7.1.1 数系的扩充和复数的概念 说课课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.1.1数系的扩充和复数的概念 说课流程 一 教材分析 二 学情分析 三 教学目标分析 四 教学重难点分析 五 教学过程 一、教材分析 1.教材编排位置的分析 由于复数与向量、三角函数的联系比较紧密，所以将《复数》安排在这个位置非常合理 2、教材内容分析 本节从完善方程的理论：“使Δ<0的一元二次方程有解”来说明实数系需进一步扩充的必要性。然后，分析引入虚数单位i，探究扩充后新的数系中的元素及形式。进一步介绍复数的相关概念，最后，研究复数相等的充要条件及复数的分类。本节内容的学习让学生体会实际需求与数学内部的矛盾（方程理论）在数系扩充过程中的作用，发展学生的创新思维能力，感受人类理性思维的作用。 3、新、旧教材内容的对比---------体现单元大观念教学理念及重视学科核心素养的培养 新 旧 新：提出的问题更具有一般性，便于理论的完善 新：更多地融入了数学史，培养学生勇于探究真理的精神 新：具体指出了本章的内容，也就是本章的“显性主线”，体现了大单元教学的理念 本章的隐性主线，指向数学学科核心素养逻辑推理，数学运算 新 旧 培养化归转化的数学思想方法 体现了思维的严谨性，可以让学生合作交流 提示:可以.利用奇函数、偶函数的对称性作出另一部分图象. 新 旧 新的数集中元素都可以写成a+bi解释不够清楚 4、对教材的再加工 （1）解决教材两处没有明确给出解释的地方-----体现思维的严谨性 ①方程ax2+bx+c=0(Δ=b2-4ac<0)有解归结为x2=-1有解 ②引入i后新的数集中有哪些元素的解释 （3）教学思路的初步设想 ①背景引入：利用图片展示数系的扩充过程，融入数学史，以此吸引学生的注意力，提高学生学习兴趣，激发学生爱国热情。 ②提出曾经困扰数学家问题：为了完善方程的理论：使方程ax2+bx+c=0(Δ=b2-4ac<0)有解的问题，融入数学史---------激发学生探究问题的精神 ③探究解决方案：先归结为x2=-1有解，再类比x2=2在有理数集中无解，但扩充到实数集后有解。从而需要将实数集进一步扩充。 (4)引入i，规定运算-------体现创新精神，理性思维的严谨性 （2）相关知识整合：实数系扩充到复数系-----有理数集扩充到实数集，实数与虚数i相加、相乘的结果-------有理数与无理数相加、相乘的结果，复数的代数形式------有理数的形式、向量的坐标、点的坐标，复数相等-------两多项式相等、向量相等 7 二、学情分析 与本节教材相关的学生的学习情况有如下几个特征： 1、我们的学生从小学到高中的学习中已经掌握了整数、分数、正数、负数、有理数、无理数、实数这些概念。也掌握了相应的运算法则和运算律。 2、学生对数的分类的掌握，以及各种数集之间的包含关系，主要依靠的是简单记忆，知识是零碎、分散的，缺乏整体认识和理性思考，对数系的扩充过程以及与人类发展史的必然联系不甚了解。 3、学生对方程的解问题，已形成一种思维定势：在实数范围内求解。如:一元二次方程ax2+bx+c=0,当Δ=b2-4ac<0时无解。这是与新知识的引入：要使一元二次方程ax2+bx+c=0,当Δ=b2-4ac<0时有解，产生冲突。这对学生具有挑战性。 4、学生缺乏严谨的理性思维习惯。 三、教学目标与学科素养 课程目标： 1、了解数系的扩充过程以及通过解方程理解虚数i引入的必要性 2、理解复数的概念、表示法及相关概念 3、掌握复数的分类及复数相等的充要条件 学科素养 1、数学抽象：i的规定以及复数的有关概念 2、逻辑推理：数系的扩充，复数相等 3、数学运算：复数相等求字母的值 四、教学重难点 教学重点： 1、对虚数单位i的规定 2、复数的有关概念，复数的分类 3、复数相等的充要条件 教学难点： 1、对虚数单位i的引入及理解 2、引入i后实数集扩充后新的数集有哪些元素的分析 五、教学过程：（六个环节） 第一环节：设置情境、演示数系扩充的过程 第二环节：提出悬疑，并探究 第三环节：解决问题，构建新知 第四环节：达标检测 第五环节：课堂小结、布置作业 第六环节：课外引申 第一环节：设置情境、演示数系扩充的过程 同学们回忆：从小学到高中认识数的过程， 人类对数认识发展过程是怎样的，我们一道来看一看 远古围猎时期“结绳”、“堆石”计数方法，产生的自然数 自然数是现实世界最基本的数量，是全部数学的发源地。古代印度人最早使用了 “0”，公元5世纪时，“0”传入了罗马。但罗马教皇凶残又守旧，他不允许任何人使用“0”。