抛物线课件-2025届高三数学一轮复习

第43讲　抛物线 第八章　 解析几何 1 1．抛物线y2＝4x的焦点坐标是(　　) A．(0，2) B．(0，1) C．(2，0) D．(1，0) 激 活 思 维 【解析】 D 【解析】 由题意知，抛物线的准线方程为y＝－1，所以由抛物线的定义知，点A到抛物线焦点的距离为5. D 3．已知直线l过抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是12，AB的中点到x轴的距离是4，则此抛物线的方程是 (　　) A．x2＝12y B．x2＝8y C．x2＝6y D．x2＝4y B 【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝y1＋y2＋p＝8＋p＝12，所以p＝4，故抛物线的方程为x2＝8y. 4．已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为__________． x2＝3y 【解析】 5．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M(3，t)与焦点F的距离|MF|＝p，则点M到坐标原点O的距离为_______． 【解析】 1．抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离________的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________． 2．抛物线的标准方程与几何性质 相等 聚 焦 知 识 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 焦点 准线 (1) 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． ①准线方程为2y＋4＝0； 抛物线的定义和标准方程 举 题 说 法 1 【解答】 (1) 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． ②过点(3，－4). 1 【解答】 因为点(3，－4)在第四象限，所以抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0). 1 【解析】 D 视角1　焦半径 抛物线的几何性质 【解析】 已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，A为C上的一点，AF中点的横坐标为2，则|AF|＝ (　　) A．3 B．4 C．5 D．6 2-1 B 视角2　焦点弦 【解析】 2-2 【答案】B 综上，只有②是“直线AB经过焦点F”的充要条件． 变式　已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，线段AB的中点D在x轴上方且其横坐标为1，|AB|＝3，则直线AB的斜率为______． 【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(1，m)(m＞0)，则x1＋x2＝2.又|AB|＝x1＋x2＋p＝3，所以p＝1，所以C：y2＝2x. 视角3　与抛物线有关的最值问题 B 【解析】 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线C的准线与坐标轴相交于点P，点M(3，2)，且△MFP的面积为2，若Q是抛物线C上一点，则△FMQ周长的最小值为 (　　) 2-3 已知F是抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，过点F的直线l与E交于A，B两点．当l⊥x轴时，△OAB(O为坐标原点)的面积为2. (1) 求E的方程； 直线与抛物线 3 【解答】 已知F是抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，过点F的直线l与E交于A，B两点．当l⊥x轴时，△OAB(O为坐标原点)的面积为2. (2) 设过点F的直线l1与E交于C，D两点，且|FA|·|FB|＝|FC|·|FD|，当|CD|＝8时，求直线l的方程． 3 【解答】 当|CD|＝8时，即4m2＋4＝8，解得m＝±1，所以直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0. 随 堂 练习 【解析】 2．已知点P在抛物线C：y2＝2px(p＞0)上，过点P作C的准线的垂线，垂足为H，点F为C的焦点．若∠HPF＝60°，点P的横坐标为1，则p＝______． 【解析】 【解析】 B 4．过抛物线C：y2＝4x的焦点作直线l交C于M，N两点，若线段MN中点的纵坐标为2，则|MN|＝(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 C 【解析】 配套精练 25 【解析】 A组　夯基精练 D 2．设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则|PF|＝ (　　) A．3 B．6 C．9 D．12 【解析】 如图，依题意有∠QFH＝60°，|HF|＝3，所以|QF|＝6.又|PF|＝|QP|，∠PQF＝60°，所以△PQF为等边三角形，从而|PF|＝|QF|＝6. B 【解析】 A 【解析】 由题意得F(1，0)，设直线l：x＝5＋my，联立C：y2＝4x得y2－4my－20＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨令y1＞0，y2＜0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－20， B 【解析】 【答案】BD 对于A，因为点P(9，6)在抛物线C上，所以18p＝36，解得p＝2，故抛物线C的方程为y2＝4x，焦点F(1，0)，准线x＝－1，A错误； 【解析】 【答案】AC －3 【解析】 8．已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为___________． 【解析】 【解析】 2 2 【解析】 四、 解答题 11．已知抛物线C：y2＝4x，直线l过点P(0，1). (1) 若l与C有且只有一个公共点，求直线l的方程； 【解答】 当k＝0时，直线l：y＝1符合题意；当k≠0时，令Δ＝(2k－4)2－4k2＝16－16k＝0，解得k＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0. 综上，直线l的方程为x＝0，y＝1或x－y＋1＝0. 【解答】 【解析】 D B 【解析】 14．已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110. (1) 求a及k的值； 【解答】 【解答】 谢谢观赏 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 顶点坐标 O(0，0) 对称轴 x轴 y轴 焦点坐标 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 因为PA∥QF，所以∠AFQ＝∠PAF＝.因为|QF|＝p＝1，所以|AF|＝2，所以在等边三角形PAF中，|PF|＝2. 因为|PF|＝|PA|，∠FPA＝，所以∠PAF＝∠PFA＝.如图，设准线l与x轴交于点Q. 已知抛物线y2＝2px(p是正常数)上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，焦点为F.给出下列条件：①x1x2＝；②y1y2＝－p2；③·＝－p2；④＋＝.以上是“直线AB经过焦点F”的充要条件的个数为 (　　) A．0 B．1 C．2 D．3 如图，点Q到准线距离为|QQ′|.因为△FMQ的周长为|MF|＋|QM|＋|QF|＝2＋|QM|＋|QQ′|，所以要使△FMQ的周长最小，需|MQ|＋|QQ′|最小，所以当MQ⊥l时，△FMQ的周长最小，且最小值为4＋2. 3．过抛物线C：y＝4x2的焦点F作倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B，则|AB|＝ (　　) A． B． C．1 D．16 4．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点P(5，0)的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，记△ABO与△AFO的面积分别为S1和S2，则S1＋3S2的最小值为(　　) A．8 B．20 C．24 D．32 对于C，直线PQ的方程y＝(x－1)，联立解得或即Q，故|FQ|＝＋＝＋1＝，C错误； 6．设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则 (　　) A．p＝2 B．|MN|＝ C．以MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形 且抛物线C的方程为y2＝4x.对于B，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y并化简得3x2－10x＋3＝(x－3)(3x－1)＝0，解得x1＝3，x2＝，所以|MN|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝，故B错误； 对于C，如图，设MN的中点为A，M，N，A到直线l的距离分别为d1，d2，d，因为d＝(d1＋d2)＝(|MF|＋|NF|)＝|MN|，即A到直线l的距离等于MN的一半，所以以MN为直径的圆与直线l相切，故C正确； 9．过抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点且倾斜角为45°的直线与抛物线交于A，B两点，若点A，B到y轴的距离之和为4，则p的值为_____． 因为a＋b＝，所以3a＋3b＝5，而a＞0，b＞0，＋＝ (a＋2b＋2a＋b)＝≥＝5，当且仅当＝，即a＝4b＝时等号成立． $$