第 4页 共 6 页 高二数学答题卡 第 5页 共 6 页 高二数学答题卡 第 6页 共 6 页 18.（17 分） 19.（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 答案第 1页，共 13页 2024-2025 学年第一学期阶段检测（二） 高二数学参考答案 1．B 【分析】利用空间向量的基本定理可得出MN  关于 a  、b  、 c  的表达式. 【详解】因为N为BC的中点，则  1 1 1 12 2 2 2ON OB BN OB BC OB OC OB OB OC                   ， 因为 3OA AM ，则 2 3 OM OA   ， 因此， 1 1 2 2 1 1 2 2 3 3 2 2 MN ON OM OB OC OA a b c                  . 故选：B. 2．A 【分析】先由两直线平行求得参数 a的值，再进行充要条件判断即得. 【详解】直线 2 1 0x ay   和 2 2 0ax y   平行，则 0a  ， 等价于 2 1 2 2 a a     ，即 2a   ， 故“ 2a  ”是“直线2 1 0x ay   与直线 2 2 0ax y   平行”的充分不必要条件. 故选：A. 3．C 【分析】利用垂直可求m，根据垂足坐标可求 ,n p，进而可得答案. 【详解】因为直线 4 2 0mx y   与2 5 0x y n   互相垂直， 所以  2 4 5 0m     ，解得 10m  ； 垂足  1,P p 在直线10 4 2 0x y   上，所以 2p   ， 垂足  1,P p 在直线2 5 0x y n   上，所以 5 2 12n p    ， 所以 10 12 2 20m n p      . 故选：C 4．D 【分析】先求双曲线的渐近线，再应用点到直线距离结合圆求弦长即可. 【详解】双曲线C的渐近线为 y x  ， 根据对称性不妨取 0x y  ，圆 2 2( 1) 1x y   的圆心为  1,0 ，半径 1r  ， 可得圆心到渐近线的距离为 1 2 22 d   ， 答案第 2页，共 13页 则弦长为 2 22 1 2 2         . 故选：D. 5．A 【分析】建立空间直角坐标系，设出点 ( , , )P x y z ，可知    2 2 21 1 2PA PC x y z         ，所以    2 2 21 1x y z    表示点 ( , , )P x y z 与点 (1,1,0)M 之间距离的平方，分析求解即可. 【详解】以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 (2,0,0)A ， (0, 2,0)C ，设点 ( , , )P x y z ， 所以 (2 , , )PA x y z     ， ( ,2 , )PC x y z     ， 所以        2 22 2 2 2 22 2 2 2 1 1 2PA PC x x y y z x x y y z x y z                    ， 因为    2 2 21 1x y z    表示点 ( , , )P x y z 与点 (1,1,0)M 之间距离的平方， 所以当点 P的坐标为 (1,1,2)P 时，PA PC   取得最大值为 22 2 2  ， 当 P与点 (1,1,0)M 重合时，PA PC   取得最小值 2 ， 所以PA PC   的取值范围为： 2 2 , . 故选：A. 6．B 【分析】设曲线C：  1 0 xy x 上的点A的坐标为 1,m m       ， 0m  ，然后表示出点A到直线 16 2 0x y   的距 离d ，结合基本不等式可求出其最小值，从而可求出点A的坐标. 【详解】设曲线C：  1 0 xy x 上的点A的坐标为 1,m m       ， 0m  ， 则点A到直线 16 2 0x y   的距离 16 16162 2 22 10 1 256 257 257 257 m mmm mmd           ， 当且仅当 16m m  ，即 4m  时，等号成立，此时点A的坐标为 14, 4       . 故选：B. 答案第 3页，共 13页 7．A 【分析】利用对称性建立方程求解参数，得到抛物线方程，最后求解准线即可. 【详解】由题意可知， F 的坐标为 ,02 p      .设点  0 0,M x y ，则 MF NF ，MN l ， 即 0 3 2 2 2 p px         ，得 0 3 2 x  ， 2πtan 1 3MN k    ， 即 0 0 0 0 3 3 3 3 2 MN y yk x           ，得 0 3y  ，因此   2 33 2 2 p  ， 解得 1p  ，故抛物线C的准线方程为 1 2 2 px     . 故选：A 8．C 【分析】设切线为    1 1 2 2, , , ,x my c A x y B x y  ，联立椭圆方程，利用韦达定理表示 1 2 1 2,y y y y ，由 2FB AF   得 2 12y y  ，进而 2 2 2 2 28m c a b m  ，根据直线与圆的位置关系与点到直线的距离公式可得 2 3m  ，则 2 24 27a c ， 即可求解. 【详解】如图，设切线方程为    1 1 2 2, , , ,x my c A x y B x y  ， 2 2 2 2 1 x my c x y a b       ，消去 x，得 2 2 2 2 2 4( ) 2 0a b m y mcb y b    ， 则 2 1 2 2 2 2 4 1 2 2 2 2 2mcby y a b m by y a b m          ①，又 2FB AF   ，所以 2 12y y  ， 代入①，得 2 1 2 2 2 4 2 1 2 2 2 2 2 mcby a b m by a b m          ，则 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2( ) mcb b a b m a b m    ，整理得 2 2 2 2 28m c a b m  ②. 又圆心 2 ( ,0)C c 到直线 0x my c   的距离等于半径，半径 r c ， 则 21 c c d c m      ，解得 2 3m  ，代入②，整理得 2 24 27a c ， 所以 2 2 2 4 27 ce a   ，由0 1e  ，解得 2 3 9 e  . 故选：C 答案第 4页，共 13页 9．AB 【分析】利用m的值，判断曲线方程的形状，再判断选项的正误即可． 【详解】对于 A：当 2m  时，曲线C的方程为 2 2 3x y  ，表示圆心为坐标原点，半径为 3的圆，故 A正确； 对于 B：当 7m  时，曲线C的方程为 22 1 8 2 yx   ，表示焦点在 x轴上的双曲线，其渐近线方程为 1 2 y x  ，故 B 正确； 对于 C：当 7m  时满足m>2，曲线C的方程为 22 1 8 2 yx   ，表示焦点在 x轴上的双曲线，故 C不正确； 对于 D：当 7m  时，曲线C的方程为 22 1 8 2 yx   ，表示焦点在 x轴上的双曲线，其焦距为2 10 ，故 D不正确． 故选：AB 10．AB 【分析】A：先求斜率，然后根据 tanθ k 求解出倾斜角；B：根据直线过定点列出关于 ,x y的方程组，求解出 结果即可知定点坐标；C：根据分式方程的特点作出判断即可；D：考虑直线的横纵截距是否为 0，由此分类 讨论. 【详解】对于 A：直线的斜率 3 3 k   ，所以倾斜角的正切值  3tan 0 180 3        ，所以 150  ，故正 确； 对于 B：因为直线  2 3 0k x y    ，令 2 0 3 0 x y      ，所以 2 3 x y    ，所以直线过定点  2,3 ，故正确； 对于 C：方程 2 yk x   中 2x  ，方程  2y k x  中 x R ，故错误； 对于 D：当直线的横纵截距均为0时，设直线方程 y kx ，代入  2,1P ，解得 1 2 k  ， 当直线的横纵截距均不为0时，设直线方程  1 0x y a a a    ，代入  2,1P ，解得 3a  ， 故所求直线方程为 2 0x y  或 3 0x y   ，故错误； 故选：AB. 11．ACD 【分析】根据正方体图像特征证明PF 面GMN，结合面面垂直的判定定理判断 A；根据异面直线所成的角判 断 B错误；根据五点共圆得到 C；分析可知 P点轨迹是过点M 与 1B E平行的线段 1MP，根据轨迹求出长度得到 D. 【详解】对于选项 A：取 AD的中点Q，连接 ,PQ FQ， 答案第 5页，共 13页 在棱长为 2的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，E F G M N、 、 、 、 均为所在棱的中点， 易知GM PQ ， 1/ / ,FQ DD FQ  平面 ABCD，GM 在面 ABCD内， 所以GM FQ^ ，FQ 面 PQF ，PQ面 PQF ，PQ FQ Q ， 所以GM 面PQF ，PF 面 PQF ，所以GM PF^ ， 连接 1BA， 1 1ABB A是正方形， 1GN AB ， 因为 1FA ^ 面 1 1ABB A，GN 面 1 1ABB A，所以 1GN AF^ ， 因为 1FA 面 1PFA B， 1A B面 1PFA B， 1 1 1=FA AB A ， 所以GN 面 1PFA B，因为 PF 面 1PFA B，所以GN PF^ ， 综上，GN 面GMN，GM 面GMN，又GN GM G  ， 所以PF 面GMN，PF 面 PEF，故平面 PEF 平面GMN，故 A正确； 对于选项 B：取 1 1AB 的中点T，连接 ,ET FT，则 / /ET GN， 所以 TEFÐ 是异面直线EF GN、 所成的角， 又 2EF FT ET= = = ，则 π 1,cos 3 2 TEF TEFÐ = Ð = ，故 B错误； 对于选项 C：记正方体的中心为点O，则 2OE OF OG OM ON     ， 所以E F G M N、 、 、 、 在以O为球心，以 2为半径的球面上，故 C正确； 对于选项 D：因为 1 1 1 1 12AP tA A AM tAB       ，且E为 1AA 的中点， 所以 1 1 1 1 12 2AP AM tAE tA B- = -     ，故 12MP tB E=   ， 所以 P点轨迹是过点M 与 1B E平行的线段 1MP，且 1 1 2 CP  ， 所以 1 5 2 MP  ，故 D正确； 故选：ACD 【点睛】方法点睛： （1）用普通方法求异面直线所成的角时可以找到与其中一条平行的直线与另一条直线相交所成的角即为异面 直线的夹角； 答案第 6页，共 13页 （2）证明面面垂直时，通常先证明线面垂直，再证明面面垂直； （3）证明点共球面可先证明点共圆. 12．11 【分析】由四点 , , ,A B C D共面，可得存在实数 , 使得 AD AB AC      ，从而得到 4 2 2 2 6 0 2 8 x                  ，即可求出 结果． 【详解】因为  4,1,3A ，  2,3,1B ，  3,7, 5 C ，  , 1,3 D x ， 得到 ( 2, 2, 2)AB     ， ( 1,6, 8)AC     ， ( 4, 2,0)AD x    ， 又因为四点 , , ,A B C D共面，所以存在实数 , 使得 AD AB AC      ， 即 ( 4, 2,0) ( 2,2, 2) ( 1,6, 8)x          ， 得到 4 2 2 2 6 0 2 8 x                  ，解得 11x  ， 4, 1    ， 故答案为：11. 13． 3 4 /0.75 【分析】结合切线的性质与二倍角公式可将求 cos MPN 的最小值转化为求 sin MPC 的最大值，结合三角函数 定义与点到直线距离公式计算即可得. 【详解】由题意可得 PM CM 、 PN CN ， MPC NPC  ， 设 MPC   ，则 2MPN   ，则 2cos cos 2 1 2sinMPN      ， 由    2 2: 1 1 4C x y    可得圆心为  1,1C ，半径为 2r  ， 则 2sin MC PC PC    ，又 min 1 1 8 4 2 1 1 PC      ， 则  max min 2 2 2sin 44 2PC     ， 则   2 2 min 2 3cos 1 2sin 1 2 4 4 MPN               . 故答案为： 3 4 . 答案第 7页，共 13页 14． 2 5 5 y x  【分析】设 2 2AF m ，则 2 1 13 , 2 2BF m BF AF a m    ，利用勾股定理得到 a m ，则得到 1 2 4cos 5 F AF  ，最后再利用余弦定理得到齐次方程即可. 【详解】依题意，设 2 2AF m ，则 2 1 13 , 2 2BF m BF AF a m    ， 因为点 1F在以 AB为直径的圆上，则 1 90AF B  ， 在 Rt 1ABF 中， 2 2 29 (2 2 ) 25m a m m   ，则 ( 3 )( ) 0a m a m   ， 故a m 或 3a m  (舍去)，所以 1 2 2 14 , 2 , 3AF a AF a BF BF a    ， 则 | | 5AB a ，故 11 2 4 4cos 5 5 AF aF AF AB a     ， 所以在 1 2AF F△ 中， 1 2cos F AF  2 2 216 4 4 4 2 4 2 5 a a c a a      ， 整理得 2 25 9c a ，则  2 2 25 9a b a  ，则 2 25 4b a ，则 2 2 4 5 b a  ， 故 E的渐近线方程为 2 5 5 y x  . 故答案为： 2 5 5 y x  . 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用双曲线的定义和勾股定理得到 1 2 4cos 5 F AF  ，最后再利用余弦定理 得到齐次方程， 15．（1） 2 2 1 9 16 x y   （2）23 答案第 8页，共 13页 【分析】（1）利用点到直线的距离公式列方程得到b，根据焦距得到c，然后根据 2 2 2a c b  得到 a即可得到双 曲线的方程； （2）根据双曲线的定义将 PA PF 的最小值转化为 0 2PA PF a  的最小值，然后根据两点之间线段最短求最 小值即可. 【详解】（1） 2 2 2 2 1 x y a b   的一条渐近线的方程为 by x a  ，即 0bx ay  ， 点  ,0F c 到 0bx ay  的距离 2 2 4 bc d b b a     ， 又因为2 10c  ，所以 5c  ， 所以 2 2 2 9a c b   ，所以双曲线C的方程为 2 2 1 9 16 x y   ． （2） 记双曲线C的左焦点为 0F ，则  0 5,0F  ， 0 02 6PA PF PA PF a PA PF       ， 当 0, ,P F A三点共线时， 0PA PF 最小，且最小值为 0 17AF  ． 