有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用“0”的一些好处和说明，就被教皇招去，砍了双手 培养学生追求真理的坚定信念和无畏精神 意图 在分配劳动成果的过程中，产生了“正分数”的概念 中国对分数的研究比欧洲早1400多年 分数的引入解决了整数集中不能整除的矛盾 了解我国在数学上的成就激发学生民族自豪感，爱国热情 意图 人类商品交换中，为了表示相反意义的量，引入了“负数”的概念，至此数扩充到有理数 负数的概念最早产生于我国，东汉时期“九章算术”中就有负数的说法，公元3世纪，刘徽在注解“九章算术”时，明确定义了正负数“两算得失相反，要令正负以名之”，还给出了正负数加减法运算法则。千年之后负数才经阿拉伯传入欧洲， 负数的引入，解决了在自然数集中不够减的矛盾 了解我国在数学上的成就激发学生民族自豪感，爱国热情 丈量土地，计算长度，计算产量过程中产生了经验几何学：勾股定理，在求两直角边均是1直角三角形的斜边时，引入了无理数，把数系扩充为实数 数系发展的动力和原因是什么？ 1、数的产生和发展是人类生产和生活的需要 2、数系的每一次扩充也是数学自身发展和完善的需要，例如：为了使方程理论更加完善，方程x2=2在有理数范围内无解，但扩充到实数系后就有解了 为后面数系的进一步扩充埋下伏笔 无理数的引入解决了开方开不尽的矛盾 整理数系的扩充过程 数系扩充到实数后，完了吗？到顶了吗？够用了吗？还需要扩充吗? 发现：对于方程ax2+bx+c=0(Δ=b2-4ac<0)实数系内是无解的，所以方程的理论还有待进一步完善 第二环节：提出悬疑，并探究 引导：那么能不能像上面一样把实数系扩充到一个新的数系后使它有解 如何解决呢？ 1、负数的引入，解决了在自然数集中不够减的矛盾 2、分数的引入解决了整数集中不能整除的矛盾 3、无理数的引入解决了开方开不尽的矛盾（方程x2=2在有理数范围内无解） 引入问题转入难点突破环节 类比的数学思想方法 学生讨论：使方程ax2+bx+c=0(Δ=b2-4ac<0)有解归结是解决什么问题？ 培养学生化归转化的数学思想方法 意图：融入数学史，给学生一点时间接受新事物，化解难点 规定：i2=-1 i叫做虚数单位 类比：有理数集扩充到实数集后，在实数集中规定的加法运算，乘法运算与原来有理数集中规定的加法运算，乘法运算协调一致，并且加法与乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律 引进数i添加到实数集中将实数集扩充后也希望满足上面类似的条件:新的数集中规定的加法运算，乘法运算与原来实数集中规定的加法运算，乘法运算协调一致，并且加法与乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律 为此：我们如何规定实数与虚数单位i的加法运算和乘法运算呢？ 类比：有理数3与无理数根号2的加法与乘法 新的问题：引入i后，新的数系中的数是不是就是实数和i呢？实数与i 如何进行加法和乘法运算呢？ 我们希望这些运算满足什么条件？ 新的数系到底由哪些数组成？ 第三环节：解决问题，构建新知 i是方程x2=-1的一个根 学生思考讨论，教师提示：与有理数扩充到实数进行类比 （1）复数的概念 培养学生理性思维的严谨性及类比的数学思想方法 规定：实数a与i相加，结果记作a+i 也可以是：i+a 实数b与i相乘，结果记作bi 也可以是ib 实数a与bi相加，结果记作a+bi 也可以是bi+a,ib+a,a+ib (1)两个实数相加，相乘结果仍是实数 -------形式a (2)两个bi形式的数相加，相乘，ai+bi=(a+b)i ---形式bi ; aixbi=(ab)i2=abx(-1)=-ab---形式a (3)两个a+bi形式的数相加，相乘的结果---------仍是a+bi形式 (4)实数a和数bi相加，相乘；相加的结果是a+bi 形式，axbi=(axb)i --形式bi (5)实数c和数a+bi相加，相乘,c+(a+bi)=(a+c)+bi ---形式a+bi cx(a+bi)=ca+cbi-------形式a+bi (6)ci与a+bi相加，相乘，ci+(a+bi)=a+ci+bi=a+(c+b)i-----形式a+bi cix(a+bi)=aci+cixbi=-bc+aci------形式a+bi 扩充后的数集中有哪些形式的数？(数集中任何两个数相加、相乘的结果仍在此数集中) 这是下一节7.2的所要学的内容为后面的学习埋下伏笔 已经有：实数a ，bi，a+bi三种形式的数了（其中a,b都是实数），那还有没有其他形式的数呢？ 学生讨论，突破难点 培养学生分类讨论的能力及思维的严谨性 定义：1、形如a+bi(a,b R)的数叫做复数。其中i叫做虚数单位 2、全体复数所构成的集合C=｛a+bi|a,b R｝叫做复数集（用C表示） 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,bR),其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部 z= a +b i ↓ ↓ 实部 虚部 有理数可以统一成什么形式？ 结论：新数集中只 有实数a ，bi，a+bi三种形式的数 （其中a,b都是实数 ） 规定：0i=0 0+bi=bi a=a+0i 所以可以统一成形式：a+bi 一个复数由其实部和虚部一对有序实数对确定 向量的坐标，点的坐标为下一节课做铺垫 类比 类比 复数集C与实数集R之间是什么关系？复数z=a+bi(a,b R)如何分类？ 练一练 把下列复数化为a+bi(a,bR),并分别指出它们的实部和虚部，它们是实数、虚数、纯虚数？ （1）2-i （2）-2i （3）5 （4）0 （5）3+2i (6) 复数 实数(b=0) 虚数（b≠0) 纯虚数（a=0,b≠0) 非纯虚数的虚数（a≠0,b≠0) 当且仅当虚部b=0时，复数z是实数 当且仅当a=b=0时，复数z是实数0 当且仅当虚部b≠0时，复数z是虚数 当且仅当实部a=0且虚部b≠0时，复数z是纯虚数 当且仅当实部a≠0且虚部b≠0时，复数z是非纯虚数的虚数 （2）复数的分类 1、试用图形表示复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 （3）复数的定位 2、数系的扩充过程 3、用二分法对复数分类 本环节让学生自己整理，教师补充。目的是培养学生独立思考的良好习惯和品质 例1：当实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是下列数 （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数 分析：首先要找到复数z 的实部和虚部 练习：当m为何实数时，复数z=m2+m-2+(m2-1)i是 （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数； （4）零 提出问题：两个实数之间可以比较大小，那么两个复数之间可以比较大小吗？ 学生讨论，提出看法，教师提示分如下几种情况分析： 1、两个都是实数 2、一个是实数，另一个是虚数 3、两个都是虚数 结论：1、两个复数不能比较大小，但两个实数可以比较大小。 2、两个复数可以判断是否相等 两个向量也是不能比较大小，只能判断是否相等 （4）复数相等的充要条件 类比 培养学生分类讨论的能力 两个复数相等的充要条件是什么？ 实部与实部相等，虚部与虚部相等 即：若a,b,c,d R, a+bi=c+di a=c且b=d 两个向量相等的充要条件、两多项式恒等等的充要条件 类比 例题分析： 例2：已知（2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x,yR,求x和y的值 练习:(76页第3题） 求满足下列条件的实数x,y的值 （1）（x+y）+（y-1)i=(2x+3y)+(2y+1)i ( 2 ) (x+y-3)+(x-2)i=0 1、解决复数相等问题，2、复数问题实数化的基本方法，培养学生应用化归转化数学思想方法。 应用 第四环节：达标检测 1、判断正误 （1）若a,b为实数，则z=a+bi为虚数。( ) （2）复数i的实部不存在，虚部为0.（ ） （3）bi为纯虚数。（ ） （4）如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等（ ） 2、已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a,b 的值分别是-------------- 3、已知x2-y2+2xyi=2i,则实数x,y的值分别是----------- 4、实数m分别取什么数值时，复数z=(m2+5m+6)+(m-2m-15)i是 （1）实数；（2）虚数； （3）纯虚数；（4）0 第五环节：课堂小结、布置作业 小结： 一、数系的扩充 二、复数的有关概念 1、复数的定义，代数形式 2、复数的实部，虚部 3、虚数，纯虚数 三、复数的分类 四、复数相等的充要条件 作业： 习题7.1 第2，3题 学生整理教师补充 第六环节：课外引申 数系扩充到实数系后还能继续扩充吗？ 谢谢指导！ $$