第六章图形的相似 章末达标卷（A卷）2024-2025学年苏科版 数学九年级下册

2024-2025九年级 图形的相似 章末达标卷 (苏科版2012） （A卷） （满分 120分，时间 90分钟） 考试须知： 答题时应特别注意，请勿错位． 一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分。每小题只有一个选项符合题意） 1.下列各组线段中，成比例的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2.在比例尺为的交通地图上，宝应到扬州的长度约为cm，则它的实际长度约为（    ） A．km B．km C．km D．km 3.在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（    ）（精确到0.01．参考数据：，，） A． B． C． D． 4.（2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 5. 如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD＝3，则的值是（　　） A． B． C． D． 6.（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 7.（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（    ）      A． B． C． D． 8.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且．下列结论：①；②△ABE∽△ECF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF．其中正确结论（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9.已知线段，，则a，b的比例中项线段等于______． 10.若，且，则的值是 ． 11.若两个相似三角形的面积之比为9：16，则它们的对应高线之比为 12．如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为 13.如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为 　　． 14. （2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 15. 如图，在梯形中，，对角线和交于点O，若，则 ． 16.如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为 ． 三、解答题（本大题共8小题，共64分，解答时应写出文字说明或演算步骤。） 17．(7分）已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x． 18.（7分）如图，△ABC∽△ACD． （1）若CD平分∠ACB，∠ACD＝40°，求∠ADC的度数； （2）若AD＝2，BD＝3，求AC的长． 19．（7分）如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD． （1）求证：DE＝AF； （2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF•CE． 20．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为A（﹣3，1），B（﹣2，﹣1），C（0，2）． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧，画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2：1； （2）写出A1，B1两点的坐标． 21.（8分）如图，在一次测量操场旗杆高度的数学活动课上，小刚拿一根高3.7m的竹竿（EC）直立在离旗杆（AB）27m的点C处，然后走到点D处，这时目测到旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C，D两点间的距离为3m，小刚的目高（眼睛到底面的距离）DF为1.7m，求旗杆AB的高度是多少？ 22.（8分）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD、CE所在直线相交所成的锐角为β． (1)问题发现当α＝0°时，＝_____；β＝_____°． (2)拓展探究 试判断：当0°≤α＜360°时，和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． (3)在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积． 23.（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8cm，AB＝10cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒． （1）当t＝1时，求△ACP的面积； （2）已知，当点P运动到CP⊥AB时，．请利用备用图继续探索：当t为何值时，△ACP是等腰三角形？ 24.（11分））如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，点E在边BC上，且BE＝2．动点P从点E出发，沿折线EB﹣BA﹣AD以每秒1个单位长度的速度运动，作∠PEQ＝90°，EQ交边AD或边DC于点Q，连接PQ．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒．（t＞0） （1）当点P和点B重合时，直接写出点P的运动时间为 　　秒和线段PQ的长为 　　； （2）当点Q和点D重合时，求线段PQ的长； （3）如图2，当点P在边AD上运动时，求证：的值为定值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025九年级 图形的相似 章末达标卷答案 (苏科版2012）（A卷） 一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分。每小题只有一个选项符合题意） 1.D 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.B 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9.2 10. 4 11.3：4 12.1 13. 14. 15. 16. 三、解答题（本大题共8小题，共64分，解答时应写出文字说明或演算步骤。） 17.（1）设＝＝＝k， 则a＝3k，b＝2k，c＝6k， 所以，3k+2×2k+6k＝26， 解得k＝2， 所以，a＝3×2＝6， b＝2×2＝4， c＝6×2＝12； （2）∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴x2＝ab＝6×4＝24， ∴线段x＝2 18.解：（1）∵△ABC∽△ACD， ∴∠B＝∠ACD＝40°， 又∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠ACD＝40°， ∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝80°； （2）∵△ABC∽△ACD， ∴， ∴， ∴， ∴AC（负值舍去）． 19.证明：（1）∵AD∥BC， ∴∠ACF＝∠DAC ∵∠FAC＝∠ADE，AC＝AD， ∴△ACF≌△DAE（ASA）， ∴AF＝DE； （2）∵△ACF≌△DAE， ∴∠AFC＝∠DEA， ∴∠AFB＝∠DEC， ∵∠ABC＝∠CDE， ∴△ABF∽△CDE， ∴， ∴AF•DE＝BF•CE， ∵AF＝DE， ∴AF2＝BF•CE． 20.解：（1）如图所示△A1B1C1为所求． （2）A1（6，﹣2），B1（4，2）． 21.解：设旗杆高AB＝x m，过F作FG⊥AB于G，交CE于H（如图）． 所以△AGF∽△EHF． 因为FD＝1.7m，GF＝27+3＝30（m），HF＝3， 所以EH＝3.7﹣1.7＝2（m），AG＝（x﹣1.7）m． 由△AGF∽△EHF，得＝， 即＝， 所以x＝21.7， 答：旗杆的高为21.7米． 22.)解：如图1中， ∵∠B＝90°，BA＝BC， ∴∠A＝45°，AC＝ =AB， ∵点D、E分别是边AB、AC的中点， ∴BD＝AB，EC＝AC， ∴＝，β＝45°； 故答案为，45． (2)解：结论：和β的大小无变化．理由如下： 如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K． 由（1）得：AE＝AD，AC＝AB，∠DAE＝∠BAC， ∴＝，∠DAB＝∠EAC， ∴， ∴△DAB∽△EAC， ∴＝＝，∠OBK＝∠OCA， ∵∠BOK＝∠COA， ∴∠BKO＝∠CAO＝45°，即β＝45°， ∴和β的大小无变化． (3)解：∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4， ∴， ∵点E分别是边AC的中点， ∴， 当点E在线段AB上时，， ∴S△BCE＝ =， 当点E在线段BA的延长线上时，， ∴S△BCE＝ =． 综上所述，△BCE的面积为 或 23.解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°， ∵BC＝8cm，AB＝10cm， ∴AC6cm， 如图，t＝1时，CP＝2， 所以△ACP的面积； （2）如图2，3，4，5： 因为△ACP是以AC为边的等腰三角形， ①如图2，当AC＝CP＝6时，t1＝6÷2＝3（s）； ②如图3，当AC＝AP＝6时，t2＝46（s）； ③如图4中，当AC＝CP时，过点C作CD⊥AB于点H． ∵AC＝CP，AD⊥AP， ∴AP＝2AD（cm）， ∴BP＝10﹣AP（cm）， ∴t3＝4（s）； ④如图5，当AP＝CP时，∠A＝∠ACP，∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°，∠ACP+∠BCP＝90°， ∴∠B＝∠BCP， ∴AP＝CP＝BP， ∴BP＝5cm， ∴t4＝4（s）． 综上所述，t＝3或6或或． 24.（1）解：如图1（甲），点P与点B重合，则PE＝BE＝2， ∴t＝＝2， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ABE＝90°， ∵∠BEQ＝∠PEQ＝90°， ∴四边形ABEQ是矩形， ∴EQ＝AB＝3， ∴PQ＝＝＝， 故答案为：2，. （2）解：如图1（乙），点Q与点D重合，则∠PED＝∠PEQ＝90°， ∵BC＝AD＝6，BE＝2， ∴CE＝BC﹣BE＝6﹣2＝4， ∵∠B＝∠C＝∠PED＝90°，CD＝AB＝3， ∴∠BPE＝∠CED＝90°﹣∠PEB， ∴△BPE∽△CED， ∴＝＝， ∵ED＝＝＝5， ∴PE＝ED＝×5＝， ∴PQ＝PD＝＝＝， ∴线段PQ的长是. （3）证明：如图2，作EF⊥AD于点F， ∵∠A＝∠B＝∠AFE＝90°， ∴四边形ABEF是矩形， ∴∠CEF＝∠BEF＝90°，FE＝AB＝3， ∵∠PEQ＝90°， ∴∠PEF＝∠QEC＝90°﹣∠FEQ， ∵∠EFP＝∠ECQ＝90°， ∴△EFP∽△ECQ， ∴＝＝， ∴的值为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $$