12.2 三角形全等的判定 讲义 2024--2025学年人教版八年级数学上册

三角形全等的判定 ★【知识点梳理】 一、全等图形的概念和判断 能够完全重合的两个图形叫做全等图形 二、三角形全等的判定 五种判定方式：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 三、三角形全等的判定证明题解题过程 1、按照SSS、SAS、ASA、AAS、HL，先从已知条件中找相等的边、角，或通过证明得到要用的相等的边、角。 2、固定格式举例： 在△ABC和△DEF中 ∵ AB=DE BC=EF AC=DF ∴△ABC≌△DEF（sss） ★【题型汇总】 【题型1全等图形的概念和判断】 【例1】关于全等图形的描述，下列说法正确的是（　　） A．形状相同的图形 B．面积相等的图形 C．能够完全重合的图形 D．周长相等的图形 【例2】下列四个图形中，属于全等图形的是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．全部 【例3】下列各组两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【题型2 判定全等角形（SSS）】 三角形全等的判定方法一：SSS 三边分别相等 的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 书写格式： 在和中， ≌ 【例1】．如图，在中，，，则由“”可以判定（    ） A． B． C． D． 【例2】下列说法：（1）周长相等的两个等边三角形全等；（2）有三个角对应相等的两个三角形全等；（3）有三边对应相等的两个三角形全等；（4）有底和腰对应相等的两个等腰三角形全等.其中说法正确的个数是（ ）. 个 个 个 个 【例3】如图，在四边形中与交于点，且,图中全等三角形有 对. 【练习1】如图，已知，则 ， . 【练习2】如图，已知，点为的中点，下列结论：，.其中正确说法的个数是（ ）. 个 个 个 个 【例 3】．如图，点E，C在线段BF上，AB＝DE，BE＝CF，AC＝DF．求证：△ABC≌△DEF． 【练习3】如图，已知中，，是边上的中线，试猜想： (1)与的大小关系； (2)与的位置关系．并证明你的结论． 试卷第1页，共3页 试卷第17页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 【练习4】．如图，E是AC上一点，BC＝CE，BC+AE＝DE，AB＝CD，求证：△ABC≌△DCE． 【练习5】如图，在中，,与交于点. （1） 求证：； （2） 过点作，过点作， 交于点，试判断线段数量关系，并证明你的结论. 【题型3判定全等角形（SAS）】 三角形全等的判定方法二： 两边和它们的夹角分别相等 的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“”）. 书写格式： 在和中， ≌ 【例1】如图，在中，平分，，可用“”判断全等的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．以上三个选项都可以 【例2】在下列各组条件中，不能说明的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【练习1】使的条件是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例3】 如图所示的5个三角形中： ， ． 【例4】下列命题中错误的是（ ） A.有两边对应相等的两个等腰三角形全等 B.有两边和和一对应角相等的两个三角形全等 C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D.有一边对应相等的两个等边三角形全等 【例5】 如图，，平分，点在上，则图中全等的三角形有 对，它们是 . 【例6】 如图，已知，，要使，还需添加一个条件： 【例7】 如图有下列四个条件：（1）；（2）；（3）；（4）其中任取三个为设题，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的命题的个数是（ ）. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【例8】已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点．求证：△ABE≌△ACF． 【练习2】如图，∠AEB＝∠CFD＝90°，BF＝DE，AE＝CF．求证：△ABE≌△CDF． 【练习3】已知：如图，AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF． 求证：△ABF≌△DCE． 【练习4】如图，点B、C、E、F共线，AB＝DC，∠B＝∠C，BF＝CE． 求证：△ABE≌△DCF． 【练习5】如图．在△ABC和△AEF中，AE＝AB，AC＝AF，∠CAF＝∠BAE． 求证：△ABC≌△AEF． 【练习6】如图，F，C是AD上两点，且AF＝CD，点E，F，G在同一直线上，且BC∥GF，BC＝EF．求证：△ABC≌△DEF． 【练习7】如图，分别是的高.是上的一点.且，是延长线上一点，且，求证：. 【题型4判定全等角形及】 三角形全等的判定三、四：及 两角和他们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“”） 书写格式： 在和中， ≌ 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“”） 书写格式： 在和中， ≌ 【例1】如图，AC＝AE，∠C＝∠E，∠1＝∠2．求证：△ABC≌△ADE． 【练习1】已知：如图，∠A＝∠D＝90°，BE＝EC．求证：△ABC≌△DCB． 【练习2】如图，，点B为线段上一点，连接 交于点 H，过点A作分别交，于点G、点 E．．求证：． 【例2】如图，已知∠B＝∠C，AD平分∠BAC．求证：△ABD≌△ACD． 【练习3】如图，AC，BD相交于点O，OB＝OD，∠A＝∠C，求证：△AOB≌△COD． 【练习4】如图所示，点E在AB上，点D在AC上，∠B＝∠C，AD＝AE．求证：△ABD≌△ACE． 【练习5】如图，点E，C在线段BF上，BE＝FC，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DEF．求证：△ABC≌△DFE． 【练习6】如图，AC与DE交于点O，且OE＝OC．点E、C在BF上，BE＝CF，∠A＝∠D． 求证：△ABC≌△DFE． 【题型6 判定全等角形（HL）】 直角三角形全等的判定方法: 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“”） 书写格式： 在中， 【例1】 两个直角三角形全等的条件是（ ） 一锐角对应相等 一条边对应相等 两锐角对应相等 两条边对应相等 【练习1】下列命题中。正确的有（ ） （1）两直角边对应相等的两个直角三角形全等 （2）两锐角对应相等的两个直角三角形全等 （3）斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等 （4）一锐角和一直角边对应相等的两个直角三角形全等 （5）一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等 5个 4个 3个 2个 【例2】如图所示，已知，，要使．    （1）若利用，需补充一个条件 ． （2）若利用，需补充一个条件 ． 【练习2】如图，，垂足分别为E、F， （1）若，且，则，其根据是 ． （2）若，且，则，其根据是 ． （3）若，且，则，其根据是 ．    【例3】如图，点D在上，．若，则 ． 【练习3】如图所示，已知，相交于，如果，那么下列结论：（1）；（2）；（3）；（4） （1）（2）（3）（4） （1）（2）（3） （1）（2） （2）（3） 【练习4】如图，已知在和中，，，，若用“HL”判定，则需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【练习5】如图所示，已知在中，交于点，若，则（　　） A． B． C． D． 【练习6】如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 【例4】在中，．求证：． 【练习7】如图，∠A＝∠D＝90°，点B，E，F，C在同一直线上，AB＝CD，BE＝CF，求证：△ABF≌△DCE． 【练习8】如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AC＝BD，AE＝BF．求证：△AED≌△BFC． 【练习9】如图，点E，F在线段BC上，BE＝CF，AF＝DE，∠B＝∠C＝90°，求证：△ABF≌△DCE． 【练习10】如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，E为AD上一点，且BE=AC，DE=DC． 求证：∠DBE=∠DAC． 【练习11】如图，于点E，于点F．交于点M，求证：． 【题型7全等角形判定与性质综合】 【例1】如图，点B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BC的异侧，AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC. （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若∠BFD＝130°，求∠ACB的度数. 【练习1】如图，在中，，是的平分线，于E. （1）求证：； （2）若，求的周长. 【练习2】如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在异侧，，，. （1）求证：. （2）若，试判断的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，求的度数. 【练习3】如图，. （1）求证：； （2）求证：. 【练习4】如图，在△ABC中，D是AB上一点，CF//AB，DF交AC于点E，. （1）求证： （2）若，，求BD的长. $$