2.2.1 不等式及其性质 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

第二章　等式与不等式 2.2.1　不等式及其性质 人教B版 数学 必修第一册 课程标准 1.了解日常生活中的不等关系. 2.掌握不等式的性质. 3.能利用不等式的性质对数或式进行大小比较,解不等式(组)和不等式证明. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 不等关系与不等式、实数大小的比较 1.不等关系与不等式 (1)不等式中自然语言与符号语言之间的转换 大于 小于 大于或 等于 小于或 等于 至多 至少 不小于 不大于 >  <  ≥ ≤ ≤ ≥ ≥ ≤ (2)不等式的定义:含有　　　　的式子. 不等号 名师点睛 不等式a≥b和a≤b的含义 (1)不等式a≥b应读作“a大于或者等于b”,其含义是指“或者a>b,或者a=b”,等价于“a不小于b”,即若a>b与a=b之中有一个正确,则a≥b正确. (2)不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”,其含义是指“或者a<b,或者a=b”,等价于“a不大于b”,即若a<b与a=b之中有一个正确,则a≤b正确. 2.实数大小的比较 (1)数轴上的两点A,B的位置关系与其对应实数a,b的大小关系 ①数轴上的任意两点中,　　边点对应的实数比　　边点对应的实数大.  ②数轴上点的位置与实数大小的关系(表示实数a和b的两个点分别为A和B),如下: 点A,B的位置关系 点A和点B重合 点A在点B右侧 点A在点B左侧 实数a,b的 大小关系 a=b a>b a<b 右 左 (2)比较两个实数的大小 方法 作差法 依据 a-b>0⇔a>b a-b<0⇔a<b a-b=0⇔a=b 结论 对于任意两个实数a和b,在a=b,a>b,a<b三种关系中有且仅有一种关系成立 名师点睛 比较两个实数大小的方法 (1)数轴比较法:在数轴上分别标出两个数,右边的数总比左边的数大. (2)作差法:设两个实数分别为a,b.若a-b<0,则a<b;若a-b=0,则a=b;若a-b>0,则a>b. 过关自诊 1.(1)已知t=a+4b,s=a+b2+4,则t和s的大小关系是(　　) A.t>s　B.t≥s　C.t<s　D.t≤s D 解析 ∵s-t=a+b2+4-(a+4b)=b2-4b+4=(b-2)2≥0,∴t≤s. (2)在开山工程爆破时,已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm,人跑开的速度为每秒4 m,为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区,导火索的长度x(单位:cm)应满足的不等式为(　　) C 2.(1)[人教A版教材例题]比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小. (2)已知 ,如果c>d,那么a>b是否一定成立?请说明理由. 提示 因为(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4) =(x2+5x+6)-(x2+5x+4) =2>0. 所以(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4). 提示 不一定成立.如当c=1,d=-1时,c>d,此时若a=-1,b=1,也满足 ,但不满足a>b. 知识点2 不等式的性质 1.不等式的性质 (1)性质1:如果a>b,那么　　　　　　;  (2)性质2:如果a>b,c>0,那么　　　 　;  (3)性质3:如果a>b,c<0,那么　　　　;  (4)性质4:如果a>b,b>c,那么　　　　.  (5)性质5:a>b⇔b<a. a+c>b+c ac>bc ac<bc a>c 2.不等式的性质的推论 (1)推论1:如果a+b>c,则　　　　;  (2)推论2:如果a>b,c>d,那么　　　　　　;  (3)推论3:如果a>b>0,c>d>0,那么　　　　;  (4)推论4:如果a>b>0,那么　　　　(n∈N,n>1);  (5)推论5:如果a>b>0,那么　　　　.  a>c-b a+c>b+d ac>bd an>bn 名师点睛 1.对不等式性质的理解 (1)性质5和性质4,分别称为“对称性”与“传递性”,在它们的证明中,要用到比较大小的“定义”等知识. (2)性质1(即可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后,可以把它从一边移到另一边”的依据. (3)性质2,3(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”. (4)推论2(即同向可加性),即“同向不等式只能相加,不等号方向不变,不能相减”. (5)推论3和推论4(即同向同正可乘性,可乘方性),即均为正数的同向不等式相乘,得同向不等式,并无相除式. (6)性质1和性质5是双向推导,其他是“单向”推导. 2.不等式性质的适用条件 (1)在应用不等式的性质4时,如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号,那么等号是传递不过去的,如a≤b,b<c,则a<c. 当两个不等式都带等号时,要特别注意两个不等式同时取等号的条件是否具备,否则等号不能传递过去. (2)在应用性质2,3时,要特别注意“乘数c的符号”.例如当c≠0时,若a>b,则ac2>bc2;若无c≠0这个条件,即若a>b,则ac2>bc2就是错误的. (3)若a>b>0,则an>bn>0(n∈N,n>1)的成立条件是“n为大于1的自然数,a>b>0”.假如去掉n为大于1的自然数这个条件,取n=-1,a=3,b=2,那么就会出现3-1>2-1,即 的错误结论,假如去掉b>0这个条件,取a=3,b=-4, n=2,那么就会出现32>(-4)2的错误结论. 当不等式相乘时,不等式不仅要同向,而且还要各数都为正. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (3)已知a>b,e>f,c>0,则f-ac<e-bc.(　　) × √ √ 2.[北师大版教材习题]用“>”或“<”填空: (1)x+3　　　　　x-3;  (2)x+3　　　　　y+3(x<y);  (3)5a　　　　　3a(a<0);  (4)ma　　　　　mb(a<b,m<0);  (6)m3　　　　　n3(m>n>0).  > < < > > < 3.利用不等式性质应注意哪些问题? 提示 当使用不等式时,一定要弄清不等式(组)成立的前提条件.不可强化或弱化成立的条件.如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘;可乘性中的“c的符号”等都需要注意. 知识点3 直接证明与间接证明 1.直接证明 (1)综合法:一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法. 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为: (2)分析法:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法. 用Q表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为: 2.间接证明 反证法:一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法. 过关自诊 C 重难探究·能力素养全提升 探究点一　作差法比较大小 【例1】 [2023河南高一阶段练习]比较大小. (1)比较x2+y2+1与2(x+y-1)的大小; 解 因为(x2+y2+1)-2(x+y-1)=(x-1)2+(y-1)2+1, 又因为(x-1)2≥0,(y-1)2≥0, 所以(x2+y2+1)-2(x+y-1)>0, 所以x2+y2+1>2(x+y-1); 解 (说明:该不等式通常叫糖水不等式,可结合实际意义说明). 规律方法　作差法比较大小的四个步骤 探究点二　不等式的性质 角度1.应用不等式的性质证明不等式 【例2】 [人教A版教材例题]已知a>b>0,c<0,求证: . 规律方法　证明不等式的解题策略 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用. (2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则. (3)除了熟练掌握不等式的性质外,还应掌握一些常用的证明方法.如作差法、作商法、分析法等. 角度2.利用不等式的性质求范围 【例3】 已知1<a<4,2<b<8,试求2a+3b与a-b的取值范围. 分析 先根据a,b的取值范围得出2a,3b,-b的取值范围,再根据同向不等式的可加性求出2a+3b与a-b的取值范围. 解 ∵1<a<4,2<b<8,∴2<2a<8,6<3b<24. ∴8<2a+3b<32. ∵2<b<8,∴-8<-b<-2.又1<a<4, ∴1+(-8)<a+(-b)<4+(-2),即-7<a-b<2. 故2a+3b的取值范围是(8,32),a-b 的取值范围是(-7,2). 变式探究在本例条件下,求 的取值范围. 规律方法　利用不等式的性质求代数式的范围要注意的问题 (1)恰当设计解题步骤,合理利用不等式的性质. (2)运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件,切不可用似乎是很显然的理由,代替不等式范围的求解. 变式训练3(1)已知-6<a<8,2<b<3,求 的取值范围; (2)已知-1≤a+b≤1,1≤a-2b≤3,求a+3b的取值范围. 探究点三　综合法与分析法的应用 【例4】 设a≥b>0,证明:3a3+2b3≥3a2b+2ab2.(请用分析法和综合法两种方法证明) 证明 (方法一)综合法:3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a) =(3a2-2b2)(a-b). ∵a≥b>0,∴a-b≥0,3a2-2b2>0,从而(3a2-2b2)·(a-b)≥0, ∴3a3+2b3≥3a2b+2ab2. (方法二)分析法:要证3a3+2b3≥3a2b+2ab2,只需证3a2(a-b)-2b2(a-b)≥0,只需证(3a2-2b2)(a-b)≥0, ∵a≥b>0,∴a-b≥0,3a2-2b2>2a2-2b2≥0, ∴(3a2-2b2)(a-b)≥0成立,∴原不等式得证. 规律方法　分析法与综合法的解题思路 (1)综合法推理清晰,易于书写;分析法从结论入手,易于寻找解题思路. (2)在实际证明命题时,常把分析法与综合法结 合起来使用,根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P;若由P可推出Q,即可得证. 只需证a2-5a<a2-5a+6, 只需证0<6. 探究点四　不等式性质的实际应用 【例5】 建筑设计规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准,窗户面积与地板面积的比值应不小于 ,且这个比值越大,住宅的采光条件越好.试问:同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好了,还是变坏了?请说明理由. 规律方法　一般地,设a,b为正实数,且a<b,m>0,则 .利用这个不等式,可以解释很多现象,比如b g糖水中有a g糖(b>a>0),若再添上m g糖(m>0且未达到饱和状态),则糖水变甜了. 变式训练5某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金,某顾客要购买10 g黄金,售货员先将5 g的砝码放在左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客;然后又将5 g的砝码放入右盘,将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金(　　) A.大于10 g B.小于10 g C.大于等于10 g D.小于等于10 g A 解析 由于天平的两臂不相等,故可设天平左臂长为a,右臂长为b(不妨设a>b), 先称得的黄金的实际质量为m1,后称得的黄金的实际质量为m2. 所以这样可知称出的黄金质量大于10 g.故选A. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 级 必备知识基础练 1.[探究点一](多选题)[2023浙江东阳高一阶段练习]若a>b>0,则下列不等式中一定不成立的是(　　) AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.[探究点二(角度1)]设a,b,c,d∈R,a>b,c<d,则下列不等式中一定成立的是 (　　) A.a+c>b+d B.a-c>b-d B 解析 对于A中,令a=1,b=-1,d=1,c=-1,满足a>b,c<d,但a+c=b+d,故A错误; 对于B中,因为a>b,c<d,所以由不等式的性质,可得a+d>b+c,所以a-c>b-d,故B正确; 对于C中,令a=1,b=-1,d=1,c=-1,满足a>b,c<d,但ac=bd,故C错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.[探究点二(角度2)·2023陕西延安高二阶段练习]设实数x,y满足3<x<4,1<y<2,则M=2x-y的取值范围是(　　) A.(4,6) B.(4,7) C.(5,6) D.(5,7) B 解析 由已知得6<2x<8,-2<-y<-1,故4<2x-y<7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.[探究点四·2023北京高一阶段练习]在某次全程马拉松比赛中,选手甲前半程以速度a匀速跑,后半程以速度b匀速跑;选手乙前一半时间以速度a匀速跑,后一半时间以速度b匀速跑,若a≠b,则(　　) A.甲先到达终点 B.乙先到达终点 C.甲、乙同时到达终点 D.无法确定谁先到达终点 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.[探究点二(角度1)]下列四个不等式:①a<0<b;②b<a<0;③b<0<a;④0<b<a.其中能使 成立的是　　　　　.  ①②④ 解析 因为 <0⇔b-a与ab异号,然后再逐个进行验证,可知①②④都满足条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B 级 关键能力提升练 7.[2023山西太原高一阶段练习]若a>b>c,a+b+c=0,则下列各式正确的是 (　　) A.ab>ac B.ac>bc C.a|b|>|b|c D.ab>bc A 解析 ∵a>b>c,a+b+c=0,∴a>0>c,b有可能是正数,负数,0,∴ab>ac,故A正确; ∵a>b,c<0,∴ac<bc,故B不正确; |b|≥0,当b=0时,a|b|=|b|c,故C不正确; 当b≤0时,ab>bc不正确,故D不正确.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8.[2023山东淄博高一阶段练习]已知实数x,y满足 则 z=2x-3y的取值范围是　　　　　.(用区间表示)  [3,8] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C 级 学科素养创新练 10.