浙江省嘉兴高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

嘉兴高级中学2023学年第二学期期中考试 高二年级数学试卷答案 命题人：沈瑶 审题人：王林杰 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若随机变量满足，其中为常数，则(    ) A. B. C. D. 2.下列求导结果正确的是(　　) A. B. C. D. 3.已知随机变量服从正态分布，则“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.方程的正整数解的个数为（ ） A. B. C. D. 5.设，则的展开式中是系数为（ ） A. B. C. D. 6.不透明的盒子中有红色、黄色、黑色的球各个，且这些球标有不同的编号，每次从中随机取出个，不放回，当取出相同颜色的球时，结束取球，则结束取球时，恰有种不同颜色的球被取出的取法共有(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7. 函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.已知是定义在上的可导函数，且满足，则不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 9.若的展开式中第项的二项式系数最大，则的可能值为（ ） A. B. C. D. 10.已知为随机事件，，，则下列结论正确的有（ ） A.若为互斥事件，则 B.若为互斥事件，则 C.若相互独立，则 D.若，则 11.已知直线与函数的图象相交于两点，与函数的图象相交于两点，的横坐标分别为，则 A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记，，则 13.已知件产品中存在次品，从中抽取件，记次品数为，已知，且这件产品的次品率不超过，则这件产品的次品率为__________. 14.若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 从等人中选出人排成一排. （1）三人不全在内，有多少种排法？ （2）都在内，且必须相邻，与都不相邻，都多少种排法？ （3）不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法？ （列式并用数字作答） 16.（15分）已知二项式。 (1)若它的二项式系数之和为，求展开式中系数最大的项． (2)若，求二项式的值被除的余数； 17.（15分）设函数 （1）当时，求的单调区间； （2）若是的极值点，且对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围。 18.（17分） 某医学研究院为寻找防治甲流的新技术，对甲流疑似病例进行检测与诊断。研究员抽取了5名甲流疑似病例，假设其中仅有一名感染甲流，需要通过化验血液来确认感染甲流的人，若化验结果只有阳性和阴性两种，且化验结果呈阳性，则为甲流感染者，化验结果呈阴性，则不是甲流感染者。现有两个检测方案: 方案一：先从5人中随机抽取2人，将其血液混合，进行1次检测，若呈阳性，则选择这2人中的1人检测即可；若呈阴性，则对另外3人进行检测，每次检测1人，找到甲流感染者则停止检测。 方案二：对5人进行逐个检测，找到甲流感染者则停止检测。 （1）分别求出利用方案一、方案二所需检测次数的分布列与数学期望； （2）求两种方案检测次数相等的概率； （3）已知检测前需一次性花费固定成本500元，检测费用为400元/次，请分别计算利用两种方案检测的总费用的期望值，并以此作为决策依据，判断选择哪个方案更好。 19.（17分）已知函数，. （1）求函数在处的切线方程； （2）（i）若函数在为递减函数，求的值； （ii）在（i）成立的条件下，若且，求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 嘉兴高级中学2023学年第二学期期中考试 高二年级数学试卷答案 命题人：沈瑶 审题人：王林杰 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若随机变量满足，其中为常数，则(    ) A. B. C. D. 答案：A 2.下列求导结果正确的是(　　) A. B. C. D. 答案：C 3.已知随机变量服从正态分布，则“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 4.方程的正整数解的个数为（ ） A. B. C. D. 答案：B 5.设，则的展开式中是系数为（ ） A. B. C. D. 答案：D 6.不透明的盒子中有红色、黄色、黑色的球各个，且这些球标有不同的编号，每次从中随机取出个，不放回，当取出相同颜色的球时，结束取球，则结束取球时，恰有种不同颜色的球被取出的取法共有(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 答案：D 7. 函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 答案：B 8.已知是定义在上的可导函数，且满足，则不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 答案：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 9.若的展开式中第项的二项式系数最大，则的可能值为（ ） A. B. C. D. 答案：BCD 10.已知为随机事件，，，则下列结论正确的有（ ） A.若为互斥事件，则 B.若为互斥事件，则 C.若相互独立，则 D.若，则 答案：ACD 解析：对于A，根据互斥事件的加法公式可得，, 故A正确。 对于B，若A，B为互斥事件，则，所以，故B不正确。 对于C，由于A，B是相互独立事件，所以，所以 ，故C正确。 对于D，由，得，所以，故D正确。 综上，选ACD。 11.已知直线与函数的图象相交于两点，与函数的图象相交于两点，的横坐标分别为，则 A. B. C. D. 解析：由题，，当时，，单调递增，当时，，单调递减；，当时，，单调递减，当时，，单调递增。