故 PA PF 的最小值为17 6 23  ． 16．（1） 2 2( 1) ( 2) 20x y    （2）3 4 6 0x y   或 2x   【分析】（1）选①：根据圆的切线性质进行求解即可；选②：根据圆与圆的对称性进行求解即可； （2）利用圆的垂径定理，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】（1）选①：因为圆 A与直线 2 7 0x y   相切， 所以圆 A的半径为 2 2 1 1 2 2 7 2 5 1 2        ， 因此圆 A的方程为 2 2( 1) ( 2) 20x y    ； 选②：因为圆 A与圆 2 2( 3) 20x y   关于直线2 1 0x y   对称， 答案第 9页，共 13页 所以两个圆的半径相等，因此圆 A的半径为 2 5， 所以圆 A的方程为 2 2( 1) ( 2) 20x y    . （2）两种选择圆 A的方程都是 2 2( 1) ( 2) 20x y    ， 当过点 ( 2,0)B  的动直线 l不存在斜率时，直线方程为 2x   ， 把 2x   代入 2 2( 1) ( 2) 20x y    中，得 2 19y   ， 显然2 19 (2 19) 2 19    ，符合题意， 当过点 ( 2,0)B  的动直线 l存在斜率时，设为 k， 直线方程为 ( 2) 2 0y k x kx y k      ， 圆心到该直线的距离为： 2 2 2 2 2 1 1 k k k k k        ， 因为 | | 2 19MN  ，所以有 2 2 2 2 1 3( ) ( 2 19) 20 2 41 k k k        ， 即方程为：3 4 6 0x y   综上所述：直线 l的方程为3 4 6 0x y   或 2x   . 17．（1）证明见详解 （2） 2 4 【分析】（1）取 AD的中点F ，由已知，推得PF AD ，PF FB ，则PF 平面 ABCD，即可得到平面 PAD  平面 ABCD； （2）以D为原点，建立空间直角坐标系，求出平面 ADE的一个法向量，得出平面 ABCD的一个法向量，利用 向量运算即可求得平面 ADE与平面 ABCD的夹角的余弦值. 【详解】（1） 如图，取 AD AB、 的中点F H、 ，连接PF DH、 ，取 AH的中点G，连接 FG， 因为 / / , , 2AB CD AB BC BC CD   ， 4AB  ， 所以DH AB ，FG AB ， 2AH DH BC   ， 1 1, 1 2 FG DH GH   ， 答案第 10页，共 13页 则 3GB  ， 2 2 2 2AD AH DH   ，则 1 2 2 AF AD  ， 则 2 2 10BF GB GF   ， 又因为 4PA PD  ，所以PF AD ， 所以 2 2 14PF PA AF   ，又 2 6PB  ， 则 2 2 2PF FB PB  ，所以 PF FB ， 又 , ,BF AD F BF AD  平面 ABCD， 所以PF 平面 ABCD， 又 PF 平面PAD，所以平面PAD 平面 ABCD . （2）由已知和（1）可知，DH DC ， 以D为原点，以DH  、DC  方向为 x、 y轴正方向，垂直平面 ABCD向上方向为 z轴建立空间直角坐标系， 则  0,0,0D 、  2, 2,0A  、  0,2,0C 、  1, 1, 14P  ， 因为E为PC的中点，则 1 1 14, , 2 2 2 E        ， 所以，  2, 2,0DA    ， 1 1 14, , 2 2 2 DE          ， 设平面 ADE的一个法向量为  , ,m x y z ，则 2 2 0 1 1 14 0 2 2 2 DA m x y DE m x y z                  ， 令 1x  ，则 141, 7 y z   ，即 141,1, 7 m          ， 设平面 ABCD的一个法向量为  0,0,1n  ， 所以 14 27cos , 44 7 7 m nm n m n          ， 即平面 ADE与平面 ABCD的夹角的余弦值为 2 4 . 18．（1） 2 2 1 2 x y  （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 2 4 【分析】（1）由离心率和椭圆上的点，求椭圆C的方程； （2）设直线方程，与椭圆方程联立，由 0AF BFk k  ，结合韦达定理得系数间的关系，可得直线所过定点，利 答案第 11页，共 13页 用面积公式表示出 ABF△ 的面积，由基本不等式求最大值. 