2.2.2 不等式的解集课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

第二章　等式与不等式 2.2.2　不等式的解集 人教B版 数学 必修第一册 课程标准 1.理解不等式及不等式组的解集的概念,会利用不等式的性质解不等式或不等式组. 2.理解绝对值的几何意义,并会解绝对值不等式. 3.掌握数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式,并会简单应用. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 不等式的解集与不等式组的解集 一般地,不等式的　　　　　　　　　　称为不等式的解集.对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说,这些　　　　　　　　　　　　　　称为不等式组的解集.  所有解组成的集合　 不等式的解集的交集 名师点睛 求不等式组解集的方法 (1)求每个不等式的解集; (2)把各个不等式的解集表示在数轴上,找出公共部分. 不等式组的解集有4种情况(a>b): 不等式组 解集   (a,+∞)   (-∞,b) 不等式组 解集   (b,a)   ⌀ 记忆口诀 同大取大,同小取小,大小取中,两背皆空. 过关自诊 A.{x|x<-2}　　　 B.{x|-2<x≤1} C.{x|x≤-2} D.{x|x≥-2} A (3,+∞) 所以不等式组的解集是(3,+∞). 知识点2 绝对值不等式 一般地,含有　　　　　　的不等式称为绝对值不等式.  名师点睛 |ax+b|≤c,|ax+b|≥c型不等式的解法 (1)若c>0,则|ax+b|≤c等价于-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c等价于ax+b≥c或ax+b≤-c,然后根据a,b的值解出即可. (2)若c<0,则|ax+b|≤c的解集为⌀,|ax+b|≥c的解集为R. 绝对值 过关自诊 1.|x|≤2的解集为　　　　　.  2.方程|x|=3的解是什么? [-2,2] 解析 因为|x|≤2,所以-2≤x≤2. 提示 方程|x|=3的解是x=±3. 知识点3 数轴上两点间的距离及中点坐标公式 1.距离公式:一般地,如果实数a,b在数轴上对应的点分别为A,B,即A(a),B(b),则线段AB的长为　　　　　　.  2.中点坐标公式:如果线段AB的中点M对应的数为x,则　　　　　.  过关自诊 若A(5),B(7),则|AB|=　　　　,线段AB的中点M的坐标为　　　　.  AB=|a-b| M(6) 2 解析 AB=|7-5|=2,线段AB中点的坐标为M(6). 重难探究·能力素养全提升 探究点一　不等式组的解集 【例1】 解不等式组,并把解集在数轴上表示出来: 分析 分别求出各不等式的解集,再求出各个解集的交集,并在数轴上表示出来即可. 解 解不等式2x+3>1,得x>-1, 解不等式x-2<0,得x<2, 则不等式组的解集为{x|-1<x<2}. 将解集表示在数轴上如下: 解不等式x+8<4x-1,得x>3, 则不等式组的解集为{x|x>3}, 将不等式组的解集表示在数轴上如下: 变式探究求出例1(1)中所有整数解. 解 因为不等式组的解集为{x|-1<x<2},所以其整数解为0,1. 规律方法　一元一次不等式组的求解策略 熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此类问题的关键. 探究点二　解绝对值不等式 【例2】 解不等式:(1)|1-2x|<1; 分析 此题的不等式属于绝对值的连不等式,求解时可将其化为绝对值的不等式组再求解. 解 因为|1-2x|<1,所以|2x-1|<1,因此-1<2x-1<1,解得0<x<1. 所以不等式的解集为(0,1). (2)3≤|x-2|<4. 由①,得x-2≤-3或x-2≥3,∴x≤-1或x≥5. 由②,得-4<x-2<4,∴-2<x<6. 如图所示,则原不等式的解集为{x|-2<x≤-1或5≤x<6}. 规律方法　含有绝对值的不等式的解题策略 解含有绝对值的不等式,总的思路是同解变形为不含绝对值的不等式,但要根据所求不等式的结构,选用恰当的方法.此题中有两个绝对值符号,故可用绝对值的几何意义来求解,或用分区间讨论法求解,还可构造函数利用函数图象求解. 变式训练1(1)关于x的不等式|x-a|<1的解集为(1,3),则实数a=　　　　.  (2)[2023宁夏高三开学考试]不等式1≤|x+1|<3的解集为　　 　　　.  2 解析 ∵|x-a|<1,∴-1<x-a<1,即a-1<x<a+1. 又关于x的不等式|x-a|<1的解集为(1,3), ∴a-1=1,且a+1=3,解得a=2. (-4,-2]∪[0,2) 解析 当x+1≥0时,原不等式等价于1≤x+1<3,解得0≤x<2; 当x+1<0时,原不等式等价于1≤-x-1<3,解得-4<x≤-2. 综上可得不等式1≤|x+1|<3的解集为(-4,-2]∪[0,2). 探究点三　数轴上的基本公式及应用 【例3】 已知数轴上,A(-1),B(x),C(6). (1)若A与C关于点B对称,求x的值; (2)若线段AB的中点到C的距离小于5,求x的取值范围. 分析 根据数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式求解. 解 (1)∵A与C关于点B对称,∴B为AC的中点, ∴x的取值范围是(3,23). 规律方法　数轴上基本公式的应用 (1)已知数轴上两点的坐标可用两点间的距离公式求距离,若已知两点间的距离,也可用距离公式求相应点的坐标; (2)中点坐标公式可以解决三点共线问题.其中已知两点坐标,可用公式求第三点的坐标. 变式训练2已知数轴上三点P(-8),Q(m),R(2). (1)若其中一点到另外两点的距离相等,求实数m的值; (2)若线段PQ中点到线段PR中点的距离大于1,求实数m的取值范围. ∴实数m的取值范围是(-∞,0)∪(4,+∞). 探究点四　解含有两个绝对值的不等式 【例4】 解不等式:|x+7|-|x-2|≤3. 解 (方法一)|x+7|-|x-2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到-7对应点的距离与到2对应点的距离的差,先找到这个差等于3的点,即x=-1(如图所示). 从图易知不等式|x+7|-|x-2|≤3的解为x≤-1,即x∈(-∞,-1]. (方法二)令x+7=0,x-2=0,得x=-7,x=2. ①当x<-7时,不等式变为-x-7+x-2≤3,∴-9≤3成立,∴x<-7. ②当-7≤x≤2时,不等式变为x+7+x-2≤3,即2x≤-2,∴x≤-1,∴-7≤x≤-1. ③当x>2时,不等式变为x+7-x+2≤3,即9≤3不成立,∴x∈⌀. ∴原不等式的解集为(-∞,-1]. 规律方法　1.|x-a|+|x-b|≥c(c>0),|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 可用零点分区间法求解,一般步骤为:(1)令每个绝对值号内的代数式为零,并求出相应的根;(2)将这些根按从小到大的顺序排列,把实数集分为若干个区间;(3)在所分区间内去掉绝对值号得若干个不等式,解这些不等式,求出解集;(4)取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集. 2.利用绝对值的几何意义求解 由于|x-a|+|x-b|与|x-a|-|x-b|分别表示数轴上与x对应的点到a,b对应的点的距离之和与距离之差,因此对形如|x-a|+|x-b|≤c(c>0)或|x-a|-|x-b|≥c(c>0)的不等式,利用绝对值的几何意义求解更直观. 变式训练3不等式|x+3|+|x-3|>8的解集为　　 　　.  (-∞,-4)∪(4,+∞) 解析 (方法一)由代数式|x+3|,|x-3|知,-3和3把数轴分为三个区间:x<-3, -3≤x<3,x≥3. 当x<-3时,原不等式变形为-x-3-x+3>8, 即x<-4,此时不等式的解集为(-∞,-4);① 当-3≤x<3时,原不等式变形为x+3-x+3>8,此时不等式无解;② 当x≥3时,原不等式变形为x+3+x-3>8, 即x>4,此时不等式的解集为(4,+∞).③ 综上,原不等式的解集为(-∞,-4)∪(4,+∞). (方法二)不等式|x+3|+|x-3|>8表示数轴上与A(-3),B(3)两点距离之和大于8的点,而A,B两点的距离为6,因此线段AB上的每一点到A,B的距离之和都等于6.如图,要找到与A,B距离之和为8的点,只需将点B向右移1个单位,即移到点B1(4),或将点A向左移1个单位,即移到点A1(-4),可以看出,数轴上点B1(4)向右的点或者点A1(-4)向左的点到A,B两点的距离之和均大于8. 所以原不等式的解集为(-∞,-4)∪(4,+∞). 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 级 必备知识基础练 11 12 13 14 1.[探究点三](多选题)已知数轴上不同的两点A,B,若点B的坐标为3,且AB=5,则线段AB的中点M的坐标可以为(　　) AD 解析 记点A(x1),B(x2),则x2=3,AB=|x2-x1|=5,即|3-x1|=5,解得x1=-2或x1=8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A.(-2,1] B.(-∞,-2)∪[1,+∞) C.[1,+∞) D.(-∞,-2) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.[探究点一]不等式组 的解集是x>1,则m的取值范围是 (　　) A.[1,+∞) B.(-∞,1] C.[0,+∞) D.(-∞,0] D 解析 不等式整理,得 由不等式组的解集为x>1,得到m+1≤1,解得m≤0.故选 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.[探究点二]不等式|2x-1|>1的解集为(　　) A.(0,1) B.(-∞,0)∪(1,+∞) C.(-1,0) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) B 解析 由|2x-1|>1得2x-1>1,或2x-1<-1,解得x>1或x<0.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.[探究点二]若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为 ,则a=(　　) A.-2 B.2 C.3 D.-3 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.[探究点二]不等式|2x-1|≤1的解集为　　　　 　.  {x|0≤x≤1} 解析 由|2x-1|≤1解得-1≤2x-1≤1,即0≤x≤1,所以不等式|2x-1|≤1的解集为{x|0≤x≤1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.[探究点三]数轴上一点P(x),它到点A(-8)的距离是它到点B(-4)距离的2倍,则x=　　　 　　.  解析 由题意知,|x+8|=2|x+4|,即|x+8|=|2x+8|,即x+8=±(2x+8),解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.[探究点二·2023甘肃天水高一开学考试]求下列绝对值不等式的解集: (1)|2x|-3≥0; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)|1-2x|<2; (3)3<|2x-3|<5. 由①,得2x-3>3或2x-3<-3,∴x>3或x<0. 由②,得-5<2x-3<5,∴-1<x<4. 综上,原不等式的解集为(-1,0)∪(3,4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 级 关键能力提升练 9.不等式|x-1|+|x-2|≤3的最小整数解是(　　) A.0 B.-1 C.1 D.2 A 解得0≤x≤3. 所以最小整数解是0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.关于x的一元一次不等式组 中两个不等式的解集在同一数轴上的表示如图所示,则该不等式组的解集是　　　　　　　　,m的值为　　　　.  (-∞,-1] 2 解析 解2-x>1得,x<1,解 ≤m,得x≤2m-5. 由题图知这个不等式组的解集是(-∞,-1],且2m-5=-1,∴m=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.设x∈R,解不等式|x|+|2x-1|>2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)当m=-11时,求不等式组的解集; (2)当m取何值时,该不等式组的解集是⌀? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 级 学科素养创新练 14.[2023辽宁高一阶段练习]已知集合A={x∈R||x-1|<a,a∈R}, B={x∈R||x-1|>2}. (1)若A∩B=⌀,求实数a的取值范围; (2)若A∩B=A,求实数a的取值范围. 解 (1)由|x-1|>2得x<-1或x>3,所以B=(-∞,-1)∪(3,+∞). 当a≤0时,A=⌀,符合题意; 综上所述,实数a的取值范围是(-∞,2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)因为A∩B=A,所以A⊆B,当a≤0时,A=⌀,符合题意; 当a>0时,A=(1-a,1+a),由于1-a<1<3,1+a>0>-1,不满足A⊆B. 综上所述,实数a的取值范围是(-∞,0]. 1.不等式组的解集是(　　) 解析 解①,得x≤1,解②,得x<-2, ∴不等式组的解集为{x|x<-2}. 2.不等式组的解集是　　　　　.  解析 解得 x= (1) (2) 解 解不等式x-,得x>2, 解 原不等式等价于 ∴x=. (2)∵AB的中点对应的数为, ∴由题意得<5,即|x-13|<10,解得3<x<23, 解 (1)若P是线段QR的中点,则-8=,∴m=-18. 若Q是线段PR的中点,则m==-3. 若R是线段PQ的中点,则2=,∴m=12. 综上,m的值为-18或-3或12. (2)由题意,知>1,即>1, ∴-1>1或-1<-1,解得m>4或m<0, A. B.1 C.4 D. 当x1=-2时,M的坐标为;当x1=8时,M的坐标为. 2.[探究点一]不等式组的解集为(　　) 解析 由∴x≥1. 解析 由题意可知a≠0,又|ax-2|<3,则(ax-2)2<9,即a2x2-4ax-5<0,故一元二次方程a2x2-4ax-5=0的解为x1=-,x2=,则x1+x2==-,x1x2=-=-,解得a=-3.故选D. 0或- x=0或x=-. 故P(0)或P(-). 解 ∵|2x|-3≥0,∴|2x|≥3, ∴2x≥3或2x≤-3,解得x≤-或x≥, ∴原不等式的解集为(-∞,-]∪[,+∞). 解 由原不等式可得|2x-1|<2,即-2<2x-1<2,解得-<x<,所以原不等式的解集为(-). 解 原不等式等价于 解析 原不等式可化为或 10.如果不等式组有解,那么m的取值范围是(　　) A.[-,+∞] B.(-,+∞) C.(-∞,-] D.(-∞,-) 解析 由①,得x≤-6,由②,得x≥,∵不等式组有解, ∴≤-6,∴m≤-.故选C. 解 当x<0时,原不等式可化为-x+1-2x>2,解得x<-; 当0≤x≤时,原不等式可化为x+1-2x>2,即x<-1,无解; 当x>时,原不等式可化为x+2x-1>2,解得x>1. 综上,原不等式的解集为(-∞,-)∪(1,+∞). 13.已知关于x的不等式组 解 (1)当m=-11时, 原不等式组化为 解不等式①得x>-4,解不等式②得x<-,∴不等式组的解集为(-4,-). (2)解不等式m-2x<x-1,得x>. 由(1)知解不等式②得x<-. ∵不等式组的解集为⌀,∴≥-,∴m≥-. 当a>0时,A=(1-a,1+a),由题知所以0<a≤2. $$