第4章相似三角形讲义2024-2025学年浙教版数学九年级上册

相似三角形 一、相似三角形的概念 对应角相等、对应边成比例的三角形 叫做相似三角形．相似用符号 表示，读作 相似于 ．相似三角形对应边的比叫做 相似比（或相似系数） ．相似三角形 对应角相等，对应边成比例 ． 注： ①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． 二、三角形相似的判定方法 1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似。 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似 AA 4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。SAS 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似。 SSS 6、判定定理4：直角三角形中 HL 三、相似三角形的性质 1.相似三角形对应角相等，对应边成比例 2相似三角形周长的比等于 相似比 3.相似三角形面积的比等于 相似比的平方 四、全等与相似的比较： 三角形全等 三角形相似 两角夹一边对应相等 (ASA) 两角一对边对应相等 (AAS) 两边及夹角对应相等 (SAS) 三边对应角相等 (SSS) 直角三角形中一直角边与斜边对应相等( HL ) 两角对应相等（AA） 两边对应成比例，且夹角相等（SAS） 三边对应成比例(SSS) 直角三角形中一直角边与斜边对应成比例( HL ) 五、相似三角形常见的图形 常见的一些变形 1．“A”型 如图，，则有． 2．“8”字型 如图，，则有． 3．射影定理： 1．定理：直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理模型如图所示： 由图（1）得，由，可得： 由，可得： 由，可得： 射影定理推广：若不为直角三角形，当点满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立． 如下图， 如上图，当时，，则有：，即：． 例题1、 已知CD是Rt△ABC斜边上的高，则下列各式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 例题2、在Rt△ABC中，，AD⊥BC于点D，，，则AD等于（ ） A.1 B. C.2 D.3 例题3、 如图，中，于，于，于，交于，、的延长线交于点，求证：． 练习1、 如图，若CD是Rt△ABC斜边上的高，，，则________ 练习2、 如图，在中，平分，的垂直平分线交于，交的延长线于，求证：． 六、实际应用 1．利用相似解决一些实际测量问题 （1）测高（不能直接用皮尺或刻度尺测量） 测量不能到达顶部物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决； （2）测距（不能直接测量的两点之间的距离） 测量不能到达两点之间的距离，常构造相似三角形解决． 2．解相似三角形实际问题的一般步骤 （1）审题； （2）构建图形； （3）利用相似解决问题 例题1、如图，在A时测得某树的影长为4米，B时又测得该树的影长为9米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为　　　　　　米． 例题2、为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度m，标杆与旗杆的水平距离m，人的眼睛与地面的高度m，人与标杆CD的水平距离m，E、C、A三点共线，则旗杆AB的高度为________米． 练习1、如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边m，cm，测得边DF离地面的高度m，m，求树高． 练习2、为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB. 课堂练习 1．（3分）如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，且DE∥BC，如果AD：DB＝2：1，DE＝3，则BC等于（　　） A．9 B．7.5 C．6 D．4.5 2.如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为(　　) A.28° B.32° C.42° D.52° 3．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点E落在线段AB上，则B、D两点间的距离为（　　） A． B． C．6 D． 4.如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.若AB∶BC＝1∶2，DE＝3，则EF的长为　　 . 5.（4分）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72m，EF＝2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝2.47m，则AB＝　 　m． 6．（8分）如图，在7×4方格纸中，点A，B，C都在格点上，用无刻度直尺作图． （1）在图1中作一个△CDE，使△CDE与△ABC相似（相似比不为1，只需作一个即可）； （2）在图2中的线段AC上找一个点P，使． 7.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E. (1)求证：△BDE∽△CAD； (2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长. 8.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，点E在AB上，连AD，DE，∠CAD＝∠BDE． （1）证明：△ACD∽△DBE； （2）若AB＝5，BD＝6，CD＝2，求BE的长． 9．如图，在△ABC中，AB＝AC．点D在BC上，点E在AC上，连结AD，DE，且∠B＝∠ADE． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若AB＝6，BD＝2CE，求CD的长． 10．（8分）如图，正方形ABCD中，AB＝9，E为BC上一点，过E作EF⊥AE交CD于点F，连接AF． （1）求证：△ABE∽△ECF； （2）当BE＝3时，求CF的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$