【详解】（1）因为椭圆离心率为 1 2 c a  ，则 2 2 2 2 2 22 , 2 ,a c a b c c b c     ， 点 21, 2 P        在椭圆C上，点 21, 2 P        代入椭圆方程，有 2 2 2 2 2 1 11 1 1, 1 2 2 2 b a b b b      ，则 2 2a  ， 所以椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y  . （2）（ⅰ）设直线 l的方程为 y kx m  ，由 2 2 1 2 y kx m x y       ， 消去 y，整理得  2 2 21 2 4 2 2 0k x kmx m     ， 因为 l交椭圆 C于 ,A B两点，所以  2 2Δ 8 2 1 0k m    ， 设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，所以 2 1 2 1 22 2 4 2 2, 1 2 1 2 km mx x x x k k        ， 因为直线 AF和直线 BF关于PF对称，PF x 轴， 所以         1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 0 1 1 1 1 1 1AF BF kx x m k x x my y kx m kx mk k x x x x x x                   ， 所以      2 1 2 1 2 2 2 2 2 42 2 2 2 0 1 2 1 2 m kmkx x m k x x m k m k m k k                ， 所以 2 2 2 24 4 4 4 4 2 0km k km k m mk m      ， 解得 2m k  . 所以直线 l的方程为  2 2y kx k k x    ， 所以直线 l过定点  2,0 . （ⅱ）由题意知 l斜率不可能为 0,设直线 l的方程为 2x ny  ，由 2 2 2 1 2 x ny x y       ， 消去 x，整理得  2 22 4 2 0n y ny    ， 因为 l交椭圆 C于 ,A B两点，所以      2 2 2Δ 4 8 2 8 2 0n n n      ， 解得 2 2n  ， 则 1 2 1 22 2 4 2, 2 2 ny y y y n n       ， 答案第 12页，共 13页 由题意可知 1 2,y y 同号，不妨设 1 2y y ， 所以   2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 4 2 2 2 24 4 2 2 2 n ny y y y y y y y n n n                 ， 所以   2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 21 1 2 2 2 2 2ABF n nS y y y y n n                令  2 2 , 0n t t   则  2 1 1 22 2 216 42 16 84 8 ABF tS t t t            ，当且仅当 4t  即 2 6n  时取等号， 所以 ABF△ 面积的最大值为 2 4 . 【点睛】方法点睛：把两个曲线的方程联立，消去 x(或 y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结 合建立有关参变量的等量关系应用基本不等式求三角形的面积最值即可． 19．（1） 2 2 1 9 x y  （2）①存在实数 1 4    使得 1 4 AP BQk k ，理由见解析，②  1,1  AP BQk k . 【分析】（1）根据“孪生”曲线定义，直接列式计算可得答案； （2）①直线与双曲线方程联立，利用韦达定理进行消参，进而证明其比值为定值；②根据题意得 3AP BQ APk k k ， 设直线 AP的方程为  3y k x  ，与双曲线方程联立，利用韦达定理得出 k的范围可得答案. 【详解】（1）根据题意双曲线   2 2 2 2: 1 0 39 x yC b b     ， 因为 2 2 1 2 9 9 4 5 3 3 9 b be e     ，解得 1b  ， 双曲线 2C 的方程为 2 2 1 9 x y  ； （2）①，存在实数 1 4    ，使得 1 4 AP BQk k ，理由如下， 若直线 BQ的斜率不为 0，则 0APk  ， ,P Q重合不符合题意，所以 0BQk ， 设直线 l的方程为 5x ty  ，    1 1 2 2, , ,P x y Q x y ， 由 2 2 5 1 9 x ty x y       得  2 29 10 16 0t y ty    ， 双曲线的渐近线方程为 3 xy   ，所以 3t   ， 可得 1 2 1 22 2 10 16, 9 9       ty y y y t t ，    2 2 2Δ 10 64 9 36 576 0t t t      ， 答案第 13页，共 13页 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 3 8 2 2 8 8 3 2              AP BQ k y y x ty y ty ty y y y y ty y tk y y y x ty     2 12 1 2 1 12 2 16 2 16 2 9 19 16 10 464 8 98 9 9 t y t y tt t t t y ty t t                  ， 所以存在实数 1 4    ，使得 1 4 AP BQk k ； ②，由① 1 4 AP BQk k ，所以 3AP BQ APk k k ， 设直线 AP的方程为  3y k x  ，与双曲线方程联立   2 2 3 1 9 y k x x y        得  2 2 2 21 9 54 81 9 0k x k x k     ， 可得  2 2 2 21 9 54 81 9 0k x k x k     ， 因为  3,0A  ，所以 2 2 3 1 9 81 9     P x k k ，解得 2 2 27 3 1 9P kx k    ， 因为点 P在双曲线的右支上，所以 2 2 3 27 3 1 9    P x k k ， 解得 1 1 3 3 k   ， 所以  3 1,1AP BQk k k     . 【点睛】思路点睛：本题的解题思路是理解题目定义，求出双曲线方程，根据定点位置合理设出直线的方程形 式，再利用直线与双曲线的位置关系得到韦达定理，然后利用斜率公式代入消元，即可判断否为定值，注意非 对称韦达的使用技巧，第三问，由第二问较容易得到函数关系式，难点是准确找到斜率的取值范围，从而得到 精确的的范围. 2024-2025学年第一学期阶段检涮（二） 7,已短抛特线C少-2ro)的能点为P,直线/过点F且顿斜角为，若糙物发C上存在应M与点 高二数学试题 宁关干直线对称，则特将线的准线方程为 注童事项： A B=-1 C.=-2 D.和- 1.试卷共19烟。满分10分，考时同120分钟. 2.答静前，考生务经将白已的考号、姓名等相关结皇第写在答卡上. 8.已如桶图C子卡-a>>a之-心-)的右桃点为F,过底F体顺G+了+2如=0约可线与精圆G 3.回溶这择题时，速出每小题答案后，用相笔把答海卡上对应增目的答案标号徐用，知盾要支动用橙皮擦 相空于48而点，且语-24正，国制G的离心率是 干净后，厚这涂其他容案标号。问容非透样想时，将容案写在若整卡的指定区域。写在本试题在上无效。 A c D. 4,试卷包括试题静《共4页)和答烟卡（共6资）两部分，考试法束后。将本试卷和答题华并父回。 5,本套试卷的范国：选择性丝修。全母： 二，进狮墓：本愿共3小题，每小累6分，共18分，在每小题给岛的达项中。有多贸得合愿日要求.全军选 一，远释题：本莲找8小题，每小题5分，其40分，在蜂小则始出的四个选项中，只有一项是符合题月要 对的得6分，远对但不全得富分分，有选辑的得0分， 求的 马.已每由线C的方程为子+二-mG,则 1.如周.空间四边形0Br中，4-。，丽-石，：M在找段Q则上，且O4-3W, A.当m=2时，由线C为圆 点N为C中点：第 B,当网=7时。鱼线C为双黄线。其南近线方型为一士宁字 A-+5a5c-n6- C.当2时，曲线C★你点在x帕上的杨圆 2.”g=2“是"官线2+-1=0与直线红+2议-2-0平行的 D.当州-7时，由战C为角线，其焦矩为而 A,充分面不必要条件 B。必要由不充分条智 0。下列说法正遍的有 C.花分必要条件 D.戴不免分也不必要条村 A.直线￥年3y+3=0的横斜角为1妒 3.已知直线+4-2=0与2￥-5F+n0互相垂直，联足为Tp),则w=x户的值是 B,直线y-3-4(a=2)必过球点23引 A,24 B.0 C.29 D.-4 4.夏由线C:--1的一条新近线黄圆w-+=1所截闲的弦长为 C为程少--到与为古表示制一条直线 A.2 e D. D.过底P风2，)，且在七，轴上截距相等的直线为程为1+r-3=Q B.1 5.已知棱长为2的正方体4做CD-4CG凸内有一内切球0，点P在球O的表面上运动，则：风的取值面 I1,图。在棱长为2的正方体徵D-ACD中，E.F,G.M,N均为所在棱的中点，点P在正体 围为 表面居动，下列结论中正确的为 D A,P在C中时，平直PE球1平面GN A,【-2 B.u2] c,-2 D.a可 日.持面直线，6N所域角的来独植为} 6.仙线C:0=1(x>0)上到直线x+16y+2x0泡高最虹的点坐标为 C,E、F,G.M.N在同一个球面上 A任利m( c.(4-9 n D.=不+W-厦，则刀点轨迹长度为号 高二数学以增鞋第1宜共4真 高二数学试鞋在奶2项兴4风 三，填空题：本整共5小题，每小题5分，共15分， 18。(本墨满分17分) 12.己如空间四点4=41,3)，B-231,C-信1.-到，D=(工-l,3)共面，则x- 已如用C子产名·a>约右众务长由小马在丽C上月心体 1 13.已知点P是直线1=y8=0上的一个动点，过点P作顶C(x-)+y-1)。