[2023浙江高一阶段练习]实数a,b,c满足a2=2a+c-b-1且a+b2+1=0,则下列关系成立的是(　　) A.b>a≥c B.c>a>b C.b>c≥a D.c>b>a D 解析 由a+b2+1=0可得a=-b2-1,则a≤-1,由a2=2a+c-b-1可得 (a-1)2=c-b>0,∴c>b, ∴b>a,综上c>b>a,故选D. (3)同号作商法:设两个实数分别为a和b,a>0,b>0,若<1,则a<b;若=1,则a=b;若>1,则a>b. A.4×≥100 B.4×≤100 C.4×>100 D.4×<100 解析 导火索燃烧的时间为秒,人在此时间内跑的路程为4× m.由题意可得4×>100.故选C. (1)若a>b,则.(　　) (2)若a>b>0,c>d>0,则.(　　) (5)　　　　 (m>n>0); P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件 欲证成立,只需证(　　) A.()2<()2 B.()2<()2 C.()2<()2 D.()2<(-)2 解析 ∵>0,>0, ∴⇔()2<()2.故选C. (2)已知a>b>0,m>0,比较的大小. 解 因为, 又因为a>b>0,m>0, 所以>0,所以. 变式探究(改条件)本例(2)中将“m>0”改为“m<0”,比较的大小. 变式训练1[北师大版教材习题]试比较(x2-x+1)(x2+x+1)与 (x2-x+1)(x2+x+1)的大小. 解 因为(x2-x+1)(x2+x+1)-(x2-x+1)(x2+x+1)=[(x2+1)2-(x)2]-[(x2+1)2-x2]=-x2≤0,所以(x2-x+1)(x2+x+1)≤(x2-x+1)(x2+x+1). 分析要证明,因为c<0,所以可以先证明.利用已知a>b>0和性质3,即可证明. 证明 因为a>b>0,所以ab>0,>0. 于是a·>b·,即.由c<0,得. 变式训练2设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d.证明:若ab>cd,则. 证明 由题设知ab>cd>0,则. 又因为a+b=c+d,则()2-()2=(a+b+2)-(c+d+2)=2()>0,即()2>()2. 而>0,>0,故. 解 ∵2<b<8,∴,而1<a<4, ∴1×<a·<4×,即<2. 故的取值范围是(,2). 解 ∵-6<a<8,2<b<3,∴. ①当0≤a<8时,0≤<4; ②当-6<a<0时,得0<-a<6,即0<-<3,故-3<<0. 由①②得-3<<4.故的取值范围为(-3,4). 解 设a+3b=λ1(a+b)+λ2(a-2b)=(λ1+λ2)a+(λ1-2λ2)b,从而解得λ1=,λ2=-. 又因为-(a+b)≤,-2≤-(a-2b)≤-, 所以-≤a+3b≤1. 故a+3b的取值范围为[-,1]. 变式训练4已知a>5,证明:. 证明 要证, 只需证, 只需证()2<()2, 只需证2a-5+2<2a-5+2, 只需证, 因为0<6恒成立,所以成立. 分析 可先设住宅的窗户面积、地板面积分别为a,b,根据题意知a<b,且,再设同时增加的面积为m,得到a+m<b+m,用比较法判断的大小即可. 解 变好了.理由:设住宅的窗户面积、地板面积分别为a,b,同时增加的面积为m,根据问题的要求可知a<b,且.由于>0,于是.又,因此.所以,同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件变好了. 由杠杆的平衡原理bm1=a×5,am2=b×5.解得m1=,m2=,则m1+m2=. 下面比较m1+m2与10的大小(作差法): 因为(m1+m2)-10=-10=, 因为a≠b,所以>0,即m1+m2>10. A. B.a+>b+ C.a+>b+ D. 解析 对于选项A,, ∵a>b>0,所以a-b>0,所以<0,所以,故选项A一定不成立; 对于选项B,不妨取a=2,b=1,则a+>b+,故选项B可能成立; 对于选项C,不妨取a=2,b=1,则a+>b+,故选项C可能成立; 对于选项D,<0,故,故选项D一定不成立.故选AD. C.ac>bd D. 对于D中,令a=2,b=-1,d=-1,c=-2,满足a>b,c<d,但,故D错误. 解析 设马拉松全程为x,所以甲用的时间为),乙用的时间为,因为a≠b,所以)->0, 所以)>,则乙先到达终点.故选B. 6.[探究点三·2023上海高一专题练习]设a1≈,a2=1+. (1)证明:介于a1与a2之间; (2)判断a1,a2哪个更接近于,并说明理由. (1)证明∵(-a1)(-a2)=(-a1)(-1-)=<0, ∴介于a1与a2之间. (2)解 ∵=>1, ∴|a1-|>|a2-|,∴a2更接近于. 解析 2x-3y=m(x+y)+n(x-y)=(m+n)x+(m-n)y, 则解得则2x-3y=-(x+y)+(x-y), 又-1≤x+y≤4,2≤x-y≤3,-2≤-(x+y)≤,5≤(x-y)≤, ∴5-2≤2x-3y≤,即3≤2x-3y≤8. 9.[2023青海西宁高一阶段练习]已知a>0,试比较的值的大小. 解 ,可得a≠1, (1)当a>1时,-2a<0,a2-1>0,则<0,即; (2)当0<a<1时,-2a<0,a2-1<0,则>0,即. 综上可知,当a>1时,; 当0<a<1时,. ∴b-a=b2+b+1=(b+)2+>0, $$