画出函数和的图象，由题意可知，，其中。 选项A，，所以，A正确。 选项B，，且在上单调递增，所以，故B正确 选项C，，且，，在上单调递减，所以，故C错误 选项D，由B，C选项可知，所以，，故D正确。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记，，则 答案： 13.已知件产品中存在次品，从中抽取件，记次品数为，已知，且这件产品的次品率不超过，则这件产品的次品率为__________. 【答案】 【解析】设件产品中有件次品,则, 这件产品的次品率不超过,这件产品的次品率为 14.若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 答案： 解析：设。 设则方程即，， 所以在上单调递增，在上单调递减，，易知当时，，当时，，且当时，，当时，，作出的大致图象，数形结合可得，且方程在上有两个不同的实数根。 由当时，，此时方程在上至多有一个实数根，不符合题意，故。设方程在上的两个实数根分别为，则，所以需，得，故实数的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 从等人中选出人排成一排. （1）三人不全在内，有多少种排法？ （2）都在内，且必须相邻，与都不相邻，都多少种排法？ （3）不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法？ （列式并用数字作答） 【答案】(1)1800(2)144(3)1560 【解析】（1）从7人中任选5人排列共有种不同排法，A，B，C三人全在内有种不同排法， 由间接法可得A，B，C三人不全在内共有种不同排法； （2）因A，B，C都在内，所以只需从余下4人中选2人有种不同结果，A，B必须相邻，有种不同排法，由于C与A，B都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有种不同排法，再将A、B这个整体与C插入到选出的2人所产生的3个空位中有种不同排法，由乘法原理可得共有种不同排法； （3）分四类：第一类：所选的5人无A、B，共有种排法； 第二类：所选的5人有A、无B，共有种排法； 第三类：所选的5人无A、有B，共有种排法； 第四类：所选的5人有A、B，若A排中间时，有种排法， 若A不排中间时，有种排法，共有种排法； 综上，共有1560种不同排法. 16.（15分）已知二项式。 (1)若它的二项式系数之和为，求展开式中系数最大的项． (2)若，求二项式的值被除的余数； 【答案】(1) 则的展开通项公式为， 假设展开式中系数最大的项为第项， 则，即， 即，解得， 所以展开式中系数最大的项为第6项， 即. （2）因为，， 所以二项式的值被除的余数为. 17.（15分）设函数 （1）当时，求的单调区间； （2）若是的极值点，且对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围。 18.（17分） 某医学研究院为寻找防治甲流的新技术，对甲流疑似病例进行检测与诊断。研究员抽取了5名甲流疑似病例，假设其中仅有一名感染甲流，需要通过化验血液来确认感染甲流的人，若化验结果只有阳性和阴性两种，且化验结果呈阳性，则为甲流感染者，化验结果呈阴性，则不是甲流感染者。现有两个检测方案: 方案一：先从5人中随机抽取2人，将其血液混合，进行1次检测，若呈阳性，则选择这2人中的1人检测即可；若呈阴性，则对另外3人进行检测，每次检测1人，找到甲流感染者则停止检测。 方案二：对5人进行逐个检测，找到甲流感染者则停止检测。 （1）分别求出利用方案一、方案二所需检测次数的分布列与数学期望； （2）求两种方案检测次数相等的概率； （3）已知检测前需一次性花费固定成本500元，检测费用为400元/次，请分别计算利用两种方案检测的总费用的期望值，并以此作为决策依据，判断选择哪个方案更好。 解析：（1）设方案一所需检测次数为x，则x的可能取值为2,3. 当X=2时，有两种情况： 第1次检测2人的混合血液呈阳性，第2次任选这2人中的1人检测即可确定甲流感染者，其概率为 第1次检测2人的混合血液呈阴性，第2次检测另外3个人中的1人呈阳性，其概率为 故 当X=3时，第1次检测2人的混合血液呈阴性，第2次检测另外3人中的1人呈阴性，第3次从剩余2人中任选1人检测即可确定甲流感染者，故 故X的分布列为 X 2 3 P 3/5 2/5 故 设方案二所需检测次数为Y，则Y 的所有可能取值为1,2,3,4 故Y 的分布列为 Y 1 2 3 4 P 1/5 1/5 1/5 2/5 故 （2） 两种方案的检测次数均为2次的概率为，两种方案的检测次数均为3次的概率为，所以两种方案检测次数相等的概率为 （3） 设方案1和方案2的检测总费用分别为 则 因为，所以方案一检测总费用的期望值更小，所以选择方案一更好。 19.（17分）已知函数，. （1）求函数在处的切线方程； （2）（i）若函数在为递减函数，求的值； （ii）在（i）成立的条件下，若且，求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出斜率，求解计算即可； （2）（i）设，讨论单调性求解即可； （ii）根据条件得， 分和两种情况构造函数求解即可. 【小问1详解】 因为，所以. 函数在处即过点的切线方程：， 故所求的切线方程为：. 【小问2详解】 （i）设， 则， ， 当时，，在为增函数. 当时，，在为增函数与在为减函数矛盾； 当时，时，在增函数， 时，，在减函数， ， 因为在为减函数，所以成立. 记，则， 因为时，，时，，所以， 又，所以. （i i）由（i）成立的条件，即，则. 因为，（不妨设）. 所以 又在减函数，而， 所以只有和两种情况 当时，，所以， 当时，所以. ，记 ， 所以在为递增函数， 又，在为递减函数， 所以 又时，，， 因为，所以. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点， 对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、 微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 学科网（北京）股份有限公司 $$