4的再条切线，与到切于点，N, (1)米所圆C的方程： o∠MPW的最小植是 、巴如双线6，号若1（>0，小0)的，右点分为，5社点5的直我y转交于自。 (2)直提斜存在，交同展C于A,B两点，A,R,F三点不其线，且直线AP和直线关于PF对 称 与6交于点A。且酒一原，点霄在以为直径的暖上。则龙的离近线方粗为 (D正明：直线过定点： (前》求AAF指积的最大值： 因、解容题：本驱共5小思，共了分解答应马出文字悦明、正用过是版演算步理， 19.(本哪满分17分) 15,(本题端分13分) 已加风自线C号芳-a>A>刘的形为aF为双自线的活焦点且友特后E离为 如翼一条双韩线的实轴和壶传分别是一个精帽的长轴和短轴，属称它们为字生角线。若成曲钱C:与相 图G是：字生电线，且销同G号片-1®4小小，65(6分为自线GG的离心率) (1)求双典线C的方程 (1)求双由设C的方程： (2)若点A20),点P为双由找C左支上一点，裘P+日的最小值. (2)登点A.8分刚为双由战G前左、右网点，过点（气0）的响直线交夏由战C右支于P,0两点，若 16,本邀端分15分) 直线A伊0的料率分别为w- 已知以点4-12)为图心的圆与·过点武20的动直线1与图4相父于从，背点.从①直线 ①是否存在实夏，快得，中差，若存在承出的值：若不存在。请说明理由： 1+2少7-0相切：②⑦周x-3)+y,切关下直线山一y-1-0对休.这2个条件中任选一个。补充在上面日 2试探究5#+时的章值范同 题的顿线上可答下州问是 《1)求帽A的方程： 《2)当M=29时，求直线（的方程. 17,(本题端分15分》 如图，在四棱锥P-A0中，底罪AD是直角梯形，A骨/CD,A格士C,C=CD=2, P4=PD=48=4.PB=216 (I)正明：平面PAD⊥平围ACD: 《2)若为PC的中点，求平面4城与平面A8CD的炙角的余流值 高二数学以增鞋第3宜共4真 高二数学试鞋在第4山兴4项高二数学试题卷 第 1页 共 4页 2024-2025 学年第一学期阶段检测（二） 高二数学试题 注意事项： 1．试卷共 19 题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2. 答卷前，考生务必将自己的考号、姓名等相关信息填写在答题卡上。 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的指定区域，写在本试题卷上无效。 4．试卷包括试题卷（共 4页）和答题卡（共 6页）两部分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 5. 本套试卷的范围：选择性必修一全册．．．．．．．．。 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1．如图，空间四边形OABC中，OA a   ，OB b   ，OC c   ，M 在线段OA上，且 3OA AM ， 点N为BC中点，则MN   A． 1 2 1 2 3 2 a b c    B． 2 1 1 3 2 2 a b c     C． 1 1 1 2 2 2 a b c    D． 2 1 3 2 ba c    2．“ 2a  ”是“直线2 1 0x ay   与直线 2 2 0ax y   平行”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知直线 4 2 0mx y   与2 5 0x y n   互相垂直，垂足为  1,P p ，则m n p  的值是 A．24 B．0 C．20 D． 4 4．双曲线 2 2: 1C x y  的一条渐近线被圆 2 2( 1) 1x y   所截得的弦长为 A．2 B．1 C． 3 2 D． 2 5．已知棱长为 2的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 内有一内切球O，点 P在球O的表面上运动，则PA PC   的取值范 围为 A． 2 2 , B． 0,2 C． 2,4 D． 0,4 6．曲线C：  1 0 xy x 上到直线 16 2 0x y   距离最短的点坐标为 A． 1 ,4 4       B． 14, 4       C． 14, 4       D． 1 , 4 4       高二数学试题卷 第 2页 共 4页 7．已知抛物线  2: 2 0C y px p  的焦点为 F ，直线 l过点F 且倾斜角为 2π 3 ，若抛物线C上存在点M 与点 3 ,0 2 N      关于直线 l对称，则抛物线C的准线方程为 A． 1 2 x   B． = 1x  C． 2x   D． 14x   8．已知椭圆   2 2 2 2 2 1 2 2: 1 0, x yC a b c a b a b       的右焦点为 F ，过点F 作圆 2 22 : 2 0C x y cx   的切线与椭圆 1C 相交于 ,A B两点，且 2FB AF   ，则椭圆 1C 的离心率是 A． 3 9 B． 3 6 C． 2 3 9 D． 3 3 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得 6分，选对但不全得部分分，有选错的得 0分. 9．已知曲线C的方程为   2 2 1 R 1 5 x y m m m      ，则 A．当 2m  时，曲线C为圆 B．当 7m  时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为 1 2 y x  C．当m>2时，曲线C为焦点在 x轴上的椭圆 D．当 7m  时，曲线C为双曲线，其焦距为 10 10．下列说法正确的有 A．直线 3 3 0x y   的倾斜角为150 B．直线  3 2y k x   必过定点  2,3 C．方程  2y k x  与方程 2 yk x   表示同一条直线 D．经过点  2,1P ，且在 ,x y轴上截距相等的直线方程为 3 0x y   11．如图，在棱长为 2的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，E F G M N、 、 、 、 均为所在棱的中点，动点 P在正方体 表面运动，则下列结论中正确的为 A． P在BC中点时，平面 PEF 平面GMN B．异面直线EF GN、 所成角的余弦值为 1 4 C．E F G M N、 、 、 、 在同一个球面上 D． 1 1 1 1 12AP tA A AM tAB       ，则 P点轨迹长度为 5 2 高二数学试题卷 第 3页 共 4页 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12．已知空间四点  4,1,3A ，  2,3,1B ，  3,7, 5 C ，  , 1,3 D x 共面，则 x  ． 13．已知点P是直线 8 0  x y 上的一个动点，过点P作圆    2 2: 1 1 4C x y    的两条切线，与圆切于点 ,M N， 则 cos MPN 的最小值是 ． 14．已知双曲线 E： 2 2 2 2 1 x y a b   （ 0a  ， 0b  ）的左、右焦点分别为 1F， 2F .过点 2F 的直线与 y轴交于点 B， 与 E交于点A，且 2 2 3 2 F B F A    ，点 1F在以 AB为直径的圆上，则E的渐近线方程为 . 四、解答题：本题共 5小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题满分 13分） 已知双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 x yC a b a b     的焦距为10,F 为双曲线的右焦点，且点 F 到渐近线的距离为 4． （1）求双曲线C的方程； （2）若点  12 0A , ，点 P为双曲线C左支上一点，求 PA PF 的最小值． 16．（本题满分 15分） 已知以点  1, 2A  为圆心的圆与______，过点  2,0B  的动直线 l与圆 A相交于M，N两点．从①直线 2 7 0x y   相切；②圆  2 23 20x y   关于直线 2 1 0x y   对称．这 2个条件中任选一个，补充在上面问 题的横线上并回答下列问题． （1）求圆 A的方程； （2）当 2 19MN  时，求直线 l的方程． 17．（本题满分 15分） 如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD是直角梯形， / / , , 2AB CD AB BC BC CD   ， 4, 2 6PA PD AB PB    . （1）证明：平面 PAD 平面 ABCD； （2）若 E为PC的中点，求平面 ADE与平面 ABCD的夹角的余弦值. 高二数学试题卷 第 4页 共 4页 18．（本题满分 17分） 已知椭圆   2 2 2 2: 1 0 x yC a b a b     的右焦点为 F，点 21, 2 P        在椭圆 C上．且离心率为 2 2 ． （1）求椭圆 C的方程； （2）直线 l斜率存在，交椭圆 C于 A，B两点，A，B，F三点不共线，且直线 AF和直线 BF关于 PF对 称． （i）证明：直线 l过定点； （ⅱ）求 ABF△ 面积的最大值． 19．（本题满分 17分） 如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“孪生”曲线，若双曲线 2C 与椭 圆 1C 是“孪生”曲线，且椭圆   2 2 1 2: 1 0 39 x yC b b     ， 1 2 4 5 9 e e  （ 1 2,e e 分别为曲线 1 2,C C 的离心率） （1）求双曲线 2C 的方程； （2）设点 ,A B分别为双曲线 2C 的左、右顶点，过点  5,0M 的动直线 l交双曲线 2C 右支于 ,P Q两点，若 直线 ,AP BQ的斜率分别为 ,AP BQk k ①是否存在实数，使得 AP BQk k ，若存在求出的值；若不存在，请说明理由； ②试探究 AP BQk k 的取值范围．